中学数学典型错误分析.pdf

1 中学数学典型错误分析主讲：徐洪军课程目标： 1.以认知学观点首先分析了中学生数学学习中产生错误的根源，指出学生产生错误的必然性，以及教师应正确对待的态度2. 其次， 结合实例具体分析中学生数学学习中出现的几类典型错误以及产生错误的主要原因这是文章的主体部分主观原因分为五个方面予以阐述，包括：概念含混、读题偏差、忽视条件、考虑不周、思维定势并对每一个方面，分层逐一表述客观上，典型错误的产生还与学生学习状况评价、习题难度过大和出题失误等方面的因素有关最后，针对这些典型错误，简要指出：加强概念教学以及在教学中适当出错将有利于减少学生典型错误的发生3.本文旨在通过分析错误产生的根源，促进教师教学改革，并希望将这种解题反思的理念传播到教师的日常教学过程中去课时数： 6 课时考核方式： 命题考试0.引言在大量的中学教学评估中， 可以发现这样一个现象： 许多看上去非常简单的题目，学生却往往将之答错这是什么原因呢？以布鲁纳奥苏倍尔为代表的认知学说认为，学习的过程是原有认知结构中的有关知识与新学习的内容相互作用，形成新的认知结构的过程教师已具有丰富的知识面和高度分化的认知结构及认知策略，对问题的解决可以迅速又准确。

而学生依据自身已有的知识和经验主动地建构新的学习内容时，如未能很好地得到“消化” ，就会与已有的知识或经验构成直接的冲突，于是在解题中就会出现错误数学学习从小学过渡到中学，其间存在着跳跃小学的数学学习，知识本身比较浅显易懂，形象具体而且对学生的学习要求也相对基本同时学生在此阶段的智力发展水平差异不十分明显因此，在循序渐进的环境下学习 ，其结果是学生的数学学习情况良好，差异不大然而进入中学后，由于数学知识本身对学生的要求大幅度提高，加之学生个体之间在智力发展和学习方法上的差异变大，学生的数学学习不再那么顺利，他们在数学学习过程中往往会出现种种错误，其中也不乏一些典型错误教师对中学数学学习中出现的典型错误予以分析是十分必要和迫切的一方面，教师通过分析典型错误可以对学生存在的不足予以纠正， 让学生认清产生错误的原因，以补救的方式减少学生数学典型错误的发生； 另一方面， 通过分析教师能够追根溯源，找出数学教学中存在的疏忽和遗漏，加以改进，使得在今后的教学中通过对学生及时2 点拨，防患于未然，从根本上减少学生错误的发生此外，教师必须意识到，学生在数学学习中犯错误是必然的，应当允许他们犯错误学生在数学学习中犯错误，是由于学生在重新建构数学知识过程中发生偏差的结果，它本身体现了学生数学学习的过程。

有道是失败是成功之母学生在数学学习中犯错误及其对错误的认识，恰恰是学生获得和巩固数学知识的重要途径因此，教师害怕学生出现解题错误，甚至对错误采取严厉禁止的态度是大可不必的教师应做的是通过分析学生数学学习中的典型错误，采取相应措施，从而预防和减少学生犯错的机率，帮助学生建构好新的数学知识体系中学生在数学上的典型错误主要有以下几个方面， 本人将结合实例逐一加以分析，找出这些错误的原因，并提出一定的解决方法3 第一、二课时1.0 概念含混正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，也是数学解题的基础波利亚曾说过： “如果问题非常困难，这就是一个大问题，如果难度不大，那就是一个小问题而困难的程度就含于问题的概念本身之中：那里没有困难，那里也就没有问题 ”上大学时，有位教授在给我们授数学分析课时，曾回忆他当时的学习体验，说： “如果遇到不会解的题，一觉醒来还能接着做；但如果有个数学概念没弄清楚，那晚上肯定就失眠了 ”可见，对数学概念的正确把握和透彻理解是十分重要然而， 中学生常常不能透彻理解和灵活运用数学概念， 把握不了数学概念的本质由于概念含混而产生错误的例子屡见不鲜1.1 对概念一知半解，没有切实掌握本质比如，在学习了二次根式后，有学生在作业中出现： “ 64 的平方根是 8”或“ 64= ± 8”这样的典型错误。

