全国硕士研究生入学统一考试数学(农)试题教学文案.pdf

2015 年 全 国 硕 士 研 究生 入 学 统 一 考 试 数 学( 农 ) 试 题精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数农试题一、选择题 :18 小题,每小题 4 分,共 32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的 ,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . (1)曲线3 cos3yxx在点（,3）处的法线方程为（）(A) 30 xy(B)360 xy(C)380 xy(D) 3100 xy【答案】 (D). 【分析】此题考查导数的几何应用求法线方程. 【解析】3cos39 sin3yxxx，故3xy，所以所求法线方程为13()3yx，即3100 xy.故选（ D）(2)曲线(1)(2)xxyex（ ）(A)有水平渐近线0y和铅直渐近线0 x及2x(B)有水平渐近线0y及1y和铅直渐近线2x(C)仅有水平渐近线0y及1y，无铅直渐近线(D)无水平渐近线，仅有铅直渐近线2x【答案】 (B). 精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3 【分析】本题考查曲线的渐近线. 【解析】因为1limlimlim0(1)(2)12xxxxxxxyexex，1limlimlim1(1)(2)12xxxxxxxyexex所以0y及1y为曲线的水平渐近线 . 又001limlim(1)(2)(2)2xxxxxexx x，2lim(1)(2)xxxex，故2x为曲线的铅直渐近线，但0 x不是. 综上知，曲线有水平渐近线0y及1y和铅直渐近线2x.故选（ B）. (3)函数0( )cosxuf xeudu在闭区间 0,上的最小值和最大值依次为（）(A)(0)( )ff，(B)( )()2ff，(C)(0)()2ff，(D)()()2ff，【答案】 (C). 【解析】这题看的是函数在区间上的单调性，所以直接求导即可。

)cosxfxex，则可知当20 x时，( )0fx故函数在0,2上单调递增；当2x时，( )0fx故函数在,2上单调递减，则可知函数在2x处取得最大值最小值为min(0),( )ff，由于(0)0,f202()coscosuufeudueudu202coscoseudueudu精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4 20(0)ee故可知在0 x处取最小值(0).f(4)设函数( )f x连续，记11( )If x dx，1= ( , )2,3Dx yxy则() (3 )2Dxffy dxdy（ ）(A)23I(B)223I(C)32I(D)232I【答案】 (B) 【解析】1231233322Dxxffy dxdyfdxfy dy令3yt得：11311311333fy dyf t dtI令2xu得：2121222xfdxft duI所以原式 =223I (5)设矩阵110001100011100Aa，123b若线性方程组AX无解，则（ ）(A) 1a，b-6(B) 1a，b-6(C) 1a，b=-6精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5 (D) 1a，b=-6(6)设,A B为 5 阶非零矩阵，且 ABO ( ) (A) 若( )1r A则( )4r B(B) 若()2r A则()3r B(C) 若()3r A则()2r B(D) 若()4r A则( )1r B (7)设,A B为两个 随机事件 ，且0( )1ABp A，,则 （ ）(A)()1()P ABP B(B)()1( )P ABP B(C)()( )P B AP B(D)()( )P B AP B【答案】 (B) 【解析】 A. ()()1()1( )P ABP ABP ABP AB. ()1()1( )P ABP ABP BC. ()()(|)1()()P ABP AP BAP AP AD. ()()()()( )(|),0()1,().1()1( )( )P ABP BP AP BP AP B AP AP BP AP AP A所以，答案选 B. (8) 设( )tn表示自由度为 n的 t 分布的分位数，则（）(A)1( )( )1tn tn精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6 (B)1( )( )2tn tn(C)1( )( )1tntn(D)1( )( )0tntn【答案】 (D) 【解析】设X( )tn，( )P Xtn，则( ),( )1P XtnP Xtn，11( )1,( )( )P Xtntntn，故1( )( )0tntn. 所以答案选 D.二、填空题： 914小题,每小题 4 分,共 24分.请将答案写在答题纸指定位置上 . (9) 01lim(1cos )xxlnx_ 【解析】原式00ln(1 cos )sinlimlimln1 cosxxxxxxxee0sinlim1 cosxxxxe20sinlim122.xxxxee(10)函数( )1sin1xf xx的第二类间断点为x_ 【解析】,lim(1, 2,)1sin1xkxkx(11)若连续函数( )f x满足30( )xxf t dte则( )f e_ 【解析】对30( )xexf t dte两边求导，得3()3xxxf eee，令1x，得2( )3f ee. (12)设,fx y 为连续函数，交换积分次序，22212,xxxdxfx y dy=_ 精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7 【解析】有题意知，积分区域为2( , ) |12,22Dx yxxyxx，交换积分次序，得22221111202( , )( , )xxyxydxf x y dydyfx y dx.(13)设 3阶矩阵123,A，131223,2,2B，若1A，则B_ 【解析】131223123110,2,2,021102BAC, 1100213102C,所以1 ( 3)3BA C。

