第7节一元函数的连续性与间断点ppt课件.ppt

9/23/2024 6:45 AM§2.7 一元函数的连续性与间断点一元函数的连续性与间断点　　　　1. 函数的连续性函数的连续性　　　　2. 函数的间断点函数的间断点　　　　3. 连续函数的运算法则连续函数的运算法则　　　　4. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质9/23/2024 6:45 AM　　　　1. 函数的连续性函数的连续性　　【定义　　【定义 2.8】设变量　从初值　改变到终】设变量　从初值　改变到终　　说明　改变量可以是正的，也可是负的例如例如　从0变到1，　从1变到0，第第2 2章章 极限与连续极限与连续值　，变量，变量，终值与初值之差　　　称为变量　的改记作　　　　那么那么9/23/2024 6:45 AM如下图　　设函数　　　　，第第2 2章章 极限与连续极限与连续　　　　时，当自变量　从　改变到函数　相应的改变量为　　函数　相应的改变量为　　9/23/2024 6:45 AM　　例　设正方形的边长　有一个改变量　如下图，面积的改变量面积　改变了多少？第第2 2章章 极限与连续极限与连续9/23/2024 6:45 AM　　简单地说，　　　。

如下图处不连续处不连续处连续处连续第第2 2章章 极限与连续极限与连续函数也有一个很小的变化当自变量有一个很小的变化时，即　　　　时，9/23/2024 6:46 AM或则称函数　　在点　处连续　　函数连续定义的等价形式　　函数连续定义的等价形式 　　【定义　　【定义 2.9】设函数　　　　在点　的某】设函数　　　　在点　的某即　　【定义　　【定义 2.10】设函数　　　　在　的某个】设函数　　　　在　的某个　　在点　处连续第第2 2章章 极限与连续极限与连续邻域内有定义，假设则称函数个邻域内有定义，得的改变量　　　时，如果当自变量　在点　处取函数的改变量　　　，9/23/2024 6:46 AM　　事实上，　（　（1〕函数　　　　在　处有定义；〕函数　　　　在　处有定义；　（　（2〕极限　　　　存在；〕极限　　　　存在；　（　（3〕极限值等于函数值　　　　　　　〕极限值等于函数值　　　　　　　若有一条不满足，函数在　处不连续若有一条不满足，函数在　处不连续第第2 2章章 极限与连续极限与连续具备下列三个条件：具备下列三个条件：函数　　　　在　处连续要同时9/23/2024 6:46 AM　　例1　证明函数　　 在给定点　处连续。

　　证　当　在　处有一个改变量　　时，函数　　　有改变量所以，函数　　　在　处连续第第2 2章章 极限与连续极限与连续证毕9/23/2024 6:46 AM　　【定义　　【定义 2.11】设函数　　在区间　　上】设函数　　在区间　　上　　说明　　　在左端点　处和右端点　处连　　如上例中，　　　在　　　　内连续第第2 2章章 极限与连续极限与连续每一点都连续，　　是　　的连续区间则称　　在　　上连续， 并称续是指而点　可以是　　　　内的任意一点，函数　　　在给定点　处连续，因而9/23/2024 6:46 AM　　例　　例2　证明函数　　　　证明函数　　　 在　　　在　　　 内连续　　证　设　为　　　　内任意一点，因为所以即第第2 2章章 极限与连续极限与连续处有改变量　　，函数的改变量　在　9/23/2024 6:46 AM　　因而所以函数　　　　在点　处连续　　再由　的任意性知，证毕同理可证　　　　在　　　　内连续第第2 2章章 极限与连续极限与连续内连续函数　　　　在9/23/2024 6:46 AM　　说明　由函数在一点　处连续的定义及连续函数的极限符号与函数符号可以交换连续函数的极限符号与函数符号可以交换　　例如　求　　解第第2 2章章 极限与连续极限与连续有9/23/2024 6:46 AM　　　　2. 函数的间断点函数的间断点　　【定义　　【定义 2.12】若函数　　在点　处不满足】若函数　　在点　处不满足　　定义等价于　　定义等价于第第2 2章章 极限与连续极限与连续连续条件，称函数　　在点　处间断，断点。