这两种错误均属于概念性错误在教育实习期间，我发现学生对平方根的性质能够熟练背诵，即“正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根有一个，是它本身；负数没有平方根 ”然而，遇到诸如“ 64 的平方根”具体的实例，学生常会遗漏﹣ 8这说明他们对平方根概念的理解只停留在识记水平，没有达到应用层次至于出现“ 64 = ± 8”的错误，是将平方根的概念与二次根式的概念混淆了，误认为 64 表示 64 的平方根这说明学生对二次根式的记号 a （ a≥ 0）的本质没有掌握 a （ a≥ 0）实质是“非负数 a 的算术平方根” ，它本身也是个非负数如果对二次根式的概念理解到这一层次，就不会出现“ 64 =± 8”的错误了又如，对“无理数是开方开不尽的数”这句话，不少学生认为是对的我们说，开方开不尽的数是无理数，但无理数不止开方开不尽的数比如 π ，它是一个无理数，但不是开方开不尽的数1.2 邻近概念相互混淆，区分不清例 1 若一个数的平方根与立方根相同，则这个数为＿＿＿＿＿错解 ：学生中普遍出现两种答案： “ 0，± 1”和“ 0， 1” 分析 ：此题的正确答案只有“ 0” 在 52 人的初二班级中，答对的只有 17 人，正确率仅为 32.7% 。

1 是没有平方根的 而 1 的平方根有两个， 是± 1； 1 的立方根只有一个， 是 1出现这种错误，是将平方根和立方根的概念混淆了一个正数有两个平方根，有一个立方根4 例 2 当 x 为何值时， 2- x 1+ 3 x 有意义？错解 ：这也是容易混淆这两个概念的例子∵2- x≥ 0x≥ 01+ 3 x ≠ 0, ∴ 0≤ x≤ 2. 分析 : 解答中 x≥ 0 是多余的出现此错误也是混淆了二次根式与三次根式的本质区别二次根式要求被开方数非负，三次根式对被开方数没有要求所以正确解答为：2- x≥ 01+ 3 x ≠ 0∴ x≤ 2 且 x≠ - 1此外，将“倒数与相反数” ， “乘方与幂” ， “正数与非负数”等概念相混淆，也是常常容易发生的1.3 概念间的错误联想对概念的掌握包括概念的内涵和外延两方面概念间错误的联想，即往往是对已有概念的外延作错误延伸，导致没有把握住概念的本质例 3 解不等式 | x- 2 |≥ x- 2 错解 ：∵ | x- 2 | ≥ x- 2，∴ x- 2≥ x- 2 或 x- 2≤ - (x- 2)；∴ x 取一切实数，或 x≤ 2，∴综合起来 x 取一切实数。

分析 ：这是学生对 “ | x |≥ a x≥ a 或 x≤ - a”这一知识错误联想，而未对绝对值不等式的概念作深入理解，作出错误的延伸，所以得出荒谬答案事实上，这个不等式是告诉我们“ x- 2”这个数的绝对值大不小于它自身，而“如果一个数的绝对值大不小于它自身，那么这个数是一个非正数” 于是正确解法： 由题意得： x- 2≤ 0, ∴ x≤ 2 为原不等式的解 . 2.0 读题偏差解数学问题，第一步是要认真审题如果审题不清，或不能准确理解题意，则必然导致错误的发生中学生由于在理解上有偏差而导致解题错误的事例很多他们普遍存在以下三方面的典型情况2.1 读题不仔细中学生受其特殊年龄阶段的限制，心理上多表现为冲动、急躁、缺乏耐心这种心理状态反映在5 数学解题上就是不能仔细阅读题目调查表明，他们对短小的以及直接用数学语言表示的题目阅读得比较准确；相反，对那些冗长的，以及需要他们转化为数学语言的文字题，阅读偏差较大有些中学生做题急于求快，粗略读题，经常忽略题中的关键性文字例 4 当 x＿＿＿＿时， 1- x 2+ x 有意义；当 x＿＿＿＿时， x- 22- 3 x 无意义错解 ：第一个空，学生基本都能答对。

