傅里叶变换的性质及其揭示的时域和频域间的关系.ppt

电器信息工程学院电器信息工程学院 蔡超峰蔡超峰CFSCFTDFSDTFT正变换变换反变换变换时时域频频域连续连续 周期非周期 离散连续连续 非周期非周期 连续连续离散 周期周期 离散离散 非周期周期 连续连续DFT离散 有限长长离散 有限长长在介绍绍和讨论讨论 各种变换变换 的性质时质时 ，将不局限于它们们的数学表示 ，而是着重它们们所体现现的物理含义义及应应用，即把重点放在如下 两个方面： n每个变换变换 的性质质揭示的时时域与频频域之间间的关系，即信号的频频 谱谱和LSI系统统的频频率响应应与它们时们时 域特性之间间的关系及物理解 释释 n利用变换变换 性质导质导 出新的变换变换 和反变换变换 的有效方法和技巧常 用的变换对变换对 ，都可以由很少几个熟知的变换对变换对 ，通过变换过变换 的性 质质方便地求得1.线线性性质质 2.卷积积性质质 3.时时移和频频移性质质 4.微分与差分性质质、积积分与累加性质质 5.对对称性质质 6.尺度比例变换变换 性质质 7.抽样样和抽样样定理 8.能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理 9.能量谱谱与功率谱谱1. 线线性性质质以 CFT 为为例：DTFT、CFS 和 DFS 具有完全类类似的性质质。

对对于DFT，若长长度为为 M1 和 M2 的序列 x1(n) 和 x2(n) 的N点DFT （注意：N ≥ M1， N ≥ M2）分别为别为 X1(k) 和 X2(k) ，对对于任意 复常数 α 和 β，则则有1. 线线性性质质习题习题 ：求正弦信号 cos(Ω0t) 和 sin(Ω0t) 的傅里叶变换变换 解答：利用欧拉公式，分别别有cos(Ω0t)=(ejΩ0t + e-jΩ0t )/2 和 sin(Ω0t)=(ejΩ0t - e-jΩ0t )/2j 再利用傅里叶变换变换 的线线性性质质，则则有2. 卷积积性质质卷积积性质质包括时时域卷积积性质质和频频域卷积积性质质先考察时时域卷 积积性质质以 CFT 为为例：证证明： 令 则则 y(t) 的 CFT 为为2. 卷积积性质质上述性质质表明，时时域中两个函数的卷积积，对应对应 在频频域上则则是 它们们的傅里叶变换变换 相乘DTFT 与此类类似：2. 卷积积性质质习题习题 ：试试求下图图所示的三角脉冲 x(t) 的频谱频谱 解答：三角脉冲 x(t) 是矩形脉冲与本身卷积积的结结果，即而 rτ(t) 的傅里叶变换为变换为 直接利用时时域卷积积性质质求得 x(t) 的频谱为频谱为-τ0tτx(t)12. 卷积积性质质CFS 和 DFS 的时时域周期卷积积性质质：若有两个周期为为 T 的周期 信号 与 ，和周期为为 N 的周期序列 与 ， 与 和 与 分别别是它们们的 CFS 和 DFS系数 。

则则有2. 卷积积性质质证证明（以 CFS 为为例）： 令 （周期卷积积） 则则 y(t) 的 CFS 为为2. 卷积积性质质DFT 的时时域循环环卷积积性质质：若有两个长长度分别为别为 N1 和 N2的 有限长长序列 x1(n) 和 x2(n)，如果选选取 N = max(N1, N2)，且假设设 X1 (k) 和 X2 (k) 分是 x1(n) 和 x2(n) 的 N 点 DFT 系数，则则有其中 y(n) 称为为 x1(n)和 x2(n) 的 N 点循环环卷积积，它实际实际 上就是 对对 x1(n) 和 x2(n) 周期延拓后求其周期卷积积，然后对对运算结结果取 主值值区间间内的 N 点序列2. 卷积积性质质习题习题 ：求序列 x1(n) = {1,2,2,1} 和 x2(n) = {1,0,1,3,4,3,2,1} 的循 环环卷积积 解答：0n8-80m8-80m0m8-88-82. 卷积积性质质DFT 的时时域线线性卷积积性质质：两个长长度分别为别为 N1 和 N2的有限 长长序列 x1(n) 和 x2(n)，它们们的线线性卷积积仍为为有限长长序列，长长度 为为N1+N2-1。

