自考-线性代数第五章特征值与特征向量.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 特征值与特征向量,5.1,方阵的特征值与特征向量,引言,纯量阵,l,E,与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即,(,l,E,n,),A,n,=,A,n,(,l,E,n,)=,l,A,n,矩阵乘法一般不满足交换律，即,AB,BA,数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即,l,(,AB,)=(,l,A,),B,=,A,(,l,B,),Ax,=,l,x,?,一、基本概念,定义：,设,A,是,n,阶矩阵，如果数,l,和,n,维,非零向量,x,满足,A,x,=,l,x,，,那么这样的数,l,称为矩阵,A,的,特征值,，非零向量,x,称为,A,对应于特征值,l,的,特征向量,例：,则,l,=1 为 的特征值，为对应于,l,=1 的特征向量,.,一、基本概念,定义：,设,A,是,n,阶矩阵，如果数,l,和,n,维,非零向量,x,满足,A,x,=,l,x,，,那么这样的数,l,称为矩阵,A,的,特征值,，非零向量,x,称为,A,对应于特征值,l,的,特征向量,A,x,=,l,x,=,l,E,x,非零向量,x,满足,(,A,l,E,),x=,0（零向量）,齐次线性方程组有非零解,系数行列式,|,A,l,E,|,=0,特征方程,特征多项式,特征方程|,A,l,E,|=0,特征多项式,|,A,l,E,|,二、基本性质,在复数范围内,n,阶矩阵,A,有,n,个特征值（重根按重数计算）,设,n,阶矩阵,A,的特征值为,l,1,l,2,l,n,，则,l,1,+,l,2,+,l,n,=a,11,+,a,22,+,a,nn,l,1,l,2,l,n,=|A|,【例1】,求矩阵 的特征值和特征向量,【解】,A,的特征多项式为,所以,A,的特征值为,l,1,=2，,l,2,=4,当,l,1,=2 时，对应的特征向量应满足,，即,解得基础解系 ,k,p,1,（,k,0）,就是对应的特征向量,【例2】,求矩阵 的特征值和特征向量,A,的特征多项式为,所以,A,的特征值为,l,1,=2，,l,2,=4,当,l,2,=4 时，对应的特征向量应满足,，即,解得基础解系 ,k,p,2,（,k,0）,就是对应的特征向量,【例3】,求矩阵 的特征值和特征向量,【解】,所以,A,的特征值为,l,1,=,1，,l,2,=,l,3,=2,【例4】,求矩阵 的特征值和特征向量,当,l,1,=,1 时，因为,解方程组(,A,+,E,),x,=0,解得基础解系 ,k,p,1,（,k,0）,就是对应的特征向量,【例5】,求矩阵 的特征值和特征向量,解（续）：,当,l,2,=,l,3,=2 时，因为,解方程组(,A,2,E,),x,=0,解得基础解系 ,k,2,p,2,+,k,3,p,3,（,k,2,k,3,不同时为零）,就是对应的特征向量,二、基本性质,在复数范围内,n,阶矩阵,A,有,n,个特征值（重根按重数计算）,设,n,阶矩阵,A,的特征值为,l,1,l,2,l,n,，则,l,1,+,l,2,+,l,n,=a,11,+,a,22,+,a,nn,l,1,l,2,l,n,=|A|,若,l,是,A,的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为,l,的全体特征向量的最大无关组,例6：,设,l,是方阵,A,的特征值，证明,(1),l,2,是,A,2,的特征值；,(2)当,A,可逆时，1/,l,是,A,1,的特征值,结论：,若非零向量,p,是,A,对应于特征值,l,的特征向量，则,l,2,是,A,2,的特征值，,对应的特征向量也是,p,l,k,是,A,k,的特征值，,对应的特征向量也是,p,当,A,可逆时，,1/,l,是,A,1,的特征值，,对应的特征向量仍然是,p,二、基本性质,在复数范围内,n,阶矩阵,A,有,n,个特征值（重根按重数计算）,设,n,阶矩阵,A,的特征值为,l,1,l,2,l,n,，则,l,1,+,l,2,+,l,n,=a,11,+,a,22,+,a,nn,l,1,l,2,l,n,=|A|,若,l,是,A,的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为,l,的全体特征向量的最大无关组,若,l,是,A,的一个特征值，则,j,(,l,)=,a,0,+,a,1,l,+,a,m,l,m,是矩阵多项式,j,(,A,)=,a,0,+,a,1,A,+,a,m,A,m,的特征值,【例7】,设3 