不定积分知识点复习.ppt

不定积分知识点复习不定积分知识点复习 •知识总述•原函数与不定积分概念•不定积分性质•不定积分基本解法•习题•小结 一一, 知识总述知识总述 前面我们学习了一元函数微分学前面我们学习了一元函数微分学. 但在实际的科但在实际的科学领域中学领域中, 我们常常遇到与此相反的问题我们常常遇到与此相反的问题: 即寻求一即寻求一个个(可导可导)函数函数, 要求其导数等于一个已知函数要求其导数等于一个已知函数. 这样这样就产生了一元函数积分学就产生了一元函数积分学. 积分学分为不定积分和定积分两部分积分学分为不定积分和定积分两部分. 本章我们学习的是不定积分本章我们学习的是不定积分, 先从导数的逆运算先从导数的逆运算引出不定积分的概念引出不定积分的概念. 然后介绍了其性质然后介绍了其性质, 最后系统最后系统地介绍一些常用的积分方法地介绍一些常用的积分方法. 返回不定积分的基本概念和性质不定积分的基本概念和性质---理解理解基本积分公式基本积分公式---熟记熟记分部积分法和换元积分法分部积分法和换元积分法---熟练运用熟练运用换元积分法换元积分法---如何做变量代换如何做变量代换分部积分法分部积分法---如何选取分部积分公式中的如何选取分部积分公式中的“u”和和“v”难点：难点：重点：重点：分部积分公式分部积分公式: 返回基本要求基本要求①①正确理解原函数和不定积分概念正确理解原函数和不定积分概念②②熟记基本积分公式熟记基本积分公式③③熟练地运用换元积分法和分部积分法熟练地运用换元积分法和分部积分法④④能用待定系数法求基本的有理函数积分能用待定系数法求基本的有理函数积分 返回例例定义：定义： 二二, 原函数与不定积分概念原函数与不定积分概念 返回若存在可导函数若存在可导函数对原函数的研究须讨论解决下面两个问题对原函数的研究须讨论解决下面两个问题(1) 是否任何一个函数都存在原函数？是否任何一个函数都存在原函数？考察如下的例子考察如下的例子则由则由的定义的定义关于原函数的说明：关于原函数的说明： 返回（左、右极限存在且相等）（左、右极限存在且相等）而已知而已知这样得到矛盾这样得到矛盾.这说明这说明没有原函数没有原函数. 既然不是每一个函数都有原函数既然不是每一个函数都有原函数, 那么具备什么那么具备什么条件的函数才有原函数条件的函数才有原函数? 连续函数都有原函数连续函数都有原函数. 对此我们有如下的结论对此我们有如下的结论: 返回（（2）原函数是否唯一）原函数是否唯一? 若不唯一若不唯一, 它们之间有它们之间有 什么联系什么联系? ①①若若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，，②②若若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（（ 为任意常数）为任意常数） 返回任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量 为求不定积分为求不定积分, ,只须求出被积函数的一个原函数只须求出被积函数的一个原函数, ,再加上积分常数即可再加上积分常数即可. . 返回例例1 1 求求解解:解解:例例2 2 求求 返回例例3 3 设曲线通过点设曲线通过点(1，，2), 且其上任一点处的切且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线方程求此曲线方程.解解:设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，，2））所求曲线方程为所求曲线方程为 返回由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知微分运算与求不定积分微分运算与求不定积分(不考虑后面的不考虑后面的常数常数C )是逆运算。

是逆运算结论：结论： 返回此性质可推广到有限多个函数之和的情况此性质可推广到有限多个函数之和的情况 三三, 不定积分的性质不定积分的性质 返回即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合. 注意到上式中有注意到上式中有n个积分号个积分号, 形式上含有形式上含有n个任意常个任意常数数, 但由于任意常数的线性组合仍是任意常数但由于任意常数的线性组合仍是任意常数, 故实故实际上只含有际上只含有一个任意常数一个任意常数. 结合结论结合结论(1)与与(2), 我们可以得到我们可以得到 返回实例实例提问提问: 能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？ 既然积分运算和微分运算是互逆的既然积分运算和微分运算是互逆的, 因因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式. 四四, 不定积分的基本解法不定积分的基本解法 返回基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为 返回 返回 以上以上1313个公式是求不定积分的个公式是求不定积分的基础基础, , 称为基本积分表称为基本积分表, , 必须熟练必须熟练掌握掌握. . 返回例例4 4 求积分求积分解解:根据积分公式（根据积分公式（2）） 返回例例5 5 求积分求积分解解:注注1, 从该题中我们可以看出熟记基本积分表的从该题中我们可以看出熟记基本积分表的重要性重要性.2, 检验积分结果是否正确检验积分结果是否正确, 只要把最后的结果只要把最后的结果求导求导, 看其导数是否等于被积函数看其导数是否等于被积函数. 返回(第一类换元法)例例6 6 求积分求积分解解:原式原式 令令u=2x+1,上式上式 返回令(第二类换元法)例例7 7 求积分求积分那么解解:原式原式 返回考虑公式(分部积分法)例例8 8 求积分求积分那么解解: 原式原式 将看做公式中的看做公式中的 返回例例9 9 求积分求积分解解: 原式原式(有理函数积分法) 返回解解:所求曲线方程为所求曲线方程为 返回说明说明①①求不定积分时一定要加上积分常数求不定积分时一定要加上积分常数, 它表明它表明一个函数的原函数有无穷多个一个函数的原函数有无穷多个, 即要求的是全即要求的是全体原函数体原函数, 若不加积分常数则表示只求出了其若不加积分常数则表示只求出了其中一个原函数中一个原函数.②②写成分项积分后写成分项积分后, 积分常数可以只写一个积分常数可以只写一个.③③积分的结果在形式上可能有所不同积分的结果在形式上可能有所不同, 但实质上但实质上只相差一个常数只相差一个常数. 返回求下列不定积分. 五五, 习题习题 返回 不定积分作为高等数学中的一个重要内容,前后连接着导数(或微分)与定积分的内容. 它既是求导思想的逆向运用, 也是定积分的基础. 同时它本身在数学, 物理等领域的实际模型构造中有着重要作用. 因此, 不定积分的学习既可以巩固基础数学知识, 学习常用技巧, 培养数学思维, 又有显著的实际应用性. 六六, 小结小结 返回 谢 谢 大 家 ！。