角θ的所有三角函数.doc

角 θ 的所有三角函数三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域另一种定义是在直角三角形中，但并不完全现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中，三角函数也是常用的工具 锐角三角函数定义如右图，当平面上的三点 A、B、C 的连线，AB、AC 、BC ，构成一个直角三角形，其中∠ACB 为直角对于 AB 与 AC 的夹角∠BAC 而言： Rt△ABC对边（opposite）a=BC 斜边（hypotenuse ）h=AB 邻边（adjacent）b=AC 基本函数 英文 缩写 表达式 语言描述正弦函数 Sine sin a/h ∠A 的对边比斜边余弦函数 cosine cos b/h ∠A 的邻边比斜边 正切函数 Tangent tan a/b ∠A 的对边比邻边余切函数 Cotangent cot b/a ∠A 的邻边比对边正割函数 Secant sec h/b ∠A 的斜边比邻边余割函数 Cosecant csc h/a ∠A 的斜边比对边　(注：tan、cot 曾被写作 tg、ctg，现已不用这种写法。

) 罕见三角函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数： 函数名 与常见函数转化关系正矢函数 versinθ=1-cosθvercosinθ=1+cosθ余矢函数 coversinθ=1-sinθcovercosinθ=1+sinθ半正矢函数 haversinθ=(1-cosθ)/2havercosinθ=(1+cosθ)/2半余矢函数 hacoversinθ=(1-sinθ)/2hacovercosinθ=(1+sinθ)/2外正割函数 exsecθ=secθ-1外余割函数 excscθ=cscθ-1任意角三角函数定义如图：在平面直角坐标系中设 O-x 为任意角 α 的始边，在角 α 终边上任取一点P（x，y） ，令 OP=r. 三角函数sinα=y/r cscα=r/y cosα=x/r secα=r/x [1] tanα=y/x cotα=x/y 单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为 1 中心为原点的单位圆来定义单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。

它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了根据勾股定理， 那么向量 MP 对应的就是 α 的正弦值，向量 OM 对应的就是余弦值OP 的延长线（或反向延长线）与 l 的交点为 T，则向量 ST 对应的就是 正切值向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的 借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角 α 的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负 三角函数三角学理论的基础，是对三角形各元素之间相依关系的认识一般认为，这一认识最早是由希腊天文学家获得的当时，希腊天文学家为了正确地测量天体的位置研究天体的运行轨道，力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形，因为进行天文观测时，人与星球以及大地的位置关系，通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识：星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的(如图一) ；角度(∠ABC)越大，星球距地面(AC)就越高然而，星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎么样呢？能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢?这就是天文学向数学提出的第一个课题－制造弦表。

所谓弦表，就是在保持 AB 不变的情况下可以供查阅的表 (如图二) ，AC 的长度与∠ABC 的大小之间的对应关系 三角函数的特殊值 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2sin 值 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1cos 值 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0tan 值 0 √3/3 1 √3 ∞ -√3 -1 -√3/3 0 ∞cot 值 ∞ √3 1 √3/3 0 -√3/3 -1 -√3 ∞ 0编辑本段公式同角三角函数关系式(sinα)^2+(cosα)^2=1 (tanα)^2+1=（secα）^2 (cotα)^2+1=(cscα)^2tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1平方关系 倒数关系 商的关系sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα积的关系 sinα=tanα×cosα cosα=cotα×sinα tanα=sinα×secα cotα=cosα×cscα secα=tanα×cscα cscα=secα×cotα·对称性 180 度-α 的终边和 α 的终边关于 y 轴对称。

-α 的终边和 α 的终边关于 x 轴对称 180 度+α 的终边和 α 的终边关于 原点对称 90 度-α 的终边和 α 的终边关于 y=x 对称 三角形与三角函数1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中 R 为外接圆的半径) 2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即 a=c cosB + b cosC 3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍，即 a^2=b^2+c^2-2bc·cosA 4、正切定理(napier 比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2) 5、三角形中的恒等式： 对于任意非直角三角形中,如三角形 ABC,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明： 已知(A+B)=(π-C) 所以 tan(A+B)=tan(π-C) 则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 类似地，我们同样也可以求证:当 α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ 定义域和值域sin(x),cos(x)的定义域为 R，值域为[-1,1]。

tan(x)的定义域为 x 不等于 π/2+kπ（k∈Z） ，值域为 R cot(x)的定义域为 x 不等于 kπ（k∈Z）,值域为 R y=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域为 [ c-√(a²+b²) , c+√(a²+b²）] 三角函数的画法以 y=sinx 的图像为例，得到 y=Asin(ωx+φ)的图像： 方法一： y=sinx→【左移(φ>0)/右移(φ1] / 缩短[00)/右移(φ1] / 缩短[0高>宽） ，满储水量为 10082.44(dm)^3，立体对角线为 1903.17dm，问：如何施工才能达到设计要求？ 解：设取长、宽、高分别为 X⑴、X ⑵、X⑶，依题意： X⑴+X ⑵+X⑶=70.5 X⑴·X ⑵·X⑶=10082.44 X⑴^2+X⑵^2+X⑶^2=1903.17 解这个方程组 根据韦达定理，得一元三次方程： X^3 －70.5X^2+1533.54X－10082.44=0 a=1，b=－70.5，c=1533.54，d=－10082.44 A=369.63；B=－17372.61；C=219308.8716， Δ=－22444974.63高> 宽， 所以，应取长为 34.6dm；高为 23.5dm；宽为 12.4dm 来进行施工。

编辑本段复数三角函数sin(a+bi)=sinacosbi+sinbicosa =sinachb+ishbcosa cos(a-bi)=cosacosbi+sinbisina =cosachb+ishbsina tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi) cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi) sec(a+bi)=1/cos(a+bi) csc(a+bi)=1/sin(a+bi) 编辑本段高中生数学三角函数公式定理口诀三角函数是函数，象限符号坐标注函数图象单位圆，周期奇偶增减现 同角关系很重要，化简证明都需要正六边形顶点处，从上到下弦切割;[3] 中心记上数字 1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角， 顶点任意一函数，等于后面两根除诱导公式就是好，负化正后大化小， 变成税角好查表，化简证明少不了二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 将其后者视锐角，符号原来函数判两角和的余弦值，化为单角好求值， 余弦积减正弦积，换角变形众公式和差化积须同名，互余角度变名称 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变 逆反原则作指导，升幂降次和差积。

条件等式的证明，方程思想指路明 万能公式不一般，化为有理式居先公式顺用和逆用，变形运用加巧用; 1 加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范; 三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围; 利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集; 。