如果在做 N 点域循环环卷积时积时 不是选选取 N = max(N1, N2)，而是选选取N ≥ N1+N2-1，那么循环环卷积积就转转化为为 线线性卷积积换换句话说话说 ，在 N ≥ N1+N2-1 的条件下， N 点时时域 循环环卷积积的结结果将等于 x1(n) 和 x2(n) 线线性卷积积的结结果因此 ，若有两个长长度分别为别为 N1 和 N2 的有限长长序列 x1(n) 和 x2(n)， 如果选选取 N ≥ N1+N2-1，且假设设 X1 (k) 和 X2 (k)分是 x1(n) 和 x2(n) 的 N 点 DFT 系数，则则有2. 卷积积性质质再考察频频域卷积积性质质以 CFT 为为例：在时时域中，一个信号和另外一个信号相乘，可以理解为为用一个 信号去调调制另外一个信号的幅度，称为为幅度调调制，因此上面的 频频域卷积积性质质也成为为傅里叶变换变换 的调调制性质质 DTFT、CFS、DFS、DFT与此类类似 习题习题 ：求函数 x(t) = rτ(t)cos(Ω0t) 的频谱频谱 解答：利用欧拉关系，有根据频频域卷积积性质质有2. 卷积积性质质3. 时时移和频频移性质质时时移性质质。

以 CFT 和 DTFT 为为例：由此可见见，信号在时时域中延时时 t0 或 n0，仅导仅导 致它们们的傅里叶变变 换换分别别乘以一个时时移因子 e-jΩt0 或 e-jωn0 CFS、DFS与此类类似 DFT：其中 y(n) 称为为 x(n) 的循环环移位，即 x(n) 以周期 N 进进行周期延拓生成 的周期序列右移 n0 后取其主值值区间间得到的 N 点序列3. 时时移和频频移性质质傅里叶变换变换 的时时移性质质可以看做是其时时域卷积积性质质的一个特 例以 CFT 为为例：3. 时时移和频频移性质质频频移性质质以 CFT 和 DTFT 为为例：由此可见见，时间时间 函数或序列在时时域中分别别被频频率为为 Ω0 和 ω0 的 复正弦函数或序列加权权，等效于它们们的傅里叶变换变换 在频频域上分 别别右移 Ω0 和 ω0 CFS、DFS 与此类类似 DFT：其中 Y(k) 称为为 X(k) 的循环环移位，即X(k) 以周期 N 进进行周期延拓生成的周期序列右移 k0 后取其主值值区间间得到的 N 点序列3. 时时移和频频移性质质傅里叶变换变换 的频频移性质质可以看做是其频频域卷积积性质质的一个特 例。

以 CFT 为为例：4. 微分与积积分、差分与累加性质质时时域微分性质质（以 CFT 为为例）证证明：根据冲激函数的性质质因此卷积积的微分性质质4. 微分与积积分、差分与累加性质质时时域积积分性质质（以 CFT 为为例）证证明：DTFT 的时时域差分和累加性质质、CFS 的时时域微分和积积分性质质、 DFS 的时时域差分和累加性质质以及频频域内的相应应性质质在此不再一一列出，感兴兴趣的同学可自行查查找资资料习题习题 ：求函数 x(t) = e-atu(t), a>0 的 CFT 解答： x(t) 的一阶阶微分为为利用 CFT 的时时域微分性质质，同时对时对 上式两端取 CFT从而对对照上一章结结果：4. 微分与积积分、差分与累加性质质以 CFT 为为例：证证明：按照 CFT 的定义义有讨论讨论 ：①当 x(t) 为实为实 函数时时，即 ，则则有这这就说说明，实实函数的幅度谱谱是 Ω 的的偶函数，相位谱谱是 Ω 的奇函数5. 对对称性质质另外，X(jΩ) 可以写做：这这就说说明，当 x(t) 为实为实 函数时时， X(jΩ) 的实实部是 Ω 的偶函数 ，虚部是 Ω 的奇函数。

