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第九章 整式第1节 整式的概念【知识要点】1．字母表示数:字母表示数具有简明、普遍的优越性从具体的数过渡到用字母表示数，渗透了从特殊到一般的抽象概括的思维方式2．列代数式:即用字母把数字和数量关系简明地表示出来3．代数式的值:列代数式解决问题时，往往要根据代数式里的字母的取值来确定代数式的值，因此求代数式的值是运用列代数式解决问题的一个重要方面4．整式: 最简单、最基本的代数式（1）单项式:由数与字母的积或字母与字母的积组成的代数式叫单项式单独的一个数或一个字母也是单项式2）多项式：几个单项式的和组成的代数式叫做多项式把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列，反之按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列如：多项式按的降幂排列为，按的升幂排列为学习目标】1．正确理解单项式、单项式系数、单项式的次数、多项式、多项式系数、多项式的次数、整式等含义；2．会用抽象的数学语言描述实际问题；【典型例题】1． 用字母表示数【例1】 黑板的长为2.5米，宽为米，则他的面积和周长分别是多少？【分析】本题是根据长方形的性质求解的，要熟记长方形的面积公式，周长公式。

解答】面积 周长【点评】数字与字母或数字与括号相乘时，通常省略乘号，但要把数字写在字母或括号前面例2】 请用字母表示已学过的四则运算律，如加法结合律等解答】加法交换律：加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 【点评】这里的“×”号，只是为了使表达清晰，实际做题时要注意书写规范例3】 设某数为米，用表示下列各数：（1）某数的平方的相反数；（2）比某数的三倍大7；（3）7加上某数的和的三倍（4）某数与5的和除以某数； （5）某数的倍减去2的差【分析】解本题的关键是审清题意，审题时要抓住关键字，如和、差、积、商、多、少、几倍、几分之几等；要注意书写的规范；按“先读先写”的规则表示解答】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）；【点评】书写规范的通常约定（1） 式中出现的乘号，通常乘号写作“”或省略不写如常写成或（2） 数字与字母相乘，将数字写在字母前面（1省略不写），如不写成（3） 数字与数字相乘，一般仍用“”号4） 式中出现的除法运算，一般按照分数的写法书写，如通常写成（5） 表示字母与分数的积时，分数是带分数要化成假分数。

如：要写成，免得产生的误解另外的一些约定在以后逐步了解例4】 观察下列格式：第一式：；第二式：；第三式：；第四式：；用含字母的式子表示第个式子【分析】归纳一般性的规律，应从最基本、最简单的情形入手思考，本题观察前四个式子的特点，从变化中发现一般性的特点，这样便于发现其中的规律，也是一个从特殊到一般的过程，这也是常用的解题方法和策略解答】第个式子是【例5】 如图9-1，边长为m的正方形卡片，四个角上分别剪去一个边长为的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，如图9-1，试写出计算这个无盖长方形的体积和表面积的公式图 9-1【分析】 长方体体积等于它的长、宽、高三者之积，也等于它的底面积乘以高由本题的条件可知：长方体盒子的高为，而底面是一个正方形，关键是求出它的边长要求这个无盖长方体的表面积，它既可以看成由底面正方形与四块侧面拼成，也可以看成一个大正方形剪去四个小正方形所得解答】解法一：由图9-1可知，无盖长方体的底面为有阴影的正方形，它的边长为，所以长方体的底面积为，该长方形的高为，故长方体的体积公式为： 无盖长方体的表面由一个正方形底面和四个矩形侧面所组成每个矩形的长、宽分别为和面积为，而底面积为，所以其表面积的公式为：解法二：同一解法得，无盖长方体的表面的实质可看成一个大正方形剪去四个小正方形，所以表面积等于大正方形的面积与四个小正方形的面积之差，即。

例6】 下列用字母表示的式子都有其特定的意义，请结合已学知识和经验对他们作出说明：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）； 【解答】（1） 表示互为相反数 （2） 表示异号（3） 表示中至少一个为0 （4） 表示均不为0（5） 表示互为倒数 （6） 表示互为负倒数【点评】本题中的字母是正整数，要注意字母的取值必须使实际问题中提炼出的数量有意义2． 代数式【例1】 下列各式，那些是代数式？① ② ③ ④ ⑤ 0 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨【分析】①、⑥、⑧是典型的用运算符号将数或表示数的字母联结而成④、⑤属于单独一个数或一个字母②是一个等式，③、⑦、⑨是不等式解答】 ①、④、⑤、⑥、⑧是代数式【点评】 用等号或不等号联结的不是代数式！【例2】 用代数式表示：（1）汽车每小时行驶60千米，t小时行驶 千米；（2）哥哥今年岁，比妹妹大岁，妹妹今年 岁；（3）n行树一共有m棵，平均每行数有 棵；（4）某件商品原价元，春节期间以8折出售，则打折后售价为 元；（5）与和的平方的倍；（6）如图正方形的边长为，求阴影部分的面积； 图9-2【分析】本题考查用代数式表示几个比较简单的数量关系。

