高中数学利用均值不等式求最值的方法学法指导（通用）.doc

高中数学利用均值不等式求最值的方法 均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题对于有些题目，可以直接利用公式求解但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解下面是一些常用的变形方法一、配凑 1. 凑系数 例1. 当时，求的最大值 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可 当且仅当，即x＝2时取等号 所以当x＝2时，的最大值为8 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值 2. 凑项 例2. 已知，求函数的最大值 解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值 ∵ ∴ 当且仅当，即时等号成立 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值 3. 分离 例3. 求的值域 解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离 当，即时 （当且仅当x＝1时取“＝”号）。

当，即时 （当且仅当x＝－3时取“＝”号） ∴的值域为 评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值二、整体代换 例4. 已知，求的最小值 解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换 当且仅当时取等号，由 即时，的最小值为 解法2：将分子中的1用代换 评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值三、换元 例5. 求函数的最大值 解析：变量代换，令，则 当t＝0时，y＝0 当时， 当且仅当，即时取等号 故 评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件四、取平方 例6. 求函数的最大值 解析：注意到的和为定值 又，所以 当且仅当，即时取等号 故 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

［练一练］ 1. 若，求的最大值 2. 求函数的最小值 3. 求函数的最小值 4. 已知，且，求的最小值 参考答案：1. 2. 5 3. 8 4. 。