指对数比较大小.doc

指对数比较大小在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指 数和对数混在一起，进行排序这类问题如果两两进行比较，则花费 的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、 如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容 我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为（0,1）和（1严）（1 ）如果底数和真数均在（0,1）中，或者均在（1,乜）中，那么对数的值 为正数（2 ）如果底数和真数一个在（0,1）中，一个在（1,乜）中，那么对数的值 为负数例如：log 0.5 < 0,log 0.3 > 0,log 3 > 0 等3 0.5 22、 要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1 ）的大小关 系，一作图，自明了3比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数 的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以 要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：3；4：,52，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指 数可以变为相同3：二（34上,4；二（43上,52 =（56升，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对 所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在 兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的 常数对所比较的数的值进行估计，例如 log 3 ，可知21 = log 2 < log 3 < log 4 = 2 , 点几的数，从而便2 2 2 2于比较4、常用的指对数变换公式：⑴am =、man 丿(2) log M + log N - log MN log M - log N - log Ma a a a a a N(3) log Nn - n log N C > 0, a 丰 1, N > 0)aa(4)换底公式：log b -空上a log ac进而有两个推论：log b二丄（令c二b ）a log ablog Nn =— log Nam m a二、典型例题：则 a,b, c 的 大 小 关 系 是例 1 •设 a - log n ,b = log 3, c = log 23 2 3思路：可先进行0,1分堆，可判断出a > 1,0 < b < 1,0 < c < 1，从而a肯定最 大，只需比较b, c即可，观察至Ub, c有相同的结构：真数均带有根号，抓 住 这 个 特 点 ， 利 用 对 数 公 式 进 行 变 换 ：b - log 3 - ^log 3,c - log 2 - ^log 2 , 从而可比较出 log 所2 2 2 3 2 3 3 2以c < b答案：c < b < a例2 :设a = log 2, b = ln2, c = 5-；，则a, b, c的大小关系是 3思路：观察发现a,b,c均在(0,1)内，a,b的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：a < b，在比较和c的大小，由于c是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计a, b, c值得大小：c = 5-2 =丄 <丄=1，可考45 44 2虑以丄为中间量，贝匚=log 2 > log朽=1，进而a > 1 > c，所以大小顺序2 3 3 2 2为 b > a > c答案： b>a>c例3：设a =罟,b =罟,c =罟，则a b,c的大小关系为(A. a > b > cB. a > c > bC. b > a > cD.b>c>a中，再进行真数的比较。

思路：观察到a, b, c都是以e为底的对数，所以将其系数“放”进对数之a 二罟=ln2：,b 二罟=ln3；,c =晋=ln5：,发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指 数一致：21 =(2純,31 =(3iok,5； A，通过比较底数的大小可得：b>a>c答案：C 小炼有话说：(1)本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变 为“可以比较”(2)本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦所 以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算例如可以先比较a,b：2； =（23》,33 =（32»，从而a c > a C. a > c > b D. a〉b〉c思路：观察可发现：a = log（3x2）= 1 + log 2,b = log（5x2）= 1 + log 2,c = log（7x2）= 1 + log 23 3 5 5 7 7log 2 > log 2 > log 2 ， 所以可得：a>b>c357答案：D例 5：设25, b =则 a,b,c 的大小关系为（A. a > b > cB. a>c>bC. b > a > c D.b>c>a思路：观察可发现b,c的底数相同，a,c的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。

对于b,c，两者底数在（0,1），则指数越大，指数幕越小， 所以可得b c，综上： a>c>b答案：B例6 :已知三个数a = 30.5,b = log 2,c = cos3，则它们之间的大小关系是 32（）A. c < b < aB. c 1 , 0 < b, c < 1 ,所以只需比较b, c大小， 两者都介于0,1之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系所以考虑寻找中间值作为桥梁以cos3作为入手点利用特殊2角的余弦值估计其大小3宀cos3 < cos 1 =1，而log 2 > log勇=1，2 3 2 3 2 3 3 2从而c <1 < b，大小顺序为 c < b < a2答案：A小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊 角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先 选择c作为硏究对象例7 ：（优质试题甘肃河西三校第一次联考）设a = log 7,b = 21.1, c = 0.83.i3则（ ）C. c < b < a D.A. b < a < c B. a < c < bc 2, a = log 7 < log 9 = 2，所以a < 2 < b，从而33c b > 0, a + b = 1 且 x答案：D\ y = log ab, z = log a，则 x, y，z 的大小关系是（A. y < x < zB. z < y < xC. y < z < xD.x

> b > 0,a + b = 1 可得：o< b <1 < a < 1 j先用0,1 将x,y,z分堆，> 0，2y, z < 0 '则x为最大/只需要比较y,z即可/由于y, z的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量y = log ab = log ab = log ab = -1，(1+1] aib 丄(a b 丿 ab ab而 z = log a 二- log a ,因为 0 < b < 1 ,所以 log a < log b = 1, z 二一 log a > -1 = y ，1 b b b bb所以顺序为 y 0，所以 a > c，综上所/ \ 1 ( 1a 一 c = (ln 2)2 ——ln2 = ln2 ln2 ——2述，大小顺序为b

首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0,所以可得: log a,log b,log c均大于0,由对数的符号特点可得：a,b e（0,1）, c > 1，只112(1 )c—=-log c = log c\2 丿 2 1 2先作出y二log丄x图像，再在这个坐标系中作出2需比较a,b大小即可观察到2a > 1 >f1 丫，从而log a >log b »