1-计算几何的数学基础.pdf

目录第一章Weierstrass 逼近定理与卷积逼近51.1Weierstrass 逼近定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2卷积逼近. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.3Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9第二章多项式插值132.1Lagrange 插值公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142.2Newton 插值公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152.3差商 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.4多项式插值的误差. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192.5插值算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.6二元多项式插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22第三章多项式最佳逼近273.1L∞范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273.2L1范数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .303.3L2范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32第四章Pad´ e 逼近374.1基本理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .374.2ε-算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40第五章平方逼近435.1定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435.2直交函数系与广义Fourier级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435.3几种特殊的直交多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4634目录第六章样条函数496.1样条函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496.2B-样条函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .506.2.1截断幂插商 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .516.2.2卷积观点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .516.2.3B-样条函数性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51第七章非均匀样条函数537.1定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .537.2递归公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .547.3Schoenberg-Whitney定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55第八章框架(I)578.1定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .578.2伪逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .578.3对偶框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59第九章框架II619.1Riesz基. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .619.2逆框架计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .619.3框架投影与减噪 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .629.4采样与量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63第十章Gabor框架和小波框架6510.1 Gabor框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6510.2 Gabor框架的对偶框架 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6810.3 特殊函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6810.4 紧框架 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6810.5 小波框架. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69第一章Weierstrass 逼近定理与卷积逼近逼近论的基本思想即是采用简单的函数去逼近复杂的函数。

最为简单的函数则莫过于多项式函数. 因此, 人们首先考虑了多项式函数对一般函数的逼近问题. Weierstrass逼近定理则表明, 对于闭区间上任意连续函数, 均存在一多项式序列对其进行一致逼近.这为人们采用多项式函数逼近一般的连续函数提供了理论基础.1.1Weierstrass 逼近定理定理 1.1 (Weierstrass 逼近定理) 假设 f ∈ C[a,b]. 那么, 对任意的 ε > 0 存在一个多项式 P 使得max a≤x≤b|P(x) − f(x)| ≤ ε.证明：我们将介绍 Bernstein 的构造性证明. 不失一般性, 我们假定区间 [a,b] = [0,1].对于给定的 f ∈ C[0,1], 我们定义如下的多项式序列：Bfn(x) :=n∑k=0f(k/n)Bn,k(x),此处Bn,k(x) :=(nk) xk(1 − x)n−k.我们将证明 Bfn在区间 [0,1] 上一致收敛于 f, 也就是说, 对任意的 ϵ > 0 存在一个 n0, 当 n ≥ n0时, 我们有max x∈[0,1]|Bfn(x) − f(x)| ≤ ϵ.56第一章WEIERSTRASS逼近定理与卷积逼近这个结论蕴含着 Weierstrass 逼近定理. 为证明这一结论, 我们考察|f(x) − Bfn(x)|=|n∑k=0f(x)Bn,k(x) −n∑k=0f(k/n)Bn,k(x)|≤∑|k−nx|≤n3/4|f(x) − f(k/n)|Bn,k(x) +∑|k−nx|>n3/4|f(x) − f(k/n)|Bn,k(x)≤ϵn+ 2M∑|k−nx|>n3/4Bn,k(x),此处,ϵn:=max (k,x):|k−nx|≤n3/4|f(x) − f(k/n)|,M := max x∈[0,1]|f(x)|.由 f 的连一致续性可知, 随着 n 的增大, ϵn趋向于0. 我们现在考察∑|k−nx|>n3/4Bn,k(x).我们宣称n3/2∑|k−nx|>n3/4Bn,k(x) n3/4Bn,k(x) ≤1 4(1 n)1/2 .我们最终得到|f(x) − Bfn(x)| n3/4Bn,k(x) n3/4Bn,k(x) 0 和 r > 0, 存在一个正整数 n0, 使得对所有的n ≥ n0, 我们有∫|x|≥rKn(x)dx m1n = m注 2.1 假设 f 的 n 阶导数存在. 一个令人感兴趣的观察是：倘若我们令所有插值结点 xj,j = 1,...,n, 趋向于 x0, 那么 pn趋向于函数 f 的 Taylor 展开的前 n + 1 项. 从这个意义上来说, 多项式插值是对 Taylor 展开的一种离散近似.研究问题:1. 如果存在一个函数 h 使得 f(x0,...,xn) = h(x0+ ··· + xn), 这里 n ≥ 1. 那么, f一定是一个次数不超过 n 的多项式吗？对于 n = 1 的情况, 这个问题在 [1] 中解决. 文献[2] 考虑了 n = 2 的情况, 但这离最终解决该问题还很远.2. 因为差商是导数的某种近似, 或者说差商是一种离散的导数. 如所知, 在经典的微积分中, 关于导数有很多经典的公式. 那么, 人们自然希望将这些公式扩展到差商, 这方面的研究在理论和实际上均有较为重要的意义. 但是, 直到今天, 这方面的结果仍不完善. 主要集中于将 Leibniz 法则和求导的链式法则扩展到多元差商 (参考 [3, 4, 5]).2.4多项式插值的误差如上所述, 构造插值多项式 pn的原始目的是对函数 f 进行近似. 自然, 我们想知道,倘若 x 不是插值结点时, |f(x) − pn(x)| 的大小. 也就是, 插值多项式对原函数 f 近似好坏程度.定理 2.5 假定结点 x0,...,xn∈ [a,b] 和 f ∈ Cn+1[a,b]. 那么, 对任意的 x ∈ [a,b],存在一个 ξ ∈ (a,b) 使得E(f;x) := f(x) − pn(x) =ω(x) (n + 1)!f(n+1)(ξ),这里 ω(x) = (x − x0)(x − x1)···(x − xn).证明：当 x = x0,...,xn的时候, 上述结果显然成立. 因此, 我们只考虑 x 非插值结点的情形. 我们做辅助函数F(t) = f(t) − pn(t) −ω(t) ω(x)(f(x) − pn(x)).20第二章多项式插值这里, 值得注意的是 t 为变量, 然而 x 是固定的值. 那么, 一个简单的观察是 F(x) =0, F(xj) = 0, j = 0,。