14)某运动员每次投篮投中的概率为23，他连续投篮直到投中两次为止，若各次投篮的结果相对独立，则他投篮总次数为4 的概率为 _. 【答案】427【解析】所求概率314pP 前 次投篮命中 次，第 次投篮命中1232 124( )( ) ( )3 3327C. 三、解答题： 1523小题,共 94分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 设函数2,0,sin sin,0,xxexfxxx求( )fx. 精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8 【解析】0 x时( )(1)xfxex；0 x时2( )cos(sin)sin 2fxxx；00( )(0)(0)limlim1;xxxf xfxefxx200( )(0)sin(sin)(0)limlim0;xxf xfxfxx(0)f不存在 . (16)(本题满分 10 分) 设函数,zx y ，由方程223322xyz确定，求223,2zy. 【解析】当3,2xy时,1z对等式两同时对y求偏导数 ,可得2630zyzy, 则可以解得 :4zy再次对等式两边对y求偏导数 ,可得: 222266 ()30zzzzyy, 解得2234.zy(17)(本题满分 10 分) 设 D 是由曲线24yx和直线2yx所围成的平面图形，求D 的面积 S及D 绕 X 轴旋转所得旋转体的体积V 。

解析】联立242yxyx，得20 xy或13xy所以精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9 12232(42)192.2322Sxxdxxxx122225314333181692531531089.55Vxdxxxx(18)(本题满分 10 分) 计算二重积分1Dxdxdy，其中区域D由直线0 xy，340 xy及x轴围成解析】12: 0,01;:143 ,01.DyxxDxyy12111DDDxdxdyx dxdyxdxdy114 30001(1)1135.623xydxx dydyxdx(19)(本题满分 10 分) 设函数 yfx 是微分方程lnxyyxx满足条件114xy的解，求yfx 的极值解析】lnxyyxx的通解为1121 1 ln(2ln1)4dxxdxxyexedxCxxCx，精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10 由初始条件求出0C. 从而，1(2ln1)4yxx，11ln24yx. 令0y，解得12xe，又12yx，由12()0ye知12xe是极小值点，所以( )yf x的极小值为11221()2y ee.(20) ( 本题满分 11 分) 已知向量组11, 1,0,5T，22,0,1,4T，33,1,2,3T，44,2,3,Ta，其中a是参数，求该向量组的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

解析】123412340123,00020000(I)当2时，123412340123,000000001234,的秩为 2，12,是一个极大无关组3124122,23(II) 当2时，1234,的秩为 3，且124,是一个极大无关组，3122(21) ( 本题满分 11 分) 已知矩阵20131340Aa相似于10001000b，精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11 (I) 求a、b 的值, (II)求可逆矩阵 P ，使1PAP？【解析】由A和相似，知 tr Atr， A，故32,24abab，解得5,6ab由A和的特征值相同知A的特征值为1231,6121对应的线性无关的特征向量为：解0EA x得到120,1,0,1,0,1TT36对应的线性无关的特征向量为：解 60EA x，得到31,3,4T令123011,103014P则1100010006PAP.(22) ( 本题满分 11 分) 设二维离散型随机变量(,)X Y的概率分布为YX0 1 0 18181 a142 14b精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢12 且1( )2E YI）求常数a， b（II）求 X 与Y 的相关系数。

解析】 (I)由112218431( )82abE Yb，解得11,88ba； (II)1911(,)()()( )28216Cov X YE XYE X E Y，22215939()()()( )8864D XE XEX，22111( )()( )244D YE YEY，(,)1()( )39XYCov X YD XD Y.(23) ( 本题满分 11 分) 设二维随机变量(,)X Y的概率密度为32,0,0, 22,40,xyxyxyfx y其他（I）求1P Y；（II）求2ZXY的概率密度解析】 (I)2120013124yyP Yf x y dxdydyxy dx( , )()1203111(1)4416y dy；(II) Z 的分布函数为( )2ZFzP ZzPXYz，精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢13 当0z时，( )0ZFz，当 02z时，2320031( )(2)48zzxZFzdxxy dyz，当2z时，( )1ZFz，从而 Z 的概率密度为23,01( )80,.Zzzfz其他. 。