5. 对对称性质质②当 x(t) 为实为实 偶函数时时，即 ，则则有这这就说说明，实实偶函数的频谱为频谱为 Ω 的实实偶函数，幅度谱为谱为 Ω 的 偶函数，相位只能为为 0 和π实实偶函数的傅里叶变换变换 只有实实部 ，且为实为实 偶函数5. 对对称性质质③当 x(t) 为实为实 奇函数时时，即 ，则则有这这就说说明，实实奇函数的频谱为频谱为 Ω 的虚奇函数，幅度谱为谱为 Ω 的 偶函数，相位只能为为 ±π/2 实实奇函数的傅里叶变换变换 只有虚部 ，且为为虚奇函数DTFT、CFS、DFS、DFT 的对对称性质质与 CFT 类类似5. 对对称性质质时时域与频频域的尺度反比特性（以 CFT 为为例）：其中实实数 a≠0 证证明： 当 a>0 时时，令 λ = at，则则 t = λ/a，dt = dλ/a，因此当 a＜0 时时，令 λ = at = -|a|t，则则 t = -λ/|a|，dt = -dλ/|a|，因此最终终6. 尺度比例变换变换 性质质CFT 的尺度比例变换变换 性质质表明，除了一个幅度因子 1/|a| 外，时时 域与频频域存在着尺度反比关系。

当 a>1时时，信号在时时域上压缩压缩 到原来的 1/a，则则在频频域上其频谱频谱 将扩扩展 a 倍当 0102ΩM 进进行的抽样样称为过为过 抽 样样，以 Ωs<2ΩM 进进行的抽样样称为为欠抽样样7. 抽样样和抽样样定理7. 抽样样和抽样样定理0ΩXP(jΩ) HL(jΩ) 重建滤滤波器 hL(t)xp(t) xr(t)=x(t) 信号的重建：7. 抽样样和抽样样定理信号的重建选选取 Ωc=Ωs/2，则则有上式表明，任何一个带带限信号都可以展开成抽样样函数的一个无 穷级穷级 数，其系数就是该带该带 限信号的样样本值值换换言之，若在 xp(t) 的每一个抽样样点上，画一个峰值为值为 x(nTs) 的抽样样函数，它 们们叠加的结结果就是 x(t)8. 能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理能量信号的相关定理（以 CFT 为为例）： 对对于连续时间连续时间 能量信号 x(t) 和 y(t)，其互相关函数定义为义为计计算 rxy(t) 的 CFT，有上述性质质表明，两个连续时间连续时间 能量信号互相关函数的傅里叶变变换换，等于其中一个信号的频谱频谱 乘以另一个信号频谱频谱 的共轭轭8. 能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理也可以从卷积积与互相关的关系入手：令则则有即根据傅里叶变换变换 的时时域卷积积性质质也可以得到8. 能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理对对于自相关函数则则有：这这就说说明，一个能量信号自相关函数的傅里叶变换变换 等于该该信号 傅里叶变换变换 模的平方。

DTFT 情况下：DFT 情况下：其中8. 能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理能量信号的帕什瓦尔定理（以 CFT 为为例）： 由相关定理可知代入 CFT 的反变换变换 公式根据自相关函数的定义义这这就是 CFT 的帕什瓦尔定理DTFT情况下的帕什瓦尔定理：DFT情况下的帕什瓦尔定理：帕什瓦尔定理表明一个能量信号在时时域上计计算的能量，等于该该 信号的频谱频谱 在频频域上计计算出的能量8. 能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理连续时间连续时间 信号的能量谱谱： 帕什瓦尔定理表明， |X(jΩ)|2 反映了x(t) 的能量在频频域上的分布 ，故把 |X(jΩ)|2 称为为 x(t) 的能量谱谱密度，简简称能量谱谱它表示 单单位带宽带宽 内的能量，用 E(jΩ) 来表示，即离散时间时间 信号的能量谱谱： 9. 能量谱谱与功率谱谱9. 能量谱谱与功率谱谱功率信号的相关定理（以CFT 为为例）：其中：对对于DTFT则则有：9. 能量谱谱与功率谱谱功率信号的帕什瓦尔定理：功率信号的功率谱谱： 9. 能量谱谱与功率。