线性代数：LA2-1 向量的线性相关性.ppt

第二章第二章第二章第二章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组目的：目的： 研究线性方程组的解的结构向量的线性相关性向量组的秩齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构内容：内容：分量全为复数的向量称为复向量分量全为实数的向量称为实向量，一一 向量的定义及运算向量的定义及运算定义定义2.1.12.1.1 由由n个数个数 a1, ,a2,…,,…,an 顺序构成的顺序构成的 n元有序数组称为元有序数组称为n元元向量向量( (或或n维维向量向量) )，， 记为记为   = =（（a1, ,a2,…,,…,an））, , (2.1.1)称称 ai 为为向量向量  的第的第 i 个个分量分量 (i =1, ,2,…,,…,n)2.1     向量的线性相关性向量的线性相关性　　　　  n维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，如：，如：　　　　 n维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，如：，如：也可记为也可记为注意注意　　　　１．行向量和列向量总被看作是１．行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；； 2 . 2 . 把向量视为矩阵（把向量视为矩阵（行向量行向量视为视为行矩阵行矩阵，，列向量列向量视为视为列矩阵列矩阵），可引入向量的两种线性运），可引入向量的两种线性运算：算：加法加法与与数乘数乘。

  定义定义 设设  = =(a1 1, ,a2 2,…,,…,as), ,   = =(b1 1, ,b2 2,…,,…,bt)若若 s = t 且且 ai = bi ( ( i =1,2,…,=1,2,…,s),),则称则称向量向量  与与  相等相等，记为，记为  =   . . 定定义义2.1.32.1.3 (1) (1) 设设  = =（（a1 1, ,a2 2,…,,…,an））, ,  = =（（b1 1, ,b2 2,…,,…,bn））是两个是两个n元向量元向量, ,则称下列向量则称下列向量（（a1 1+ +b1 1, ,a2 2+ +b2 2,…,,…,an+ +bn））为为向量向量  与与  的的和和，，记为记为  + +  . .（（2 2））设设   = =（（a1 1, ,a2 2,…,,…,an））是是n元元向向量量，，k是是数数，，称下列向量称下列向量 （（ka1 1, ,ka2 2,…,,…,kan）） 的的数量乘积数量乘积，，记为记为 k  . 为为数数k与向量与向量   例例2.1.12.1.1 设   = =（（a1,a2,…,an））是任一n元向量，则0  = =（（0,0,…0））(-1)  = =（（- -a1,-,-a2,…,-,…,-an）） 我们称分量全为零的向量（（0,0,…,0））为零零向向量量，，记为  ；；称向量（（-a1,-a2,…,-an））为向向量量 的的负负向量向量，，记为 - - . .向量的减法减法显然，对任意数显然，对任意数k，有，有 k  ＝＝  . .注注 向量的线性运算是几何运算的推广和延拓。

向量的线性运算是几何运算的推广和延拓        例例  在平面在平面  上建立直角坐标系上建立直角坐标系Oxy，设，设     是是 上上任一条有向线段把任一条有向线段把     的起点平移到原点的起点平移到原点O，则其，则其终终点坐标点坐标 (a1, a2) 唯一确定这样，有向线段唯一确定这样，有向线段    唯一对唯一对应应一个一个2元向量元向量 (a1, a2)设     是是 上另一条有向线段，上另一条有向线段，按按上述方法对应上述方法对应2元向量（元向量（b1, b2）则按平行四边形法）则按平行四边形法则，有向线段则，有向线段    与与    的和的和    +     对应的对应的2元向量恰为元向量恰为                                   (a1+b1, a2+b2)  性性质质2.1.12.1.1 设设 ，， ，，  是是任任意意三三个个n元元向向量量, , k, l 是任意两个数是任意两个数，，则有则有（（1 1））   +   =   +  （（2 2）） (  +  ) +  =   +(  +   )       （（3 3））   + +  = =  (  是是 n 元零向量元零向量)      （（4 4））   +(-  )=  （（5 5）） 1  = =  （（6 6））  (kl)  = k(l )（（7 7）） (k+l)  = (k  +l ) （（8 8）） k(  +  ) = k  +k  除此之外，向量的线性运算还有下述性质：除此之外，向量的线性运算还有下述性质：（（1 1）若）若 k  = = , ,则则 k=0 或或  = （（2 2）向量方程）向量方程  +x =  有唯一解有唯一解 x =   - 二二 向量的线性相关性向量的线性相关性是向量组 的一个线线性性组组合合。