但第二个空，有相当一部分同学得出“ x≥ 2 且 x≠ 8” 的错误答案分析 ：犯此错误的学生是典型的读题不仔细，对题中重要的细节“无意义”熟视无睹主要是受前半题“有意义”的影响，学生在解后半题时，不假思索也当作“有意义”来解，导致与正确答案截然相反的结果例 5 116 的算术平方根为＿＿＿＿？错解 ：不少学生得出的答案是 116 = 1 4 分析 ：显然这是学生因为没有仔细读题，而不能很好的理解题意，造成不必要的错误题中要求 116 的算术平方根，其实并非求 116 的算术平方根即不是求116 = ？而是求116 = ？正确的解题过程应该包含两次运算，一次是求出 116 = 1 4 ；第二次是求出 116 ，即 16 = 14 = 1 2 2.2 不理解题意数学题意的理解包括两个层面其一是语法的理解，这属于语文的范畴当题中有复杂长句时，少数学生抓不住主、谓、宾等语法成分，从而不能很好地变复杂句为简单句，造成不能正确理解题意例 6 顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得的是什么四边形？分析： 有学生搞不清“连接”的究竟是“对角线” 、 “各边”还是“各边中点” 所以首先问题语言表达进行语法分析： “四边形各边”是中点的定语， “对角线相等”6 是“四边形”的定语，因此“连结”的对象即宾语是“中点” 。

这属于语文句法的阅读理解接下来是对数学知识的理解分析，即数学意义的阅读理解如“对角线相等” ， “各边中点” ，的数学含义在此基础上再进而思考所得的究竟是什么四边形？运用三角形中位线定理容易得到，这个四边形的对边分别平行，各边均相等由此可知，四边形是菱形例 7 一个实数的算术平方根小于 3，那么这个实数可能取的整数值为＿＿＿＿？错解： 有学生答： 0， 1， 4分析： 题中求的是这个实数的整数解， 但对此实数的算术平方根是否为整数并无要求得出 0， 1， 4 错解的学生，误以为所求整数的算术平方根也必须是整数，因此漏了很多解正确答案应为： 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8我们常说，学科之间是相互渗透的，没有绝对孤立的学科因此，提高数学解题水平，基本的语文知识是不可或缺的其二是数学知识的理解，这属数学的范畴抓住题中所给信息，并结合所学的数学概念，是正确解题的前提尤其遇到看似“超范围”的题目时，理解题意就显得尤为重要如何从题目中获取未曾学习过的知识、信息，是培养中学生学习能力的重要方面例 8 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢 2 进 1” ，如(1101) 2 表 示 二 进 制 数 ， 将 它 转 换 成 十 进 制 形 式 是 1 × 23+1 × 22+0 × 21+1 ×20=13, 那 (1101) 2 转换成十进制形式是数是 ( ) (A) 8 (B) 15 (C) 20 (D) 30 分析： 中学生在未接触二进制的前提下，做例 4 这样的题目，就充分体现出学生对题意理解的能力。

如果真正理解了题中信息，弄清每个数字所在的位置与不同的含义，再结合十进制有关知识，此题的答案便迎刃而解了2.3 不会转换成数学语言对于一个实际问题，通常需要学生首先将其转换为数学语言或数学图形，然后再对其求解数学语言的转换十分重要，有利于培养学生从实际问题中抽象出数学思维的能力由于这一步没到位而导致错误，也是中学生的一大典型错误7 第三、四课时3.0 忽视条件3.1 忽视数学公式、法则的条件数学中的公式、法则都由条件和结论组成要应用结论，必须首先注意能使结论成立的条件在数学学习中，如果学生只局限于死记一些结论而不注意强调使结论成立的条件，往往会导致谬误在教育实习期间，我发现根式的基本性质“ a2 = a (a≥ 0)” 这一知识点，学生最容易忽视公式条件许多错误都是由此引起的例 9 化简 x+ 2 x- 1 ＋ x- 2 x- 1错解 ：原式 = ( x- 1 +1) 2 ＋ ( x- 1 - 1)2= x- 1 ＋ 1＋ x- 1 － 1 =2 x- 1分析 ：学生常将公式 ( a ) 2 = a 与 a2 = | a | 相混淆。