高中数学立体几何成套课件人教新课标必修2二面角(一).ppt

平面的一条直线把平面分为平面的一条直线把平面分为两两部分，部分，其中的每一部分都叫做一个其中的每一部分都叫做一个半平面半平面从一条从一条直线出发的两个半平面直线出发的两个半平面所组成的图形叫做所组成的图形叫做二面角二面角1 1））半平面半平面（（2 2））二面角二面角lαl这条直线叫做二面角的这条直线叫做二面角的棱棱，，每个半平面叫做二面角的每个半平面叫做二面角的面面1、二 面 角角角BAO边边边边顶点顶点从一点出发的两条射线从一点出发的两条射线所组成的图形叫做所组成的图形叫做角角定义定义构成构成边边—点点—边边 （顶点）（顶点）表示法表示法∠AOBAB面面面面棱棱a从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫半平面所组成的图形叫做做二面角二面角面面—直线直线—面面 （棱）（棱）二面角二面角—l—或二面角或二面角—AB—图形图形二面角二面角类比平面角与二面角类比平面角与二面角二面角二面角的表示l  AB  二面角二面角 －－AB－－    l二面角二面角 －－ l－－  二面角二面角C－－AB－－ DABCD5OBA∠∠AOBABCEFD二面角二面角C－－AB－－ F二面角二面角的平面角  lOO1ABA1B1∠∠A O B∠∠A1O1B1？ 6 6、以二面角的、以二面角的棱棱上任意一点为端点，在上任意一点为端点，在两两个面内个面内分别作分别作垂直垂直于棱的两条射线，这两条于棱的两条射线，这两条射线所成的射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。

二面角的平面角平面角是平面角是直角直角的二的二面角叫做面角叫做直二面角直二面角9二面角的大小用它的平面角来度量二面角的大小用它的平面角来度量二面角二面角的平面角注意：二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：：3））角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1））角的顶点在棱上角的顶点在棱上2））角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 7 7、以二面角的、以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在两在两个面内个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这两条射的两条射线，这两条射线所成的线所成的角角叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角10  lOABAOB二、练习二、练习1.判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：（（1）两个相交平面组成的图形叫做二面角（）两个相交平面组成的图形叫做二面角（ ））（（2）角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角）角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二面角的平面角是二面角的平面角 （（ ））（（3）二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱。

二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱 （（ ））ABαβιp假假假假真真①、点、点P在棱上在棱上②、点、点P在一个半平面上在一个半平面上③、点、点P在二面角内在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法定义法—三垂线定理法三垂线定理法—垂面法垂面法3 3、作二面角的平面角的常用方法、作二面角的平面角的常用方法法国卢浮宫前的玻璃金字塔是完美的方锥形，法国卢浮宫前的玻璃金字塔是完美的方锥形，它的侧面与底面成多少度角呢？它的侧面与底面成多少度角呢？如果抽象成四棱锥如何求此二面角呢如果抽象成四棱锥如何求此二面角呢练习练习1.如图如图 ABCD是正方形是正方形，，PD┻┻平面平面ABCD,则则(1)面面PAB与面与面ABCD所成二面角的所成二面角的平面角是平面角是_____________,(2)面面PBC与面与面ABCD所成二面角的所成二面角的平面角是平面角是_____________,(3)面面PAD与面与面PCD所成的二面角的所成的二面角的平面角是平面角是______________,ABCDPO解：由正方体的面对角线的长都相等可解：由正方体的面对角线的长都相等可知，知，△A△A1 1BD≌△CBD≌△C1 1BDBD，且为正三角形，且为正三角形取取BDBD的中点的中点O O，连结，连结A A1 1O O、、C C1 1O O、、A A1 1C C1 1，则，则A A1 1O⊥BDO⊥BD，，C C1 1O⊥BDO⊥BD，，∴∴　　∠A∠A1 1OCOC1 1就是二面角就是二面角A A1 1－－BDBD－－C C1 1的平面角。

的平面角二面角的例题分析AO  lD例例1、、已知锐二面角已知锐二面角 －－ l－－   ，，A为面为面 内一点内一点，，A到到  的距离为的距离为 2 ，，到到 l 的距离为的距离为 4，，求求二面角二面角  －－ l－－   的大小解解：：过过 A作作 AO⊥⊥ 于于O，，过过 O作作 OD⊥⊥ l 于于D，连，连AD则由三垂线定理得则由三垂线定理得 AD⊥⊥ l∴∴AO=2 ，，AD=4∴∠∴∠ADO就是二面角就是二面角  －－ l－－   的平面角的平面角∴∴ ∠∠ADO=60°∴二面角二面角  －－ l－－   的大小为的大小为60 °在在Rt△△ADO中，中，①①②②③③17④④ 二面角的例题分析AO  lD例例1、、已知锐二面角已知锐二面角 －－ l－－   ，，A为面为面 内一点内一点，，A到到  的距离为的距离为 2 ，，到到 l 的距离为的距离为 4，，求求二面角二面角  －－ l－－   的大小解解：：过过 A作作 AO⊥⊥ 于于O，，过过 O作作 OD⊥⊥ l 于于D，连，连AD则由三垂线定理得则由三垂线定理得 AD⊥⊥ l∴∴AO=2 ，，AD=4∴∠∴∠ADO就是二面角就是二面角  －－ l－－   的平面角的平面角∴∴ ∠∠ADO=60°∴二面角二面角  －－ l－－   的大小为的大小为60 °在在Rt△△ADO中，中，①①作作②②证证③③计算计算17④④结论结论 二面角的计算小结1、、找出或作出二面角的平面角找出或作出二面角的平面角2、、证明（证明（1））中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、、计算出此角的大小计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”16例例2.2.如如图图，，已已知知P P是是二二面面角角α-α-ABAB-β-β棱棱上上一一点点，，过过P P分分别别 在在 α α、、 β β内内 引引 射射 线线PMPM、、 PNPN，， 且且∠MPN=60º∠MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。