阶方阵,A,的特征值为1,1,2，求,A,*,+3,A,2,E,的特征值,【解】,A,*,+3,A,2,E,=|,A,|,A,1,+3,A,2,E,=2,A,1,+3,A,2,E,=,j,(,A,),其中|,A,|=1,(1)2=2,设,l,是,A,的一个特征值，,p,是,对应的特征向量,令,则,定理：,设,l,1,l,2,l,m,是方阵,A,的特征值，,p,1,p,2,p,m,依,次是与之对应的特征向量，如果,l,1,l,2,l,m,各不相同，则,p,1,p,2,p,m,线性无关,例：,设,l,1,和,l,2,是方阵,A,的两个不同的特征值，对应的特征,向量依次为,p,1,和,p,2,，,证明,p,1,+,p,2,不是,A,的特征向量,当|2E,n,-A|=0时，根据特征值的定义知道，2就是A的特征值。

当|E,n,+A|=0时，因为|-E,n,-A|=(-1),n,|E,n,+A|=0,所以-1是A的特征值例8】,【练习87】,设,A,为n阶矩阵，且已知 ，则,A,必有一个特征值为（）,AB,CD,A,【练习88】,已知 ，求其特征值与特征向量,特征值 ，,对于 ，解齐次线性方程组：,基础解系为 ，对应的全部特征向量为 （是任意非零常数）；,【解】,对于 ，解齐次线性方程组：,基础解系为 ，对应的全部特征向量为 （是任意非零常数）,【练习89】,设A为n阶矩阵，k为正整数，且A,k,=O，证明A的特征值均为0.,【证明】设,是矩阵,A的特征值，且存在向量0，使得,A,=,由此可得,A,k,=,k,又因,A,k,=O，故,A,k,=0从而,k,=0，而0，所以,k,=0，即=0因此A的特征值均为0.,【练习90】,设,A,为,3,阶矩阵，若,A,的三个特征值分别为,1,，,2,，,3,，则,|,A,|=,6,|A|=1,2,3=6,5.2,方阵的相似变换,定义：,设,A,B,都是,n,阶矩阵，,若有可逆矩阵,P,满足,P,1,AP,=,B,，,则,称,B,为矩阵,A,的,相似矩阵,，或称矩阵,A,和,B,相似对,A,进行运算,P,1,AP,称为对,A,进行,相似变换,称,可逆矩阵,P,为把,A,变成,B,的,相似变换矩阵,定理：,若,n,阶矩阵,A,和,B,相似，则,A,和,B,的特征多项式相同,从而,A,和,B,的特征值也相同,证明：,根据题意，存在,可逆矩阵,P,，使得,P,1,AP,=,B,于是,|,B,l,E,|=|,P,1,AP,P,1,(,l,E,),P,|=|,P,1,(,A,l,E,),P,|,=|,P,1,|,A,l,E,|,P,|=,|,A,l,E,|,定理：,若,n,阶矩阵,A,和,B,相似，则,A,和,B,的特征多项式相同,从而,A,和,B,的特征值也相同,推论：,若,n,阶矩阵,A,和,B,相似，则,A,的多项式,j,(,A,)和,B,的,多项式,j,(,B,)相似,证明：,设,存在,可逆矩阵,P,，使得,P,1,AP,=,B,，则,P,1,A,k,P,=,B,k,.,设,j,(,x,)=,c,m,x,m,+,c,m,1,x,m,1,+,c,1,x,+,c,0,，那么,P,1,j,(,A,),P,=,P,1,(,c,m,A,m,+,c,m,1,A,m,1,+,+,c,1,A,+,c,0,E,),P,=c,m,P,1,A,m,P,+,c,m,1,P,1,A,m,1,P,+,c,1,P,1,A