山东大学《材料力学》教案第15章 平面图形的几何性质.doc

第15章 平面图形的几何性质基本要求1．重点内容为静矩、惯性矩的定义，平行移轴公式，主轴和主惯性矩的概念通过本章的学习，要求着重掌握对称组合截面形心主惯性矩的计算2．截面几何性质的定义式列表于下：静 矩惯性矩惯性半径惯性积极惯性矩3．惯性矩的平行移轴公式应注意和轴通过截面形心4．任何截面图形必定存在一对形心主轴，它具有下列特性：1）整个截面对形心主轴的静矩为零；2）整个截面对一对形心主轴的惯性积为零；3）在所有与一形心主轴平行的轴中，截面对形心主轴的惯性矩最小；4）在所有通过形心的各轴中，截面对一对形心主轴的惯性矩，必取最大值和最小值5）通过截面形心并包含对称轴的一对轴，必定是形心主轴教案：平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用§15-1 静矩和形心静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示定义式：， （Ⅰ-1）量纲为长度的三次方由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标和则由此可得薄板重心的坐标 为同理有 所以形心坐标， （Ⅰ-2）或，由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即 ， ； ，则 ；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。

静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形设第 I 块分图形的面积为 ，形心坐标为 ，则其静矩和形心坐标分别为， （Ⅰ-3）， （Ⅰ-4）例Ⅰ-1 求图Ⅰ-2所示半圆形的 及形心位置解：由对称性， ， 现取平行于 轴的狭长条作为微面积 所以 读者自己也可用极坐标求解例Ⅰ-2 确定形心位置，如图Ⅰ-3所示解：将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为矩形Ⅰ：mm2 mm， mm矩形Ⅱ：mm2 mm， mm整个图形形心的坐标为§15-2 惯性矩和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示 （Ⅰ-5）量纲为长度的四次方，恒为正相应定义， （Ⅰ-6）为图形对 轴和对 轴的惯性半径组合图形的惯性矩设 为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为， （Ⅰ-7）若以 表示微面积 到坐标原点 的距离,则定义图形对坐标原点 的极惯性矩 （Ⅰ-8）因为所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系 （Ⅰ-9）式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。

下式 （Ⅰ-10）定义为图形对一对正交轴 、 轴的惯性积量纲是长度的四次方 可能为正，为负或为零若 y ，z 轴中有一根为对称轴则其惯性积为零例Ⅰ-3 求如图Ⅰ-5所示圆形截面的 解：如图所示取dA，根据定义，由于轴对称性，则有 （I-10a） 由公式（Ⅰ-9） （I-10b） 对于空心圆截面，外径为 ，内径为 ，则 （Ⅰ-12a） （I-12b）例Ⅰ-4 求如图Ⅰ-6所示图形的 及 解：取平行于 轴的狭长矩形，由于 ，其中宽度 随 变化，则由，如图习 题Ⅰ-1 确定图示图形形心的位置Ⅰ-2 计算图示半圆形对y的静矩和形心轴的惯性矩Ⅰ-3 计算下列图形对轴的惯性矩以及惯性积Ⅰ-4 试确定图示平面图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩Ⅰ-5 试确定图示图形通过坐标原点主惯性轴的位置，并计算主惯性矩和的值。

Ⅰ-6 求图示三角形的形心主惯性矩，并确定形心主惯性轴的位置 Ⅰ-7 试求图示正方形截面的惯性矩，和惯性矩，并做出相应的结论 §Ⅰ-3平行移轴公式由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴 时，如图Ⅰ-7所示，可得到如下平行移轴公式 （Ⅰ-13）简单证明之：其中 为图形对形心轴 的静矩，其值应等于零，则得同理可证（I-13）中的其它两式结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小在使用惯性积移轴公式时应注意 a ,b 的正负号例Ⅰ-5 由两个8号槽钢和两块 cm2 钢板组成的截面，如图 Ⅰ-8 ，求 ， 解：（1）计算 根据平行移轴公式，求得每一钢板对 轴的惯性矩为cm4从型钢表中查得每一槽钢对 轴的惯性矩为cm4则该组合截面对 轴的惯性矩为 cm4（2）计算 每一钢板对 轴的惯性矩为 cm4从型钢表中查得，每一槽钢的形心到外侧边缘的距离为1.43cm，则该形心 与 轴的距离为 cm又从型钢表中查得槽钢对其形心轴z的惯性矩 及面积 A 分别为 cm4 ， cm2 。

故由平行轴公式得每一槽钢对 轴的惯性矩为cm4最终可得到整个组合截面对 轴的惯性矩为cm4§Ⅰ-4转轴公式 主惯性轴任意平面图形（如图Ⅰ-9）对 轴和 轴的惯性矩和惯性积，可由式（Ⅰ-5）—（Ⅰ-9）求得，若将坐标轴 y , z 绕坐标原点 点旋转 角，且以逆时针转角为正，则新旧坐标轴之间应有如下关系将此关系代入惯性矩及惯性积的定义式，则可得相应量的新、旧转换关系，即转轴公式 （Ⅰ-14） （Ⅰ-15）若令 是惯性矩为极值时的方位角，则由条件 ，可得 （Ⅰ-16）由式（Ⅰ-16）可以求出 和 以确定一对主惯性轴 和 由（I-16）式求出 sin2 , cos2 后代回式（I-14）与（I-15）即可得到惯性矩得两个极值，称主惯性轴主惯性矩的计算公式：而此时惯性积因此也不可以说：图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零，这一对坐标轴称为主（惯性）轴。

由（I-14）式尚可证明 （I-18）即通过同一坐标原点的任意一对直角坐标轴的惯性矩之和为一常量，因而两个主惯性矩中必然一个为极大值，另一个为极小值若主惯性轴通过形心，则称形心主惯性轴，相互主惯性矩称形心主惯性矩例Ⅰ-6 确定图形的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩(如图I-10)解：（1）首先确定图形的形心利用平行移轴公式分别求出各矩形对 轴和 轴的惯性矩和惯性积矩形 I 矩形 Ⅱ： cm4 cm4矩形 Ⅲ： cm4 cm4 （Y a,b与分图形I均反号）整个图形对 轴和 轴的惯性矩和惯性积为 cm4 cm4 cm4（2）将求得的 ， ， 代入式（Ⅰ-16）得则或的两个值分别确定了形心主惯性轴 和 的位置，则 cm4 cm4。