专题九 线性赋范空间与巴拿赫空间(讲稿).ppt

第三章 线性赋范空间与内积空间,内积空间+完备性希尔伯特空间,线性赋范空间+完备性巴拿赫空间,线性空间+内积内积空间,线性空间+范数线性赋范空间,泛函分析正是把空间的代数结构与几何结构进行结合的研究，才得到了许多有实用价值的结果线性赋范空间与巴拿赫空间,专题九 线性赋范空间与巴拿赫空间,有限维线性赋范空间—线性代数研究对象,无限维线性赋范空间—泛函分析研究对象,代数结构,最常用距离空间Rn, m, C[a,b], lp, Lp[a,b],完备性,范数,线性赋范 空间,线性空间,距离,线性距离 空间,,巴拿赫空间,,,线性运算按范数连续,线性运算按距离连续,,,,几何结构,线性运算,距离空间,,线性运算按范数连续,,,赋范空间,线性运算,,,|| x || = d(x,0),线性运算按距离连续,|| x || = d(x,0),,又都是线性空间,,d(x,y)=||x-y||,,,,,D,F,B,集合,,,距离,线性运算,,,1 范数与线性赋范空间,一、线性赋范空间与巴拿赫空间,定义7,2 由范数诱导的距离,定义8,,范数公理,注：,——由线性度量空间构造范数使之成为赋范线性空间的方法,例8 数列空间,1）定义,1 (x,y)满足距离公理，是S上的距离函数,故 S是距离空间,2）S按照通常数列的加法和数乘运算是线性空间,3）但距离函数1(x,y)不是由范数诱导的距离：,事实上，当||1时，,,3 常见空间的范数与距离对照表,(1) Rn,(2) m,(3) lp,,,,,,,,(4) C[a,b],(5) Lp[a,b],,,例如：,4 巴拿赫（Banach)空间,定义9 完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。

因此Rn是Banach空间定理1 设X是线性赋范空间，{xn}、{yn}X, x,yX, {n}R, R,如果n, xnx, yny, 则有,xnx, nx x, xn+ynx+y,证 n|n-|0,xnx||xn-x||0,yny||yn-y||0,,,||xn-x||=|| ||xn-x||0xn x,||nx-x||=|n-| ||x||0 nxx,,5 线性赋范空间中的极限理论,定义10 （极限）设X是线性赋范空间，{xn}X, xX线性赋范空间中线性运算对范数的连续性,定理2 设X是线性赋范空间，{xn}X, xX.,1) 如果xnx, 则{||xn||}有界 （范数列的有界性）；,证 1) xnx||xn-x||0||xn||||xn-x||+ ||x|| ||x||  {||xn||}有界,如果xnx, 则||xn||||x|| (范数的连续性，即||x|| 是x的连续函数）；,2) 一方面，||xn||-||x|| ||xn-x||,另一方面， ||xn||-||x||=||xn||-||x-xn+xn|| ||xn||-(||x-xn||+||xn||)=-||xn-x||,,因此 | ||xn||-||x|| |||xn-x||,xnx||xn-x||0| ||xn||-||x|| |0||xn||||x||,定理3 设X是线性赋范空间，d是由范数诱导的距离，则对x，y,z0X有.,1) 平移不变性：d(x+z0, y+z0)= d(x, y),证 1) d(x+z0, y+z0)= ||(x+z0 )-( y+z0) ||= ||x- y||= d(x, y),2) 绝对齐次性：d(x, y)=|  | d(x, y),2) d(x, y)= || x-y||= |  | || x-y||= |  | d(x, y),设{xn} 是线性赋范空间X中的点列，表达式,5 线性赋范空间中的无穷级数,称为X中的无穷级数,称为级数的部分和。

如果存在sX, 使得 ||sn-s||0 (n), 则称级数收敛于s，s称 为级数的和，记为,绝对收敛；当X是巴拿赫空间时，若级数绝对收敛则级数一定收敛6 线性赋范空间中的完备化,定义5（线性等距同构）设（X1，1）和（X2，2）是同一数域上的两个线性赋范空间如果存在一一映射T：X1X2，满足：,T( x+  y)= T(x)+ T(y)，,则称X1与X2是线性等距同构的，也称T是从X1到X2的线性等距同构映射1）线性：x,yX及，，成立,（2）等距：xX，成立 Tx2= x1,注：两个同构的线性空间可以看作是同一的定理4（完备化定理）设（X，）是一线性赋范空间，则必存在唯一的巴拿赫空间Y，使X与Y的一个稠密子空间Y1线性等距同构例如，C[a,b]按范数,不完备，其完备化空间是L2[a,b].,有限维线性赋范空间是研究无限维空间的有力工具二、有限维线性赋范空间的特殊性质,有限维线性赋范空间具有特殊性质(来自它与欧氏空间的相似性),1 n维线性赋范空间的模型（反映了与欧氏空间Rn的关系）,定理1 n维实线性赋范空间X与n维欧氏空间Rn（在某种范数下）是线性等距同构的。