求此二面角的度数βαABPMNCDO解解：：在在PBPB上取不同于上取不同于P P 的一点的一点O O，，在在α α内过内过O O作作OC⊥ABOC⊥AB交交PMPM于于C C，，在在β β内作内作OD⊥ABOD⊥AB交交PNPN于于D D，，连连CDCD，可得，可得∠COD∠COD是二面角是二面角α-α-ABAB- -β的平面角的平面角设设PO = aPO = a ，，∵ ∵∠BPM =∠BPN = 45º∠BPM =∠BPN = 45ºCO=a，DO=a, PC= a ,PD = a又又∵∠MPN=60º∵∠MPN=60º CD=PC= a∴∠COD=90º∴∠COD=90º因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90ºaOPC二面角的例题分析1 1、二面角指的是（　、二面角指的是（　 ））A A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度从一条直线出发的两个半平面所夹的角度B B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形从一条直线出发的两个半平面所组成的图形C C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。

D D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角2 2、二面角的平面角的顶点在二面角的＿＿上，、二面角的平面角的顶点在二面角的＿＿上，角的两边分别在二面角的＿角的两边分别在二面角的＿　　　　　　　　＿内，且两＿内，且两边都与棱＿＿＿＿，它的度数与它的平面角的度边都与棱＿＿＿＿，它的度数与它的平面角的度数＿＿＿数＿＿＿4、课　堂　诊　断、课　堂　诊　断B棱棱两个半平面两个半平面垂直垂直相等相等3、、如如图图，，AB是是圆圆的的直直径径，，PA垂垂直直圆圆所所在在的的平平面面，，C是是圆圆上上任任一一点点，，则二面角则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.∠∠ABP B.∠∠ACP C.都不是都不是练练 习习:OABCP60º二面角4、、已已知知P为为二二面面角角 内内一一点点，，且且P到到两两个个半半平平面面的的距距离离都都等等于于P到到棱棱的的距距离离的的一一半半，，则则这这个二面角的度数是多少？个二面角的度数是多少？PβlAB课堂练习课堂练习ABCD1 1、如图，将等腰直角三角形纸片沿、如图，将等腰直角三角形纸片沿 斜线斜线BCBC上的高上的高ADAD折成直二面角折成直二面角. . 求证求证: : 解解:(:(略略) )例例3 3、如图，设、如图，设E E、、F F、、G G是正方体是正方体ACAC1 1的棱的棱AAAA1 1、、ABAB、、BCBC的中点，求二面角的中点，求二面角E E－－FGFG－－A A的大小。

的大小解：解：如图，过点如图，过点A A作作AH⊥FGAH⊥FG交交GFGF的延长线于点的延长线于点H H，连结，连结EHEH　由由 EA⊥EA⊥平面平面ACAC得：得：AHAH为为EHEH在面在面ACAC内的射影内的射影所以所以EH ⊥⊥FG，，故故∠∠EHA就是二面角就是二面角 E－－FG－－A 的平面角的平面角H∴　二面角二面角E E－－FGFG－－A A的大小为的大小为 　3、如图，∠APB是二面角α－a－β的平面角， ∠CDE的顶点在棱a上，且两边DC和DE分别在二面角的两个面内（都不与a重合），则（　 ）A、 ∠APB≥ ∠CDE＞0B、 ∠APB≤ ∠CDE＜ πC、 ∠APB＝ ∠CDED、0 ＜ ∠CDE ＜π课　堂　诊　断D1、二面角的定义2、二面角的平面角的定义3、二面角的平面角的求解：①找（或作）出平面角⑴定义法　　　　　⑵棱的垂面法⑶三垂线定理法　②求解解三角形 二面角是立体几何中空间三角：线二面角是立体几何中空间三角：线线角、线面角、面面角之一二面角由线角、线面角、面面角之一二面角由其平面角度量体现了立体几何降维的主其平面角度量体现了立体几何降维的主要解题思想，而转化方法的多样性又体要解题思想，而转化方法的多样性又体现了数学的丰富多彩。