(完整版)锐角三角函数与圆的综合应用(含答案).doc

锐角三角函数与圆的综合题1.如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且.⑴ 求证：直线是的切线；⑵ 若，，求和的长.2．如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点 B在⊙O上， 且AB＝AD＝AO．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F， △BEF的面积为8，且cos∠BFA＝，求△ACF的面积．ABCDEO3．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且ÐAED=45°． (1) 试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2) 若⊙O的半径为3，sinÐADE=，求AE的值．4. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC边相切于点D，联结AD.（1）求证：AD是∠BAC的平分线； （2）若AC= 3，tan B=，求⊙O的半径. 5．已知：如图，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的⊙与，分别交于点E、点F，且∠=∠．（1）判断直线与⊙的位置关系，并证明你的结论；（2）若，，求⊙的半径．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）如果⊙O的直径为9，cosB＝，求DE的长 7：如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B. （1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.8：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是的中点，,垂足为点P.（1）求证：PD是⊙O的切线. （2）若AC=6, cosA=，求PD的长. 9.如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点.过点B作BE∥ CD，交AC的延长线于点E.连接BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=，求⊙O的直径的长． 10.如图， 是半⊙O的直径，弦与成30°的角，.（1）求证：是半⊙O的切线；（2）若，求AC的长.11.如图，点在半的直径的延长线上，，切半于点，连结.（1）求的正弦值；（2）若半的半径为，求的长度. 12.ABCDEOF如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心交于点B，且AC⊥DE，垂足为，连结AD、BE，若，∠BED=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线； （2）是否是等边三角形？请说明理由；（3）若的半径，试求的长．例 1：（1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°.∴ ∠EAB+∠E=90°. ……………………1分 ∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD，∴ ∠EAB+∠BAD =90°. ∴ AD是⊙O的切线. ……………………2分（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.∵ AE=2AO=6, AB=4,∴ . …………………………………………………3分∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB, ∴ ……………4分∴ ∴ . ……………………5分例2：（1）证明：如图：连接 OD，AD. ∵D为弧BC的中点，∴弧CD = 弧BD.∴.∵，∴.∴PA∥DO . ………………………………1分∵DP⊥AP，∴∠P=90°.∴∠ODP=∠P=90°.即 OD⊥PD.∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线.　………………………………2分（2）连结CB交OD于点E.∵AB为⊙O直径 ，∴∠ACB =∠ECP=90°.∵∠ODP=∠P=90°，∴四边形PCED为矩形.∴PD = CE，∠CED = 90°.…………………………………………………3分∴OD⊥CB.∴EB = CE. 　……………………………4分在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∴cosA = .∵AC = 6 , cosA = ，∴AB = 10 . ∴BC = 8 .∴CE=PD= BC = 4. ……………5分例3.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，M是CD的中点， ∴CD⊥AB. ……………………………………… 1分 ∴∠AMC＝90°. ∵BE∥CD，∴∠AMC＝∠ABE.∴∠ABE＝90°，即AB⊥BE.又∵B是⊙O上的点，∴BE是⊙O的切线. ………………………………………… 2分（2）∵M是CD的中点，CD=6，∴CM=CD=3. 在Rt△BCM中，∵tan∠BCD==,∴=,∴BM=. …………… 3分又∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°.∵CM⊥AB于M，∴Rt△AMC∽Rt△CMB.∴,∴.∴.∴AM=6. …………………………… 4分∴AB=AM+BM=6+=. …………………… 5分，即：⊙O的直径的长为.4.（1）连结OC ∵OA=OC，∠A=30°∴∠A=∠ACO=30°∴∠COD=60° 又∵AC=CD，∴∠A=∠D=30°.∴∠OCD=180°－60°－30°=90° ∴CD是半⊙O的切线（2）连结BC∵AB是直径，∴∠ACB=90° 在Rt△ABC中，∵cosA= AC=ABcosA=4×∴AC= 5：（1）证明：如图，连接．∵切半于点，．…………………1分∵，．在中，． 2分（2）过点作于点，则． 3分，，．∵，．在中，，．----------------4分，．6.（1）连接．--------------------------------1分∵，，∵ ∴∠A=∴∠A+∠AOD=∴∠ADO= ∴ AD是⊙O的切线．---------------------------2分（2）是等边三角形．理由如下：为的直径且．．．--------------------3分 是的直径，，，，是等边三角形．-----------------------4分（3）的半径． 直径 ∵△DCE是等边三角形，∴∠EDC=∴∠EBC=在中，， ---------------------------------------------------5分1。