单指数模型及其应用.ppt

李贺娟 应用统计学单指数模型•单指数模型是诺贝尔经济学奖获得者威廉·夏普（William Shape ）在1963年发表《对于“资产组合”分析的简化模型》一文中提出的•夏普提出单因素模型的基本思想是：当市场股价指数上升时，市场中大量的股票价格走高；相反，当市场指数下滑时，大量股票价格趋于下跌单指数模型• Sharpe用股票指数的收益率（如S Cov (ei，ej)=0; 这就在很大程度上简化了计算单指数模型的应用（一）(1)以单指数模型来确定资产组合的收益假设资产组合中包含 n 种资产，每种资产按其价值计在资产组合中的权重分别为 ω i ， 则资产组合的收益率为：（1）由大数定理（车贝谢夫大数定理）可知当 n→∞， 且 ωi →0 时随着越来越多的股票加入到资产组合中， 资产组合充分地分散化， 公司特有的风险倾向于被消除掉， 结果只剩下越来越小的非市场风险，（1）式便可近似化为（2）当资产组合由 n 个资产构成， 且等权重时， （1 ） 式变为： （3）资产组合的方差为： 系统风 险非系统 风险因为这些 e i是独立的， 且都具有零均值， 大数定理表明这些风险被认为是可分散化的。

特别地， 对于等权重的情形因为 e i 是不相关的， 所以有： 其中 是公司特有方差的均值由于这一均值独立于 n，所以 随着 n 的增大， 就变得小得可以忽略了 式（3）就变成了：(2)单指数模型拟合效果的实证研究在实证研究中，我们选用上证指数来做单指数模型的分析，并选取自 1997 年 1 月 2 日至 2010 年 8 月27 日的数据在资产组合的构成上，我们选用了构成目前上证 50 指数的 50 只股票， 并按相等的价值权重来构造资产组合，同样，所有资产均取自于 1997 年 1 月 2 日以后的数据对于单指数模型的实证研究，得到的资产组合收益与指数收益的关系式为： 按照实际资产的收益情况，我们可以得到资产组合的实 际收益率 考虑 R I 与 R P 之间的线性关系， 可得R I =0.0000291+1.001463R P单指数模型的应用（二）利用β指数的大小可以对证券进行实际应用价值的分析值的推导：的证券i被称为 “激进型”证券，它的系统风险高于市场风险当市场证券组合的收益率R m 上升时，该证券收益率R i 将上升得更快，当R m 下降时，R i 也下降得更快。

因此，当市场看涨时，应购进激进型证券的证券i被称为 “防卫型”证券，它的系统风险低于市场风险当市场证券组合的收益率R m 上升时，该证券收益率R i 上升得较慢，当R m 下降时，R i 也下降得较慢因此，当市场看跌时，应购进防卫型证券则被称为具有 “平均风险” ，它的系统风险等于市场风险，与整个证券市场具有相同的变化趋势预测β常用的方法是用通过历史数据估计出的β值 （简称历史的值）作为的预测值用历史的β值作为证券i将来的值的估计，不可避免地存在误差用组合的历史的β作为将来的β的预测，比用单个证券历史的β作为将来的单个证券的β的预测，效果要好得多单指数模型的改进将指数模型中的收益率代入均值- 方差模型中进 行优化,这样可以大大的减少计算量 ,改进后：收益率为期望收益为收益的方差为单指数模型的改进最终改进模型s.t.经过非线性规划求解得到各股票的投资比例 ,获得最优的 投资方案 股价指数预期收益 单位矩 阵W=(w1,w2…wn) 即向量改造后模型的实证分析例证：2007年海尔 ( A ) 、移动 ( B ) 、中国石化 ( C ) 3种股票 12个月价格 ( 已经包括了分红在内) 每月的增长情况如表 1所示 ( 经计算得 ) . 表中第 1个数据的含义是海尔在一月份的月末价值是月初价值的 1. 045倍, 即为收益, 其余数值以此类推. 假设在 2008年时有一笔资金准备投资这 3种股票,并期望月收益率至少达到 7%, 那么应当如何投资? 月份海尔 (1169HK)移动动 (0941HK)中国石化 (0386HK)恒生指数11.0451541851.0624213840.9049707601.026000 21.0791139240.9864748200.9690048941.034373 31.2057613170.9979191441.0904347831.138278 41.2312186981.0141587591.0332805071.180988 51.0054237291.0240605971.2591463411.040415 61.1006289311.1663976521.0221130220.955001 71.0441791041.0856711540.9179190751.165457 81.3655256721.2123188411.0596627761.213523 91.0312500001.2160687221.1502463051.043458 100.8517171721.2436632591.1642561981.046027 110.8100641340.8954992590.9186330350.823730 121.3531211750.9836374601.0133809101.080711表一 股票收益数据可以认为股票指数反映的是股票市场的大势信息 ,对具体每只股票的涨跌通常是有显著影响的,这里最简单化地假设每只股票的收益与股票指数成线性关系 , 从而可以通过线性回归方法找出这个线性关系.N表示股票指数 ，N的均值和方差分别为对于某只具体的股票i，其价值就可表示为(i=1,2,3)是个随机误误差项项 ,其均值为值为 0，方差设为设为参数值可以通过回归计算， 线性回归实际上是 要使误差的平方和最小, 即要解如下优化问题:对应的收益可表示为收益的数学期望为收益的方差为令此时的模型为s.t.模型评价1.把单指数模型代入均值-方差模型进行求解,在求解过程中大大简化了计算过程 ,并且在此基础上能够实现投资风险的分散化. 2.此模型没有考虑交易成本等因素 , 所以在实际应用中还有一定的局限性.。