§1.4 阶跃函数和冲激函数.ppt

阶跃函数 冲激函数 是两个典型的奇异函数阶跃序列和单位样值序列,§1.4 阶跃函数和冲激函数,函数本身或其导数与积分有不连续点(跳变点) 称为奇异信号或奇异函数一、单位阶跃函数,下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数选定一个函数序列γn(t)如图所示.,1. 定义,2. 延迟单位阶跃信号,3. 阶跃函数的性质,（1）可以方便地表示某些信号,1.f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2),2.符号函数:sgn(t),,,,（2）用阶跃函数表示信号的作用区间,（3）积分,二．单位冲激函数,单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型函数序列定义δ(t) 狄拉克(Dirac)定义 冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质,1.函数序列定义δ(t),对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 求导,高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲2. 狄拉克(Dirac)定义,函数值只在t = 0时不为零；,积分面积为1；,t =0 时， ，为无界函数3. δ(t)与ε(t)的关系,,,n→∞,引入冲激函数之后，间断点的导数也存在,f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1),f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1),三． 冲激函数的性质,取样性冲激偶 尺度变换复合函数形式的冲激函数,1. 取样性(筛选性),对于平移情况：,如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有,证明,举例,2.冲激偶,τ↓,冲激偶的性质,证明,②,证明,δ(n)(t)的定义：,δ’(t)的平移：,③,例,3. 对(t)的尺度变换,证明,推论:,(1),δ(2t) = 0.5δ (t),(2) 当a = –1时,所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数,举例,举例,已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t),4. 复合函数形式的冲激函数,实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函数。

并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，…，n),ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2),ε[f(t)]图示说明： 例f(t)= t2 – 4,一般地，,这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 的n个冲激函数构成的冲激函数序列注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2),#,冲激函数的性质总结,（1）取样性,（2）奇偶性,（3）比例性,（4）微积分性质,,（5）冲激偶,四. 序列δ(k)和ε(k),这两个序列是普通序列1. 单位(样值)序列δ(k),取样性质：,f(k)δ(k) = f(0)δ(k),f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0),例,定义,2. 单位阶跃序列ε(k) 定义,ε(k)与δ(k)的关系,δ(k) = ε(k) –ε(k –1),或,ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…,定义,。