此时，也称向量β 可由向量组 线性表出线性表出 定定义义2.1.42.1.4 设 是m个n元向量，，k1 1, ,k2,2,……，，km是任意m个数，，称下列向量        三个基本概念：三个基本概念：        线性组合、线性表出、线性相关与线性无关线性组合、线性表出、线性相关与线性无关例例  一个向量一个向量  的线性组合为的线性组合为______例例  向量组向量组                       能否线性表出能否线性表出      ？？ 例例 2.1.3   已知向量组已知向量组问问  能否由能否由                  线性表出？线性表出？解解  设设则有则有 由此得由此得（存在（存在                                        使使(1)成立成立       它们它们使使(2)成立即  可由可由                 线性表出线性表出       线性线性方程组方程组(2)有解）有解）       经验证，经验证，(2)有解：有解：x1=3, x2=-1, x3=-1, 故故   = 3 1 - 2 - 3, 即即   可由可由  1,  2,  3 线性表出。

线性表出  结论结论    ①①  线性表出线性表出       非齐次方程组有解非齐次方程组有解           ②②  表示法唯一表示法唯一        解唯一解唯一0    ,,,,,,,:22112121= =+ ++ ++ +mmmmkkkkkkA      LLL使全为零的数全为零的数如果存在不不给定向量组2.1.5定义定义注注则称向量组 是线性相关线性相关的，，否则称它线性无关线性无关．．          1. 若若 1,  2, ……, , m 线性无关，则只有当线性无关，则只有当 1=  2=……= m=0时，才有时，才有                       1  1 +  2  2 +……+ +  m  m =0 成立          2. 对于任一向量组，不是线性相关就是线性对于任一向量组，不是线性相关就是线性无关4. 包含零向量的任何向量包含零向量的任何向量组是线性相关的组是线性相关的3.  一个向量一个向量  线性相关线性相关                       5. 对于含有两个向量的向量组，其线性相关对于含有两个向量的向量组，其线性相关的充要条件是两向量的分量的充要条件是两向量的分量对应成比例对应成比例，几何，几何意义是两向量意义是两向量共线共线；三个向量线性相关的几何；三个向量线性相关的几何意义是三向量意义是三向量共面共面。

 例例2.1.42.1.4 在一个向量组中，如果有一个部分组（即由其中一个部分向量构成的向量组）线性相关，则整个向量组也线性相关于是               设向量组设向量组  1,  2, ……,  m 中有某一部分组中有某一部分组线性相关不妨设线性相关不妨设  1,  2,……,  s ( s < m) 线性相关，线性相关，则存在则存在 s 个不全为零的数个不全为零的数 k1, k2, …, ks ， 使得使得证证       因为因为 k1, k2, …, ks, 0, …, 0 不全为零，故由定不全为零，故由定义知义知  1,  2, …,  m 线性相关线性相关注注 线性线性无关组的无关组的任一任一部分组部分组都线性都线性无关无关例例 包含零向量的向量组线性相关包含零向量的向量组线性相关例例 判断向量组是否线性相关解解 设则有（（存存在在不不全全为为零零的的                                              使使  （（1）成立）成立   它们也使（它们也使（2）成立，即）成立，即                                线性相关线性相关     齐次线性方程组（齐次线性方程组（2）有非零解。

有非零解 故故                     线性相关线性相关 线性无关的等价定义线性无关的等价定义：（1） 不存在不存在不全为零的数 ，使（2）对任意不全为零的数 ，均有（3）由 必可导出结论结论 ① ①  1, ……, ,  m 线性相关线性相关 齐次线性方程组齐次线性方程组 AX= =0 有非零解；有非零解； ② ②  1, ……, , m 线性无关线性无关 齐次线性方程组齐次线性方程组 AX=0 没有非零解没有非零解方方程程的的个个数数<未未知知数数的的个个数数，，故故上上述述齐齐次次线线性性方方程组有非零解于是，程组有非零解于是，                       线性相关线性相关 例例 指出向量组的线性相关性。

