《数学分析(甲)简介_（全文）》.doc

数学分析（甲）简介课程号：0611(X)10, 06110020, 06110030课程名称：数学分析英文名称:Calculus周学时：4-1, 4-1, 4-0学分：4.5,总学分：13预修要求：无 内容简介：数学分析是数学系各专业的里要基础课本课程的教学目的是向学生介绍最基本的概念、定律、理论与方法，同时通过本课程的学习，提高学生的数学推理论证能力和抽 象思维能力，为后续课程的学习打下坚实的基础选用教材或参考书：（含教材名，主编，出版社，出版年）教 材：《微积分与数学分析引论》，科学出版社R.柯朗，F.约翰,2002年参考教材：《数学分析》（第二版），华东师范大学数学系编《数学分析》（第二版），复旦大学数学系陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中《数学分析》 教学大纲课程的教学目的和基本要求数学分析是数学系各专业的患要基础课本课程的教学目的是向学生介绍最基本的概 念、定律、理论与方法，同时通过本课程的学习，提高学生的数学推理论证能力和抽象思维 能力，为后续课程的学习打下坚实的基础二、 相关教学环节安排第一学期主要内容：实数连续统、函数的概念、序列的极限概念、函数的极限概念、连续函 数的概念和相关定理、积分的概念、积分的基本法则、不定积分的基本 概念、导数的概念、积分、原函数和微积分基本定理、连续函数的定积 分的存在性第二学期主要内容：微分法则及其应用、反函数的导数、复合函数的微分法、指数函数的某 些应用、最大值和最小值问题、函数的量阶、初等积分法、有理函数的 积分法、几类特殊函数的积分法、反常积分概念及其判别法、三角函数 的微分方程、幕级数、泰勒定理、余项的表示式及其估计、插值问题、 拉格朗日插值公式第三学期主要内容：积分的数值计算、方程的数值解法、斯特林公式、无穷和与无穷乘积收 敛与发散的概念、绝对收敛和发散的判别法、函数与曲线序列的极限过 程、复数项搴级数、级数的乘法和除法、无穷级数与反常积分、无穷乘 积、含有伯努利数的级数、傅里叶级数、三角多项式和有理多项式的近 似法、傅里叶积分定理、非连续点上的吉布斯现象、傅里叶级数的积分、 伯努利多项式及其应用第四学期主要内容：平面和空间的点和点集、多元函数连续性、函数的偏导数、函数的全微 分及其儿何意义、多元复合函数、多元函数的中值定理与泰勒定理、依 赖于参量的函数的积分、微分与线积分、线性微分型的可积性的基本定 理、多维空间的聚点原理及其应用、连续函数的基本性质、点集论的基 本概念第五学期主要内容：隐函数、函数组、变换与映射、曲线族，曲面族，以及它们的包络、交 铅微分型、求最大与最小值、平面上的面积、二里积分、三维及高维区 域上的积分、空间微分、质量与密度、化重积分为累次单积分、重积分 的变换、广义多重积分、在曲线坐标中的重积分、任意维数的体积和曲 而而积、作为参数的函数的广义单积分第六学期主要内容：傅里叶积分、欧拉积分（伽玛函数）、多元函数的积分、面积与积分的 变换、高斯，斯托克斯和格林的积分定理、散度定理的向量形式，斯托克斯定理、二维分部积分公式，格林定理，散度定理、血积微分，将变到极坐标的变换、用二维流动解释格林和斯托克斯公式、曲血的定向、 曲面上微分形式和数量函数的积分、空间情形的高斯定理和格林定理、 空间斯托克斯定理、高维积分恒等式、三维空间中的曲面和曲血积分、 散度定理、在高维欧氏空间中的曲面和曲面积分、高维空间中简单曲血 上的积分，高斯散度定理和一般的斯托克斯公式（宋体五号）三、 课程主要内容及学时分配第一学期：第1章引言1.1实数连续统（2学时）a. 自然数及其扩充，计数和度量b. 实数和区间套c. 十进小数，其他进位制d. 邻域的定义e. 不等式1.2函数的概念（2学时）a. 映射 图形b. 单连续变量的函数概念的定义，函数的定义域和佰域c. 函数的图形表示，单调函数d. 连续性e. 中间值定理，反函数1.3初等函数（1学时）a. 有理函数b. 代数函数c. 三角函数d. 指数函数和对数函数e. 复合函数，符号积，反函数1.4数学归纳法（1学时）1.5序列的极限（2学时）1a. an =- nd. an =^[pW和沥的极限之几何解释g. 几何级数h. ait =i. an = yJn + \ - y/nj- 4=3，其中a>l a1.6再论极限概念（2学时）a. 收敛和发散的定义b. 极限的有理运算c. 内在的收敛判别法，单凋序列d. 无穷级数及求和符号e. 数ef. 作为极限的数兀1.7单连续变量的函数的极限概念（1学时）a. 初等函数的一些注记1.8极限和数的概念（2学时）a. 有理数b. 有理区间套序列定义实数c. 实数的顺序，极限和算术运算d. 实数连续统的完备性，闭区间的紧致性，收敛判别法则e. 最小上界和最大下界f. 有理数的可数性1.9关于连续函数的定理（1学时）1.10极坐标（1学时）1.11关于复数的注记（1学时）第2章积分学和微分学的基本概念2.1积分（2学时）a. 引言b. 作为面积的积分c. 积分的分析定义，表示法2.2积分的初等实例（2学时）a. 线性函数的积分2b. 尤~的积分c. 芝的积分（a是不等于-1的有理数）d. sinx和cos x的积分2.3积分的基本法则（2学时）a. 可加性b. 函数之和的积分c. 