巧用三角反代换,,单位圆中破疑难.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑巧用三角反代换,,单位圆中破疑难 魏榜 胡凤娟 刘明华 张茜 [摘  要] 三角反代换借助单位圆直观地反映了同角三角函数的关系，不仅能快速确定一般处境f（cosθ，sinθ）=0时角θ在单位圆中的位置，还能实现三角问题向代数和几何问题的转化. [关键词] 单位圆;三角反代换;数形结合;三角方程;三角不等式 [?]引言 三角函数在高中数学中有着相当重要的地位，在全国卷高考中大约占20至30分. 但在日常教学中察觉，学生在求解三角方程问题时难以精确确定角的范围，轻易展现多解漏解等处境[1]. 大量题目的解答过程尝试了多种方法对角的范围举行限制，但大多是通过运算的技巧来缩小角的范围，然而技巧较多，适应范围也较为局限，尚无一般通法. 笔者通过研究，在任意角三角函数值定义的根基上总结出了一套通过数形结合解三角方程以及三角不等式的通用方法——三角反代换法，可有效解决上述问题. 我们知道，三角代换是数学中常用的换元法之一，它能够利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，合理的代换将会使求解过程简朴化，甚至使一些很难求的问题快速求解[2]. 那么，“三角反代换”会有什么样的妙用呢？ [?]三角反代换与单位圆 对任意f（cosθ，sinθ）=0 ，均有f（cosθ，sinθ）=0， cos2θ+sin2θ=1，举行换元即三角反代换，令cosθ=x， sinθ=y，那么方程组转化为f（x，y）=0， x2+y2=1，在由θ抉择的定义域内解得（x，y）=（cosθ，sinθ）. 由于（cosθ，sinθ）与角θ相对应，记函数f（x，y）=0的图像与单位圆交点为P，P，P，…，P，那么P是角θ终边与单位圆的交点，即∠xOP为所求θ（注：x为x轴正方向任意一点）. [?]三角反代换用法举例分析 三角反代换的用法可分为两大类，一是数形结合在单位圆中确定角的概括位置;二是将三角问题转化为代数或几何问题. 接下来将逐一介绍： 1. 确定角的位置：解三角方程和三角不等式 三角反代换后作出函数f（x，y）=0的图像，通过其与单位圆的交点可以确定角的终边，也就是确定了角的位置. 下面以例1为例，细致说明三角反代换的概括步骤. 例1：已知sinθ=，求θ. 解：第一步：三角反代换令sinθ=y，原式变成y=. 其次步：作出y=和x2+y2=1并标出其交点P和P. 第三步：标出∠xOP和∠xOP，记为θ和θ，再加上周期即为所求θ（图1）. 第四步：求出第一象限θ=+2kπ，k∈Z. 由对称关系得θ=+2kπ，k∈Z. 综上：θ=（2k+）π±，k∈Z. 变式：在△ABC中，sinA+cosA=，判断△ABC的外形. 解：三角反代换作出x+y=与单位圆图像，如图2所示，可得出A=∠xOP或∠xOP. 又0 评注：可以看出在确定角所在象限估算角的范围时，三角反代换是一个分外干脆的方法，通过数形结合能够直观地看出角的大小，在不追求切实计算时分外实用，能起到稀奇制胜的效果. 三角反代换不仅能解三角方程，还能解三角不等式，请看例2. 例2：解不等式tanθ≤1. 解：三角反代换作出≤1的线性区域，与单位圆相交于如图3所示两段圆弧BC和弧DE（不含B，D两端点）：那么弧BC和弧DE上除B，D两点外每一点都是θ终边与单位圆的交点，对应θ的取值范围为 k+ π<θ≤ k+ π，k∈Z. 变式：（2018北京卷文科7）在平面直角坐标系中，圆x2+y2=1上的四段弧，，，（如图4），点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边. 若tanα