2023年考研数学三真题及答案.doc

2023年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目规定的1) 曲线渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C解析】由,得是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由得是曲线的一条垂直渐近线；由得不是曲线的渐近线；综上所述，本题对的答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2) 设函数,其中为正整数，则(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】【方法1】令,则 故应选A. 【方法2】 由于,由导数定义知 . 【方法3】 排除法，令,则 则(B)(C)(D)均不对的 综上所述，本题对的答案是(A) 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3) 设函数连续，则二次积分(A)(B)(C)(D)【答案】B解析】令,则所相应的直角坐标方程为,所相应的直角坐标方程为。

由的积分区域得在直角坐标下的表达为所以综上所述，本题对的答案是(B)考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算(4) 已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则(A) (B)(C) (D)【答案】D解析】由级数绝对收敛，且当时，故,即由级数条件收敛，知综上所述，本题对的答案是(D)【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的鉴定(5) 设,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A) (B)(C) (D)【答案】C解析】个维向量相关显然 所以必线性相关综上所述，本题对的答案是(C)考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关(6) 设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若,则(A) (B)(C) (D)【答案】B解析】由于经列变换(把第2列加至第1列)为，有那么 =综上所述，本题对的答案是(B)考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换(7) 设随机变量互相独立，且都服从区间上的均匀分布，则(A) (B)(C) (D)【答案】D。

解析】而即是在正方形上等于常数1，其余地方均为0，事实上就是单位圆1在第一象限的面积综上所述，本题对的答案是D考点】概率论与数理记录—多维随机变量的分布—二维随机变量分布(8) 设为来自总体的简朴随机样本，则记录量的分布为(A) (B)(C) (D)【答案】B解析】1， ，故；2， ，故，, 3， 与互相独立与也互相独立， 所以综上所述，本题对的答案是B考点】概率论与数理记录—数理记录的概念二、填空题（914小题，每小题4分，共24分9) 解析】这是一个‘’型极限，由于所以【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(10) 设函数,则 答案】【解析】可看做,与的复合，当时由复合函数求导法则知【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(11) 设连续函数满足,则 【答案】 【解析】 由，且连续，可得,且 , 由可微的定义得 ,即 【考点】高等数学—多元函数的微分学—多元函数偏导数的概念与计算(12) 由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为 。

答案】【解析】 O 1 2 曲线和直线及在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用(13) 设为3阶矩阵，为的随着矩阵若互换的第1行与第2行得到矩阵，则 答案】-27【解析】【方法1】两行互换两列互换变成，所以,再由行列式乘法公式及，则 【方法2】根据题意 ，即 那么 从而 【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质 线性代数—矩阵—随着矩阵，矩阵的初等变换(14) 设是随机事件，互不相容，则 答案】【解析】互不相容，自然有,当然更有，所以【考点】概率论与数理记录—随机事件和概率—事件的关系与运算，概率的基本公式，事件的独立性三、解答题：小题，共94分解答应写出文字说明、证明过程或演算环节15) 求极限【解析】【方法1】 (等价无穷小代换) (洛必达法则) 【方法2】 (等价无穷小代换) (泰勒公式) 【方法3】 (拉格朗日中值定理) (洛必达法则) () 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算 高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法则(16) 计算二重积分其中是以曲线及轴为边界的无界区域。

解析】 【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算(17) 某公司为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元）设该公司生产甲、乙两种产品的产量分别是(件)和（件），且这两种产品的边际成本分别为(万元/件)与(万元/件).(I) 求生产甲、乙两种产品的总成本函数(万元)；(II) 当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；(III) 求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释经济意义解析】(I) 总成本函数 （万元）(II) 由题意知，求在时的最小值，构造拉格朗日函数解方程组 得.因也许极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为50件时，甲乙两种产品的产量分别是24,26时可使总成本最小，且此时投入总费用(万元)(III) 甲产品的边际成本函数：,于是，当总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别是24,26时，若甲的产量每增长一件，则总成本增长32万元。

18) 证明：【解析】【方法1】记,则当时，由于,所以,从而单调增长又由于，所以，当时，; 当时，，于是是函数在内的最小值从而当时，即【方法2】记,显然，是偶函数，因此只要证明由于从而有，有则当时，即【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数的极值(19) 已知函数满足方程及 (I) 求的表达式；(II) 求曲线的拐点解析】(I) 联立得,因此 代入，得,所以(II)当时，; 当时，,又,所以曲线的拐点为【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(20) 设,.(I) 计算行列式；(II) 当实数为什么值时，方程组有无穷多解，并求其通解解析】(I) 按第一列展开,(II) 当时，方程组有无穷多解，由上可知或假如方程组无解，舍去当时，，方程组有无穷多解，取为自由变量，得方程组通解为为任意常数【考点】线性代数—线性方程组—线性方程组有解和无解的鉴定，非齐次线性方程组的通解(21) 已知,二次型的秩为2(I) 求实数的值；(II) 求正交变换将化为标准形解析】(I) 由于,对做初等行变换, 所以，当时，(II) 由于，所以，矩阵的特性多项式为，于是的特性值为当时，由方程组,可得到属于的一个单位特性向量；当时，由方程组,可得到属于的一个单位特性向量；当时，由方程组,可得到属于的一个单位特性向量。

令,则在正交变换下的标准形为【考点】线性代数—矩阵—矩阵的特性值和特性向量的概念、性质线性代数—二次型—二次型的标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形(22) 设二维离散型随机变量的概率分布为 01201002(I) 求；(II) 求.【解析】(I)(II) 由的概率分布可得所以所以【考点】概率论与数理记录—随机变量的数字特性—随机变量的数学盼望(均值)、方差、标准差及其性质(23) 设随机变量互相独立，且都服从参数为1的指数分布，记.(I) 求的概率密度；(II) 求.【解析】(I) 当时，，(II)【考点】概率论与数理记录—随机变量及其分布—常见随机变量的分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量函数的分布概率论与数理记录—随机变量的数字特性—随机变量的数学盼望(均值)、方差、标准差及其性质。