证 设{e1,e2,…,en}是X的一个基底，, (1,2,…,n)Rn,  xX ，也使得, X与Rn之间存在着一一对应关系T：,xX ，(1,2,…,n)Rn, 使得,,,1）T是线性同构映射：,2）T关于X与Rn的某种范数是等距同构映射：,在Rn中定义实值函数：,故 是Rn中的范数，记作 ： 则,注：任何n维线性赋范空间的模型都可以看作Rn，从而任何有限维线性赋范空间都是完备的2 范数的等价性,定义2 （等价范数） 设|| ||1，|| ||2 是同一线性空间X中的两个不同的范数如果当|| ||10时有|| ||2 0，则称|| ||1比|| ||2更强；如果|| ||1比|| ||2更强，切|| ||2比|| ||1更强，则称|| ||1与|| ||2等价定理2 （范数等价的充要条件） 线性空间X中的两个范数|| ||1与|| ||2等价的充要条件是：xX，存在两个正数a，b，使得,3 有限维线性赋范空间的特殊性质,定理3 设X是n维实线性赋范空间，{e1,e2,…,en}是X的一个基底，则 a, b>0, 使对xX, 有,证 一方面,另一方面,,是Rn中的范数，因而在Rn上非负连续,,在Rn中的有界闭集（单位球面）,上有最小值a,,,,,注：定理中，,定理4 （范数等价性） 设X是有限维线性赋范空间，则X上的任何范数都等价。

证 设|| ||1，|| ||2 是X上的任意两个范数，则根据定理3，,使,|| ||1与|| ||2 等价,注：定理4表明，有限维线性赋范空间X上的任何范数的收敛性相同，因而在讨论极限时可以任意选取范数 推论1 任意有限维线性赋范空间都是Banach空间，从而任意有限维线性赋范空间的子空间都是闭子空间证 设X是n维线性赋范空间，{xk}X是柯西序列，{e1,e2,…,en}是X的一个基底，映射 T : X  Rn.,,,是柯西列,,收敛于某,,,X完备,推论2 n维实线性赋范空间X与n维欧氏空间Rn是拓扑同胚的证 设{e1,e2,…,en}是X的一个基底，作一一映射T：,则T是拓扑同胚映射事实上，由定理3有,T是连续映射,,,T-1 是连续映射,证 闭集LX, LX. x1X\L, 令,Riesz引理是泛函分析中重要定理---在区别有限维与无限维线性赋范空间的某些特征方面起关键作用定理4 （黎斯FRiesz引理）设X是线性赋范空间，LX是真闭子集 （子空间），则对 (0<<1), x0X , 使||x0||=1, 且,对xL, 有,x’L, 使,下确界定义,令,X对线性运算封闭,,对xL, 有||x’-x1 ||x+x’L,LX对线性运算封闭,,,定理5 X是有限维线性赋范空间X中的任意有界闭集 都是（列）紧集。

（有限维空间的特征性定理）,证 必要性 设X是n维线性赋范空间，T: XRn是线性 等距同构和拓扑同胚映射T(A)={y|y=Tx,xA}Rn是有界闭集,{xn}A{Txn}T(A),T(A)是列紧集,,{Txnk}{Txn}T(A), 使TxnkTx0T(A),Rn中有界闭集是列紧集,A为列紧集A为紧集,xnkx0A,T拓扑同胚T与T-1均连续,AX为有界闭集,拓扑同胚映射性质,充分性 设X中任意有界闭集是列紧集,取单位球面B={x|||x||=1, xX}XB是列紧集,若X是无限维线性赋范空间，x1S, 令B1=span{x1},B1X, B1X是一维闭子空间,x2B, ||x2||=1, 使,（Riesz引理）,B2X, B2X是二维闭子空间,x3B, ||x3||=1, 使,（Riesz引理）,令B2=span{x1,x2},,{xi}B, ||xi||=1, 使, {xi}无收敛子序列 这与B是紧集矛盾X是有限维线性赋范空间推论3 有限维线性赋范空间中的单位球面是（列）紧集。

推论4 在有限维线性赋范空间中，紧集有界闭集推论5 在无限维线性赋范空间中，单位球面不是紧集，紧集与有界闭集不等价注：单位球面是（列）紧集是有限维线性赋范空间独有的特性如果某线性赋范空间中的单位球面是紧集，那么该线性赋范空间一定是有限维空间。