题（1）关键掌握行程问题中三量的关系，即路程=时间×速度题（2）关键在于分清大数、小数的和差关系题（3）在于区分份数题（4）弄清打折的意义题（5）注意平方和与和平方的区别此类题解题关键之一是抓住语句中的关键性词语，如：“和、差、倍、份、倒数、积、商、平方”等，第二分清运算的顺序题（6）阴影部分面积可以看作两个以为直径的圆的面积减去正方形的面积【解答】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）【例3】 请展开联想，结合你的实际生活，设计具体情境，解释代数式可表示什么实际意义？代数式又可代表什么实际意义？【解答】本题答案不唯一，这里只给一个范例（1）若a表示某工厂第一年的产值，第二年产值增加20%，则表示此工厂第二年的产值（2）若x表示正方形的边长，则表示正方形的体积，则表示2个边长为正方形的体积；【例4】 一个三位数，他的百位上的数字式x，十位上的数字比百位上的数字的2倍多3，个位上的数字比百位上的数字的少2，则这个三位数可表示多少？【分析】先确定十位数字是，再确定个位数字是，从而这个三位数可以表达为【点评】设百位上数字为a，十位上数字为b，个位上数字为c，用代数式表示这个三位数不能表示为abc（因为abc表示），而应表示为。

例5】 如图，一个长方形恰好被分成六个正方形，其中最小的正方形A的变长为1，求这个长方形的长和宽分析】仔细观察这个图形的结构可以看出C的边长是B的边长减去A的边长1；D的边长等于C的边长减去1；E和F的边长等于D的边长减去1，所以只要求出B的边长，问题就迎刃而解了图图9-3【解答】设正方形B的边长x，则正方形C、D、E、F的边长分别为、、、由长方形对边长相等，可得解得：所以，长方形的长为，宽为答：所求长方形的长为13，宽为11例6】 我国政府为解决人民群众看病难，决定下调药品价格某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前的价格为 元解答】因为该药品经过两次调价后的价格是a元，而所求的问题是第一次调价前的价格，可以用逆向思维的方法来解：因为2001年降价70%至a元，所以降价前的价格应为，用同样的方法可列出第一次调价前的价格为，整理得【点评】逆向思维是一种常用数学思想3． 代数式的值【例1】 求代数式的值① ② ③ 【分析】求代数式的值分两步进行：（1）代入；（2）计算【解答】（1）29 （2） （3）当时， 【点评】（1）代入数值时，原来的运算符号和数字不能改变；数字间相乘，原来省略的乘号要重新填上；如果数值是负数或分数时，应该主动添括号。

2）计算中遇到小数的乘法，通常将小数转化为分数的形式再计算结果是分数的话应是最简分数例2】 当时，求下列各代数式的值（1）；（2）；（3）【解答】当时 （1）（2） （3）【例3】 挖一条长为x的水渠，渠道的截断面是等腰梯形，如图9-4，梯形的底分别为，水渠深h，若求挖这条水渠的土方量【分析】求水渠的土方量，即求体积，体积=底面积×高这里即 是等腰梯形的面积×水渠的长度 图9-4【解答】水渠的土方量 当时， 答：求挖这条水渠的土方量为1500 m3【例4】 某企业去年的年产值是亿元，今年比去年增长了10%，如果明年还能按照这个速度增长，请你预测一下，该企业明年的年产值将能达到多少亿元？如果去年的年产值是2亿元，那么明年的年产值是多少亿元？【分析】这是一道应用题，首先应该搞清楚其中的数据的数量关系解答】由题意可得，今年的年产值为亿元，于是明年的年产值为(亿元).若去年的年产值为2亿元，即亿元时，则明年的年产值为(亿元) 答：该企业明年的年产值能达到亿元，由去年的年产值是2亿元，可以预计明年的年产值是2.42亿元【点评】(1)代数式的值是由代数式里字母所取值的确定而确定的；(2)代数式在取值时，应当使代数式所表示的实际数量有意义。

例5】 已知，求代数式的值【分析】本题由于无法知道的值是多少，所以只能用整体代入，与互为倒数，所以，再将它们一起代入就可以求出代数式的值解答】【点评】遇到已知条件中没有告诉每个字母的值，就可以考虑整体代入求值，这是求代数式值的常见方法例6】 当时，代数式的值是2001，则当时，代数式的值为 ( )A. —1999 B. —2000 C. —2001 D. 1999【分析】当时，，当时，，两者互为相反数当时，代数式，所以，当时，代数式【解答】选A点评】要灵活运用整体代入的方法4． 整式【例1】 下列代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？，，，，，，，，，【解答】单项式有：，，， 多项式有：，，，，整式：除外，其余都是整式点评】不是单项式，因为单项式只含有乘法以及以数字为除数的除法运算可以写 成，因此是多项式例2】 指出下列各单项式的系数和次数：，，，【分析】根据单项式的次数和系数的意义来确定【解答】的系数是，次数是2； 的系数是，次数是3； 的系数是1，次数是1； 的系数是，次数是7；【点评】此类练习需注意几点：（1）单个字母的次数是1而不是0次。

2）单独一个数的单项式是零次单项式3）是分数，是无限不循环小数，、数字因数，所以是单项式的系数例3】 多项式是几次几项式？并按字母的降幂排列和字母的升幂排列解答】是五次五项式 按字母的降幂排列：按字母的升幂排列点评】（1）不含有x，视为常数项，因此是关于x的最低此项；类似地是关于y的最低次项2）多项式中的项是包括它前面的符号的变更项的位置时连同他前面的符号一起移动如果原来的第一项省略。