断点则称函数　　在点　处不连续，或点　称为　　的间9/23/2024 6:46 AM　　若函数　　在　的去心邻域内有定义，　　（1〕函数　　在　处无定义；　　（2）　　　　不存在；　　（3）第第2 2章章 极限与连续极限与连续则下列情形之一， 称函数　　在　处间断9/23/2024 6:46 AM　　例　　例3　讨论函数　　　在点　　处的连续　讨论函数　　　在点　　处的连续如下图　　解　由于函数在点　　处无定义，函数　　　在处间断第第2 2章章 极限与连续极限与连续性故9/23/2024 6:46 AM　　例　　例4　设函数　　　　　　　　　，　设函数　　　　　　　　　，函数　　在点　　处的连续性　　解　由于那么　　　　不存在，　　在　　处间断如下图第第2 2章章 极限与连续极限与连续故讨论9/23/2024 6:46 AM　　例　　例5　设函数　　　　　　　　，　设函数　　　　　　　　，数　　在点　　处的连续性　　解　由于故函数　　在　　处如下图第第2 2章章 极限与连续极限与连续连续讨论函9/23/2024 6:46 AM　　间断点的类型　　【定义　　【定义2.13】】　　设　是函数的间断点均存在假设　　　　　　，称　为可去间断点。

假设　　　　　　，称　为跳跃间断点例4中，　　是跳跃间断点例5中，　　是可去间断点；第第2 2章章 极限与连续极限与连续　　第一类间断点　　第一类间断点9/23/2024 6:46 AM　　第二类间断点　　第二类间断点至少有一个不存在　若其中至少有一个振荡，例3中，　　是无穷间断点；　若其中至少有一个为　，如图是函数　　　　的振荡间断点第第2 2章章 极限与连续极限与连续称　为无穷间断点；称　为振荡间断点9/23/2024 6:46 AM　　　　3. 连续函数的运算法则连续函数的运算法则　　【定理】若函数　　与　　在点　处　　【定理】若函数　　与　　在点　处在　处也连续例例因为　　　　　在区间　　　　内连续，　　证　只要证明极限值等于函数值即可 （略）所以　　　　　　在其定义域内连续第第2 2章章 极限与连续极限与连续连续， 那么9/23/2024 6:46 AM　　【定理】若函数　　　　在区间　上单调　　【定理】若函数　　　　在区间　上单调　　例　由于函数　　　　在闭区间　　　　上单调增加且连续，在闭区间　　　上也是单调增加且连续所以其反函数第第2 2章章 极限与连续极限与连续增加〔减少〕且连续，也在对应的区间　　　　　　　　　　上，调增加〔减少〕且连续。

证略）则其反函数单9/23/2024 6:46 AM　　【定理】设函数　　　　　由函数　　【定理】设函数　　　　　由函数　　例　求　　例　求即　　解第第2 2章章 极限与连续极限与连续与函数　　　　复合而成，而函数　　　　在　　　连续，假设那么（证略）9/23/2024 6:47 AM　　例　讨论函数　　　　的连续性　　【定理】设函数　　　　　由函数　　【定理】设函数　　　　　由函数　　解　由于函数　　　　在　　　　内连续而　　　在　　　　　　　内连续，　　　　在　　　　　　内连续第第2 2章章 极限与连续极限与连续与函数　　　　复合而成，　　　连续，且　　　　，　　　连续，也连续证略）若函数　　　　在而函数　　　　在则复合函数　　　　　在　　　则函数9/23/2024 6:47 AM初等函数在其定义区间内都是连续的初等函数在其定义区间内都是连续的基本初等函数在其定义域内都是连续的基本初等函数在其定义域内都是连续的　　初等函数的连续性第第2 2章章 极限与连续极限与连续包含在定义包含在定义域内的区间域内的区间9/23/2024 6:47 AM　　　　4. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质　　【定理】（有界性定理〕若函数　　【定理】（有界性定理〕若函数　　【定理】（最大值与最小值定理）　　【定理】（最大值与最小值定理）第第2 2章章 极限与连续极限与连续严格的理论证明省略。