P,+,c,0,P,1,EP,=,c,m,B,m,+,c,m,1,B,m,1,+,c,1,B,+,c,0,E,=,j,(,B,),.,定理：,设,n,阶矩阵,L,=,diag,(,l,1,l,2,l,n,)，则,l,1,l,2,l,n,就,是,L,的,n,个特征值,证明：,故,l,1,l,2,l,n,就是,L,的,n,个特征值,定理：,若,n,阶矩阵,A,和,B,相似，则,A,和,B,的特征多项式相同,从而,A,和,B,的特征值也相同,推论：,若,n,阶矩阵,A,和,B,相似，则,A,的多项式,j,(,A,)和,B,的,多项式,j,(,B,)相似,若,n,阶矩阵,A,和,n,阶对角阵,L,=,diag,(,l,1,l,2,l,n,),相似，则,从而通过计算,j,(,L,)可方便地计算,j,(,A,),.,若,j,(,l,)=,|,A,l,E,|，那么,j,(,A,)=O（零矩阵）,.,可逆矩阵,P,，满足,P,1,AP,=,L,（对角阵）,AP,=,P,L,Ap,i,=,l,i,p,i,(,i,=1,2,n,),A,的,特征值,对应的,特征向量,其中,?,定理4：,n,阶矩阵,A,和对角阵,相似,当且仅当,A,有,n,个线性无关的特征向量,推论：,如果,A,有,n,个,不同的特征值，则,A,和对角阵,相似,设 ，求 ，为任意正整数。

例9】,【解】先求出A的特征值和特征向量属于特征值 的特征向量满足 ，可取特征向量,属于特征值 的特征向量满足 ，可取特征向量,将这两个线性无关的特征向量拼成可逆矩阵则有矩阵等式,其中 是以A的特征值为对角元的对角矩阵据此就可以求出,【练习91】,与矩阵 相似的对角矩阵为 _,【解】有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似A的特征值为1和3，与A相似的对角矩阵为,【练习92】,与矩阵,A,=相似的是（）,A B,CD,【解】有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似,A,【练习93】,设三阶方阵,A,的特征值分别为 ，且,B,与,A,相似，则 _,16,【解】定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同,【练习94】,已知矩阵,A,与对角矩阵,D,=相似，则 （）,A,A,B,D,C,E,D,E,【解】存在 ，使，,C,【练习95】,19已知3阶矩阵 的特征值为,，且矩阵 与 相似，则 _,【解】定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同 的特征值为 ，,4,5.3,向量内积和正交矩阵,向量的内积,定义：,设有,n,维向量,令,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,，,则称,x,y,为向量,x,和,y,的,内积,说明：,内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数,内积可用矩阵乘法表示：当,x,和,y,都是,列向量,时，,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,=,x,T,y,定义：,设有,n,维向量,令,则称,x,y,为向量,x,和,y,的,内积,向量的内积,【练习96】,设向量 ，,则向量 ，的内积=_,10,解:内积为,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,=,x,T,y,内积具有下列性质（其中,x,y,z,为,n,维向量，,l,为实数）：,对称性：,x,y,=,y,x,线性性质：,l,x,y,=,l,x,y,x,+,y,z,=,x,z,+,y,z,当,x,=0（零向量）时，,x,x,=0；,当,x,0（零向量）时，,x,x,0,施瓦兹（Schwarz）不等式,x,y,2,x,x,y,y,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,=,x,T,y,内积具有下列性质（其中,x,y,z,为,n,维向量，,l,为实数）：,对称性：,x,y,=,y,x,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,=,x,T,y,内积具有下列性质（其中,x,y,z,为,n,。