2020—2021年新高考总复习数学(文理)全真模拟试题及答案解析四.docx.pdf

美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登 2019 年 数 学全 真 模 拟 试 卷 四 试题 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案直 接填写在答题卡相应位置上 . 1 已知集合 0 1 2A，， ，则 A的子集个数为 【答案】 8 2 设复数 1 2iza ， 2 2iz （其中 a0，i 为虚数单位）若 12 zz ，则 a 的值为 【答案】 1 3 运行如图所示的流程图，则输出的结果 S是 【答案】 1 2 4 若直线 1 (e) e yxb是自然对数的底数 是曲线 lnyx 的一条切线，则实数b 的值是 【答案】 0 5 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中 的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 【答案】 1 4 6 设定义在区间 0 2 , 上的函数 sin 2yx 的图象与 1 cos 2 yx 图象的交点横 坐标为，则 tan 的 开始 S2，i1 i2015 1 1S S ii+1 结束 输出 S Y N （第 3 题） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登 值为 【答案】 15 15 7 已知一组数据 1x ， 2x ，， nx 的方差为 3，若数据 1axb ， 2axb ，， n axb ( abR， ) 的方差为 12，则 a的值为 【答案】 2 8 已知函数 ( )f x 是定义在 R 上偶函数，且在区间 ( 0)， 上单调递减， 则不等式 2 (3 )(4)f xxf 的解集为 【答案】 ( 1 4)， 9 我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原正三角形 的面积之比为1：4，类比该命 题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体 的体积之比为 【答案】 1：27 10 在 平 面直 角 坐 标 系 xOy ， 设 双 曲 线 2 2 22 1(00) y x ab ab ， 的 焦 距 为 2 (0)c c 当 a，b 任意变 化时， ab c 的最大值是 【答案】 2 【解析】因为 222 =abc ，即 22 1 ab cc ，令 ab mn cc ， 得 22 1mn ，故 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。

ab mn c ， 利用不等式得 2 ab mn c （当且仅当 mn 时等号成立）； 11在平面直角坐标系 xOy 中，若直线l 与圆 C1： 22 1xy 和圆C2： 22 5 25 249xy 都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为 【答案】 7 【解析】设两切点分别为A、B，连结 AC1、BC2，过 C1作 C1D // AB 交 BC2于点 D，得到直角 三角形 C1C2D，易得 tanD C1C2 3 4 ，而 xC1C2，所 以 tanD C1 x tan 12DC C 7，即直线 l 的斜率是 7； 12观察下列一组关于非零实数 a ， b的等式： a 2 b 2 (a b)(ab)， a 3 b 3 (a b)( a 2abb2)， a 4 b 4 (a b)( a 3a2bab2b3)， 通过归纳推理，我们可以得到等式a 2015 b 2015 (a b)( x1x2x3 x2015)，其中x1，x2，x3，，x2015构成一个有穷数列xn，则该数列 的通项公式为xn 12015nnN， 且 (结果用 a，b ， n 表示) 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。

【答案】 xn 1 2014 n b a a 【解析】易得数列xn是以 1n a 为首项， b a 为公比的等比数列，所以 xn 1 2014 n b a a 13已知角， 满足 tan7 tan13 若 2 sin() 3 ，则 sin() 的值为 【答案】 1 5 【解析】设 sin()x ，即 sincoscossinx ， 又 2 sin() 3 ，即 2 sincoscossin 3 ， 由得 1 sincos 32 x ， 1 cossin 32 x ， 两式相除得 1 tan732 tan113 32 x x ， 解得 1 5 x 14在平面直角坐标系 xOy 中，设 A，B 分别为曲线 2 1yx 与 x 轴的两 个交点， C ， D 分别为曲线上的两个动点，则 AC BD uuu r uu u r 的取值范围是 【答案】 1 4 2 ， 【解析】易得曲线 2 1yx 为半圆 O： 22 1(0)xyy ，不妨设 ( 10)A， ， (10)B， ，当 ACBD uu u ru uu r ， 方向相反，且长度均为2 时， min 224AC BD uuu r uu u r ；设 点 D 在 AC uuu r 上的投 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。

影点为 H ，OD与 BC 交于点 M ，且 OMx，则当DH 为圆 O的 切线时， AC BD uuu r u uu r 1 2(1) 2 ACCHxx uuu ruuu r （当且仅当 1 2 x 时等号成立） ，所以 AC BD uuu r u uu r 1 4 2 ， 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域 内作答， 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 15 （本题满分 14分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（0，0） ，B（4，3） ，若 A、B、C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形 ABC， 且直线 BC 与 x 轴交于 点 D. （1）求 cosCAD 的值； （2）求点 C 的坐标 解： （1）设 BAD，CAD， 因为 5AB ，由三角函数的定义得 43 cossin 55 ， ， 故 coscos(60) o 3 1 cossin 22 43 3 10 ， 即 cosBAD= 43 3 10 ； （7 分） （2）设点 ()C xy， ， 由（1）知 sinsin(60) o 31 cossin 22 4 33 10 ， 因为 5AC ， 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。