函数与常数乘积的积分d. 积分的估值e. 积分中值定理2.4作为上限之函数的积分——不定积分（1学时）2.5用积分定义对数（1学时）a. 对数函数的定义b. 对数的加法定理2.6指数函数和藉函数（2学时）a. 数的e的对数b. 对数函数的反函数，指数函数c. 作为幕的极限的指数函数d. 正数的任意次搴的定义e. 任一底的指数2.7尤的任意次幕的积分（1学时）2.8导数（2学时）a. 导数与切线b. 作为速度的导数c. 微分法举例d. —些基本的微分法则e. 函数的nJ.微性和连续性f. 高阶导数及其意义g. 导数和差商，莱布尼兹表示法h. 微分中值定理i. 定理的证明j. 函数的线性近似，微分的定义k. 关于在自然科学中的应用的一点评述2.9积分、原函数和微积分基本定理（2学时）a. 不定积分的导数b. 原函数及其与积分的关系c. 用原函数计算定积分2.10连续函数的定积分的存在性（1学时）第二学期：第3章微分法和积分法3.1最简单的微分法则及其应用（1学时）a. 微分法则b. 有理函数的微分法c. 三角函数的微分法3.2反函数的导数（1学时）a. —般公式b. 〃次慕的反函数，〃次根，反三角函数——多值性c. 相应的积分公式d. 指数函数的导数与积分3.3复合函数的微分法（1学时）a. 定义b. 链式法则C.广义微分中值定理3.4指数函数的某些应用（1学时）a. 用微分方程定义指数函数b. 连续复利，放射性蜕变c. 物体被周围介质冷却或加热d. 大气压随地面上的高度的变化e. 化学反应过程f. 电路的接通或断开3.5最大值和最小值问题（1学时）a. 曲线的下凸和上凸b. 最大值和最小值——极值问题，平稳点3.6函数的量阶（1学时）a. 量阶的概念，最简单的情形b. 指数函数与对数函数的量阶c. 一点注记d. 在一点的邻域内函数的量阶e. 函数趋向于零的量阶f. 量阶的“。

和表示法3.7 一•些特殊的函数（1学时）1a. 函数）/b. 函数）=L1y(0) 二 0y = xsin —.函数. x,3.8关于函数可微性的注记（0.5学时）3.9初等积分表（0.5学时）3.10换元法（1学时）a. 换元公式，复合函数的积分b. 换元公式的另一种推导方法c. 积分公式3.11换元法的其他实例（1学时）3.12分部积分法（1学时）a. 一般公式b. 分部积分的其他例子c. 关于f（饥+ f （ci）的积分公式d. 递推公式e. 兀的沃里斯（Wallis）无穷乘积表示 3.13有理函数的积分法（1学时）a. 基本类型b. 基本类型的积分c. 部分分式d. 分解成部分分式举例，待定系数法 3.14其他儿类函数的积分法（1学时）a. 圆和双曲线的有理表示法初阶b. &（河兀血工）的积分法c. %，J1-亍）的积分法d. 的积分法e. &（x，" + l）的积分法R(x,yjax2 + 2bx + c)的积分法g. 化为有理函数积分的其他例子h. 注记3.15初等函数的积分（1学时）a. 用积分定义的函数b. 椭圆积分和椭圆函数c. 关于微分和积分3.16积分概念的推广（1学时）a. 引言，反常积分的定义b. 无穷间断的函数c. 作为面积的解释d. 收敛判别法e. 无穷区间上的积分f. r （伽马）函数g. 狄利克雷（Dirichlet）积分h. 变量置换，菲涅尔（Fresnel）积分3.17三角函数的微分方程（2学时）a. 关于微分方程的初步说明b. 山微分方程和初始条件定义的sin、和cosx第4章泰勒展开式4.1引言：幕级数（1学时）4.2对数和反正切的展开式（1学时）a. 对数函数b. 反正切函数4.3泰勒定理（2学时）a. 多项式的泰勒表示b. 非多项式函数的泰勒公式4.4余项的表示式及其估计（2学时）a. 柯西和拉格朗日余项b. 泰勒公式的另一种推导法4.5初等函数的展开式（1学时）a. 指数函数b. sinx , cosx的展开式c. 二项式级数4.6几何应用（1时）a. 曲线的接触b. 关于相对极大值和相对极小值的理论4.7不能展成泰勒级数的函数的例（1学时）4.8函数的零点和无线点（1学时）a. 〃阶零点b. v阶无限4.9不定式（1学时）4.10各阶导数都不为负的函数的泰勒级数的收敛性（1学时）4.11插值问题，唯-•性（1学时）4.12解的构造，牛顿插值公式（1学时）4.13余项的估计和拉格朗日插值公式（1学时）第三学期：第5章数值方法5.1积分的计算（1学时）a. 矩形近似公式b. 改进的近似式——辛普森法则5.2数值方法的另一些例（1学时）a. 误差计算b. 兀的计算c. 对数的计算5.3方程的数值解法（1学时）a. 牛顿法b. 假位法c. 迭代法d. 迭代与牛顿程序5.4斯特林公式（1学时）第6章无穷和与无穷乘积6.1收敛与发散的概念（1学时）a. 基本概念b. 绝对收敛与条件收敛c. 项的重新排列d. 无穷级数的运算6.2绝对收敛和发散的判别法（I学时）a. 比较判别法，控制级数b. 与几何级数相比较的收敛判别法c. 与积分相比较6.3函数序列（1学时）a. 函数与曲线序列的极限过程6.4 一致收敛与不-•致收敛（1学时）a. 一般说明和定义b. 一致收敛的一个判别法c. 连续函数的一致收敛级数之和的连续性d. 一•致收敛级数的积分e. 无穷级数的微分法6.5慕级数（1学时）a. 幕级数的收敛性质一一收敛区间b. 幕级。