　　下面定理只从几何直观上加以说明，　　　　在闭区间　　上连续，区间上有界那么　　在此若函数　　　　在闭区间　　上连续，在此区间上一定有最大值和最小值那么将9/23/2024 6:47 AM如下图　　　　在闭区间　　上连续，得最小值； 在　　　处取得最大值函数在此区间上有界第第2 2章章 极限与连续极限与连续在　　　处取因而，9/23/2024 6:47 AM　　【定理】（介值定理〕若函数　　在　　【定理】（介值定理〕若函数　　在　　推论〔零点存在定理〕若函数　　在闭区　　推论〔零点存在定理〕若函数　　在闭区第第2 2章章 极限与连续极限与连续闭区间　　上连续，上的最大值和最小值，任一个实数使得　　　　和　分别为　　在则对介于　和　之间的至少存在一点间　　上连续，点　　　　，且　　　　　　， 则至少存在一使得　　　　9/23/2024 6:47 AM如下图介值定理介值定理零点存在定理零点存在定理第第2 2章章 极限与连续极限与连续9/23/2024 6:47 AM　　例6　利用介值定理证明方程在区间　　　　　　　　内各有一个实根　　证　设由介值定理知，存在使得即　　　　为给定方程的实根。

又由于三次方程最多有三个根，第第2 2章章 极限与连续极限与连续所以各区间内只有一个9/23/2024 6:47 AM　　例　　例7　求　求　　解　　例　　例8　求　求　　解第第2 2章章 极限与连续极限与连续9/23/2024 6:47 AM　　例　　例9　证明　当　　　时，　证明　当　　　时，　　证所以证毕第第2 2章章 极限与连续极限与连续9/23/2024 6:47 AM内容小结内容小结　　　　1.函数连续的等价定义函数连续的等价定义2. 间断点间断点　　函数在　点连续第一类间断点第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）第二类间断点第二类间断点（无穷间断点，振荡间断点）第第2 2章章 极限与连续极限与连续存在左右极限至少有一个不左右极限都存在充分必要条件充分必要条件9/23/2024 6:47 AM　　　　3.初等函数在其定义区间内连续初等函数在其定义区间内连续　　　　4.分段函数在分界点处的连续性，分段函数在分界点处的连续性，　　　　5.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质（有界性定理，最大值、最小值定理，介值定（有界性定理，最大值、最小值定理，介值定第第2 2章章 极限与连续极限与连续定义或充要条件讨论。

定义或充要条件讨论需要用需要用理，零点存在定理）理，零点存在定理）9/23/2024 6:47 AM备用题备用题　　1.若函数　　在　点连续，　　解　因为所以即　　　　　　在　处连续反之不成立，　是有理数　是无理数　　处处间断，第第2 2章章 极限与连续极限与连续是否在　处连续？问反之是否成立？而　　　　　处处连续如9/23/2024 6:47 AM　　2.讨论函数　　　　　　　间断点的类型　　解　　　　是其间断点因为所以，是可去间断点，是无穷间断点，第第2 2章章 极限与连续极限与连续即第一类间断点即第二类间断点9/23/2024 6:47 AM时，函数　　为连续函数　　解由连续性知第第2 2章章 极限与连续极限与连续　　3.设函数9/23/2024 6:47 AM　　4.确定函数　　　　　　间断点的类型　　解　间断点为无穷间断点故，　　为跳跃间断点第第2 2章章 极限与连续极限与连续。