所以 43 334 3 5cos5sin 22 xy， ， 故点 433343 22 C ， （14 分） 16 （本题满分 14 分） 如图，四棱柱 1111 ABCDA BC D 中，平面 11 AABB 平面 ABCD，且 ABC （1）求证： //BC 平面 11 AB C ； （2）求证：平面 11 A ABB 平面 11 AB C 证明： （1）四棱柱 1111 ABCDAB C D 中， 11 //BCBC ， 因为 BC 平面 11 ABC ， 11 BC 平面 11 AB C ， 所以 //BC 平面 11 AB C ； （6 分） （2）因为平面 11A ABB 平面 ABCD， 平面 11 A ABB I 平面 ABCDAB， BC 平面 ABCD， 由 ABC 知 ABBC， 所以 BC 平面 11 AABB ， （10 分） 又 11 //BCB C ， 故 11 BC 平面 11 A ABB ， （12 分） 而 11 BC 平面 11 ABC ， A B C D 1A1B 1 C 1 D （第 16 题） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登 北 北 A B C （第 18 题） 45 165 所以平面 11 A ABB 平面 11 ABC （14 分） 17 （本题满分 14 分） 如图，缉私船在 A 处测出某走私船在方位角为45， 距离为 10 海里 的 C 处，并测得走私船正沿 方位角 165的方向以 9 海里/时的速度沿直线方向航行我缉私船 立即以 v 海里/时的速度沿直 线方向前去截获 （1）若 v 21，求缉私船的航向和截获走私船所需的时间； （参考结 论： sin 22 3 3 14 ） （2）若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船 ， 求 v 的取值范围 解： （1）设缉私船截获走私船所需的时间为 t h， 依题意，得 60ACB ， 在ABC中，由正弦定理， 得， 9 sinsinsin 21 BCt CABACB ABt60 3 3 14 ， 所以 CAB 22， 从而方位角为452267， (3 分) 在 ABC 中， 由余弦定理得， 222 ()(9 )102910cosvttt 60， 当 v 21时， 2 369100tt ， 解得 5 12 t （负值已舍）， 答：缉私船的航向约为方位角 67，截获走私船所需时间 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。

为 5 12 h(7 分) （2）由（ 1）知， 222 ()(9 )102910cosvttt 60， 即 2 2 10090 81v t t ， 令 1 0 x t ， 因为缉私船有两种不同的航向均能成功截获走 私船， 所以关于 x 的方程 22 10090810 xxv 必有两不同的正实 根，(11 分) 所以 2 22 810 90400 810 v v ， ， 解得 93 9 2 v (14 分) 18 （本题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P为直线 l ： 2x 上一点，过点 (1 0)A ， 作 OP 的垂线与以 OP 为直径的圆 K 交于两点 B，C （1）若 6BC ，求圆 K 的方程； （2）求证：点 B始终在某定圆上； （3）是否存在一定点 Q (异于点 A)，使得 QB AB 为常数？若存在，求出 定点 Q 的坐标；若不存在， 说明理由 解： （1）设 P (2) t，(0)t ，则圆 K 的方程为 2 2 2 (1)1 24 tt xy ， 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登 直线 OP的斜率为2 t ，又 OPBC ，所以 BC 的斜率为 2 t ， 从而 BC的方程为 2 ()yxt t ，即 220 xty ， 则圆心 K 1 2 t ， 到直线 BC 的距离为 2 2 2 4 t t ， 由 2 2 22 2 6 1 24 24 tt t ， 解得 t 2， 所以圆 K 的方程为 2 2 (1)12xy ； （6 分） （2）设 00 ()B xy， ， 由 0 0 AB OP OBBP uu u ruu u r uu u ruu u r ， 得， 00 0000 2(1)0 (2)()0 xty xxyyt ， ， 消去参数 t 得， 22 002xy ， 所以点 B的轨迹为圆 22 2xy ， （10 分） （3）设点 ()Q a b， ， 2 2 QB c AB （ c 为常数）， 则 2222 ()()(1)xaybcxy ， 整理得， 2222 (1)2()20cxyac xbycab ， （13 分） 因为 22 2xy ，所以 22 2()2320ac xbycab ， 从而 22 2()0 20 320 ac b cab ， ， ， 解得 2 0 2 a b c ， ， 或 1 0 1 a b c ， ， （舍去）， 所以存在定点 (2 0)Q， ，使得 2 QB AB （16 分） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。

19 （本题满分 16 分） 已知函数 32 ( )f xaxbxcxba (a0，b，c R ) （1）设 0c 若 ab， ( )f x 在 0 xx 处的切线过点 (1，0)，求 0 x 的值； 若 ab，求 ( )f x 在区间 0 1， 上的最大值； （2）设 ( )f x 在 1 xx ， 2 xx 两处取得极值，求证： 11 ()f xx ， 22 ()f xx 不 同时成立 解： （1）当 0c ， 0a 时， 32 ( )f xaxbxba ， 0 1x， ， 若 ab，则 32 ( )f xaxax ，从而 2 000 ()32fxaxax ， 故 ( )f x 在 0 xx 处的切 线方程 为 32 00 yaxax 2 000 。