解解 令则例例 2.1.7   m个个n元向量（元向量（m > n））线性相关线性相关 例例   已知已知                 是三个是三个4维向量，维向量，令令证明：若证明：若                 线性无关，则线性无关，则                  也线性无关也线性无关证明证明  令令                                         ，则有，则有（（1））（（2）） 由由 式式(1)得，得，（（3））已知已知                  线性无关，故由式线性无关，故由式(3)得得所以，所以，                线性无关线性无关 问题问题 (1)  由由                  线性相关是否可得出线性相关是否可得出                   也线性相关？也线性相关？ (2)  由由                 的线性相关性能对的线性相关性能对                  的的线性相关性做出那些判断？线性相关性做出那些判断？(3)  上述讨论是否可在向量个数、向量维数等方面上述讨论是否可在向量个数、向量维数等方面一般化？一般化？ 证证证明证明（充分性）（充分性）即有即有       设设                         中有一个向量（比如中有一个向量（比如      ）能）能由其余向量线性表示，由其余向量线性表示， 定定理理2.1.12.1.1 向量组 线性相关的充分必要条件是：至少存在一个 可由其余向量 线性表出。

故故因因                                         这这      个数不全为个数不全为0，，故故                           线性相关线性相关（必要性）（必要性） 设设                        线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数　　　　　　使的数　　　　　　使                                   即即      能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示不妨设　　　不妨设　　　 则有则有例例   设设                                                                是是n个个n元向量，称之为元向量，称之为n元元基本向量组基本向量组，， 线性无关线性无关，，对任一对任一n元向量元向量     ，有，有                           线性相关，线性相关，且且    可由可由                       线性表出线性表出       定理定理  已知向量组已知向量组                         线性无关，而线性无关，而向量组向量组                             线性相关，则线性相关，则   可由可由                                    线性表出且表示法唯一。

线性表出且表示法唯一证明证明 因因为为                           线线性相关，所以存在性相关，所以存在不全为零的数不全为零的数                     ，使，使 若若          ，则由，则由可得可得且且                        不全为零由此得不全为零由此得                   线性线性相关，与假设矛盾，故相关，与假设矛盾，故           于是，于是，即即  可由可由                   线性表出线性表出设设 则则因因                  线性无关，故线性无关，故即即所以，表示法唯一所以，表示法唯一         例例  已知向量组已知向量组                  线性无关，向量组线性无关，向量组                              线性相关问线性相关问     能否由能否由             线性表出？线性表出？        证明证明（法一）（法一）因为向量组因为向量组                  线性无关，线性无关，故其部分组故其部分组           也线性无关。

又向量组也线性无关又向量组                   线性相关，所以线性相关，所以     可可           由线性表出由线性表出                     因为向量组因为向量组                 线性相关，故存线性相关，故存在不全为零的三个数在不全为零的三个数                 ，使，使（（1））若若            ，则，则           不全为零，并且不全为零，并且由此得由此得            线性相关这与已知条件线性相关这与已知条件“                  线性无关线性无关”相矛盾所以，相矛盾所以，         于是由（于是由（1）式得）式得（法二）（法二）即即    可由可由            线线性表出 定义定义2.1.6  设设                      与与                    是两组是两组n元元向量，若每个向量，若每个                         均可由均可由                     线线性表出，则称性表出，则称向量组向量组                       可由可由向量组向量组                                  线性表出线性表出。

       若向量组若向量组                     与向量组与向量组                    可可相互线性表出，则称相互线性表出，则称向量组向量组                     与与向量组向量组                                         等价等价，记为，记为例例2.1.112.1.11 讨论下列向量之间的关系：（1）           与 (2)  与 例例2.1.122.1.12 一一个个向向量量组组可可线线性性表表出出它它的的任任一一个部分组个部分组 性质性质2.1.22.1.2 向量组的等价具有{ } { }， 对称性：若 自反性： { } { }， 则 { } { }； { } { } ，则 传递性：若 { } { } ,{ } { }； 设 是一组n元向量。

若 存在另一组n元向量 ,使则向量组 线性相关      (1)     可由 线性表出；(2)     s > t ，定理定理2.1.32.1.3 推推论论 设 与 是两组n元向量.若(2(2））           线性无关;（（1 1））           可由 线性表出则        例例  等价的线性无关向量组包含相同个数的等价的线性无关向量组包含相同个数的向量        注注  此结论在比较向量组含有向量的个数多此结论在比较向量组含有向量的个数多少时十分重要少时十分重要作业作业   习题二(P110)： 2，4，5(2)，7，14 (1-15题均可作为练习)。