历年考研数学二模拟真题与答案09~.doc

全国研究生研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一项符合题目规定,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数的可去间断点的个数为 1 2 3 无穷多种【答案】【解析】由于,则当取任何整数时,均无意义.故的间断点有无穷多种,但可去间断点为极限存在的点,故应是的解.故可去间断点为3个,即.(2) 当时,与是等价无穷小,则 【答案】【解析】 ,故排除.此外,存在,蕴含了,故排除.因此本题选.(3) 设函数的全微分为,则点 不是的持续点 不是的极值点 是的极大值点 是的极小值点【答案】【解析】因可得.,又在处,,,故为函数的一种极小值点.(4) 设函数持续,则 【答案】【解析】的积分区域为两部分：,,将其写成一块,故二重积分可以表达为,故答案为.(5) 若不变号,且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间内 有极值点,无零点 无极值点,有零点 有极值点,有零点 无极值点,无零点【答案】【解析】由题意可知,是一种凸函数,即,且在点处的曲率,而,由此可得,.在上,,即单调减少,没有极值点.对于,(拉格朗日中值定理)而,由零点定理知,在上,有零点.故应选.（6）设函数在区间上的图形为：则函数的图形为【答案】 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几种方面的特性：①时，，且单调递减。

②时，单调递增③时，为常函数④时，为线性函数，单调递增⑤由于F(x)为持续函数结合这些特点，可见对的选项为7）设均为2阶矩阵，分别为的随着矩阵，若，则分块矩阵的随着矩阵为. . . .【答案】 B 【解析】根据若分块矩阵的行列式即分块矩阵可逆（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则 为. . . .【答案】 A【解析】，即：二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线在处的切线方程为 【答案】【解析】因此 因此 切线方程为（10）已知,则 【答案】【解析】由于极限存在因此（11） 【答案】0【解析】令 因此即 （12）设是由方程拟定的隐函数，则 【答案】【解析】对方程两边有关求导有，得对再次求导可得，得 当时，，，代入得（13）函数在区间上的最小值为 【答案】【解析】由于，令得驻点为又，得，故为的极小值点，此时，又当时，；时，，故在上递减，在上递增。

而，，因此在区间上的最小值为14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则 【答案】【解析】由于相似于，根据相似矩阵有相似的特性值，得到的特性值是，而是一种常数，是矩阵的对角元素之和，则三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.（15）（本题满分9分）求极限【解析】（16）（本题满分10 分）计算不定积分 【解析】措施一：令得措施二： 即（17）（本题满分10分）设，其中具有2阶持续偏导数，求与【解析】（18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积解析】微分方程得其通解为任意常数令，则，微分方程变形为得到其中为任意常数即得到其中为任意常数又由于通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2，于是可得从而于是，所求非负函数又由可得，在第一象限曲线表达为于是D环绕轴旋转所得旋转体的体积为，其中（19）（本题满分10分）求二重积分，其中解析】由得，（20）（本题满分12分）设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足。

求的体现式【解析】由题意，当时，，即，得，又代入得，从而有当时，得 的通解为 令解为，则有，得，故，得的通解为 由于是内的光滑曲线，故在处持续于是由，故时，在处持续又当 时，有，得，当时，有，得 由得，即 故 的体现式为或，又过点，因此21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上持续，在可导，则存在，使得（Ⅱ）证明：若函数在处持续，在内可导，且，则存在，且解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上持续，在开区间内可导，且根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（Ⅱ）任取，则函数满足；在闭区间上持续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：故存在，且22）（本题满分11分）设，（Ⅰ）求满足的所有向量（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任历来量，证明：线性无关解析】（Ⅰ）解方程 故有一种自由变量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中为任意常数 解方程 故有两个自由变量，令，由得令，由得求特解 故 ，其中为任意常数（Ⅱ）证明：由于 故 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特性值；（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。

解析】（Ⅰ） （Ⅱ） 若规范形为，阐明有两个特性值为正，一种为0则1) 若，则 ， ，不符题意2) 若 ，即，则，，符合3) 若 ，即，则 ，，不符题意综上所述，故考研数学二真题预测及答案一选择题1.A0 B1 C2 D32.设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程相应的齐次方程的解，则A B C D3.A4e B3e C2e De4.设为正整数,则反常积分的收敛性A仅与取值有关 B仅与取值有关 C与取值均有关 D与取值都无关5.设函数由方程拟定,其中为可微函数,且则=A B C D 6.(4)= A B C D7.设向量组，下列命题对的的是：A若向量组I线性无关，则 B若向量组I线性有关，则r>sC若向量组II线性无关，则 D若向量组II线性有关，则r>s8. 设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于A B C D 二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程的通解y=__________10. 曲线的渐近线方程为_______________11. 函数12.13. 已知一种长方形的长l以2cm/s的速率增长，宽w以3cm/s的速率增长，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增长的速率为___________14. 设A，B为3阶矩阵，且三解答题15.16.(1)比较与的大小,阐明理由. (2)记求极限17. 设函数y=f(x)由参数方程18. 一种高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。

现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时，计算油的质量长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为）19.20.21. 设函数f(x)在闭区间[0,1]上持续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=,证明：存在22.23.设，正交矩阵Q使得为对角矩阵，若Q的第一列为，求a、Q.答案：BACD BDAD9. 10.y=2x 11.12. 13.3cm/s 14. 3三解答题15.列表讨论如下：x-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)-0+0-0+极小极大极小16.17.18解：S1S2yx 19解：20.21.22.23.考研数学试题（数学二）一、选择题1. 已知当时，函数A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-42.A B C D03. 函数的驻点个数为A0 B1 C2 D34. 微分方程A BC D5设函数具有二阶持续导数，且，则函数在点（0，0）处获得极小值的一种充足条件A B C D6.设A I

记则A=A B C D8设是4阶矩阵，是A的随着矩阵，若是方程组的一种基本解系，则的基本解系可为A B C D二、填空题9.10. 微分方程11.曲线的弧长s=____________12.设函数 ，则13.设平面区域D由y=x,圆及y轴所构成，则二重积分14.二次型，则f的正惯性指数为________________三、解答题23. 已知函数，设，试求的取值范畴24. 设函数y=y(x)有参数方程，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点25. 设，其中函数f具有二阶持续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处获得极值g(1)=1,求26. 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记是曲线l在点（x,y)外切线的倾角，求y(x)的体现式19.证明：1）对任意正整数n，均有2）设,证明收敛20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成1）求容器的容积2）若沉着器内将容器的水沉着器顶部所有抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为；水的密度为）21.已知函数f(x,y)具有二阶持续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,，其中，计算二重积分。

22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23.A为三阶实矩阵，，且（1）求A的特性值与特性向量；（2）求A 参照答案选择题：。