数理金融基本数学方法ppt课件.ppt

单击此处编辑母版标 题样式 单击此处编辑母版副标 题样式 西方经济学 微观 第2章 1陕西科技大学理学院 第二章 基本数学方法数数理金融理金融 数学方法的基本应用原 理和应用技巧 一 函一 函数和微积分的数和微积分的 应用应用 二 线二 线性代数的应用性代数的应用 三三 随随机过程的应用机过程的应用 第一节 函数和微积分的应用 一 数理金融中的指数和对数函数 一 连续复利和实际利率 给定本金P 每年以利率i计算 复利一次 t年后终值F为 主要学习函数和微积分在利率分析 边际分析 银行按揭贷款 等方面的应用 如果每年计算复利m次 t年 后终值为 如果利率为100 一年内 连续计算复利 终值为 对于非100 的利率r 及非 一年的时期t 终值为 对于负增长率 如折旧或贬值 公式中的i或r为负数 例 求100元本金 以10 复利两年的终值 1 每年计算复利一次 2 半年计算复利一次 3 连续复利计算 第一节 函数和微积分的应用 第一节 函数和微积分的应用 二 实际利率与名义利率 二 实际利率与名义利率 相同的本金及相同的名义利率但终值不同 即实际利率不同相同的本金及相同的名义利率但终值不同 即实际利率不同 实际利率记为 实际利率记为 ie ie 则则 可得 可得 若为连续复利 若为连续复利 m m 有 有 例 例 计算上例中三种情况的实际利率计算上例中三种情况的实际利率 第一节 函数和微积分的应用 三 银行按揭贷款 三 银行按揭贷款 先在银行贷款 然后分期还款 先在银行贷款 然后分期还款 有等额偿还有等额偿还和等本金偿还 和等本金偿还 银行按揭可归纳为数学问题 贷款银行按揭可归纳为数学问题 贷款P P元 年利率元 年利率r r 分 分n n期等额期等额 偿还 每期应还多少 偿还 每期应还多少 一般以一个月为一期 月末偿还 年息为一般以一个月为一期 月末偿还 年息为r r 月息为 月息为i r 12i r 12 设每期偿还设每期偿还A A元 则元 则n n期还款折现的总和应等于贷款总和 期还款折现的总和应等于贷款总和 有现值公式知 有现值公式知 上式又成为资金还原公式 后一个表达式成为资金还原系数上式又成为资金还原公式 后一个表达式成为资金还原系数 常用 常用 A PA P i i n n 表示 可查福利表计算 表示 可查福利表计算 第一节 函数和微积分的应用 例 例 某人贷款金额为某人贷款金额为2020万元 年利息为万元 年利息为6 6 计划办理 计划办理5 5年年 银行按揭 每个月月末影响银行还款多少 银行按揭 每个月月末影响银行还款多少 问题问题 1 1 还款总数为多少 还款总数为多少 2 2 所付利息总额为多少 所付利息总额为多少 3 3 若为月初还款 如何计算 若为月初还款 如何计算 4 4 若遇到利息调整 如何计算 若遇到利息调整 如何计算 第一节 函数和微积分的应用 四 分期付款 四 分期付款 1 1 成交时取货 企业需计算现值 成交时取货 企业需计算现值 2 2 货款付清后取货 消费者计算终值 货款付清后取货 消费者计算终值 3 3 向银行借款购买商品 以后分期偿还 向银行借款购买商品 以后分期偿还 4 4 分期付款在半途变更付款条件 分期付款在半途变更付款条件 例 汽车每辆销售价例 汽车每辆销售价100000100000元 成交时付款元 成交时付款3400034000元 其余元 其余 的分的分1111个月付款 即每月个月付款 即每月60006000元 试以月息元 试以月息0 42 0 42 求其现值求其现值 第一节 函数和微积分的应用 五 银行贴现 五 银行贴现 企业间存在商业信用 企业可以签发远期汇票 当未到期汇票企业间存在商业信用 企业可以签发远期汇票 当未到期汇票 的持有者向银行要求兑现 就需要计算贴息额和兑现额的持有者向银行要求兑现 就需要计算贴息额和兑现额 设票面金额为设票面金额为S S 离到期时 离到期时 间为间为n n天 日息为天 日息为R R 则应 则应 的兑现额 的兑现额 银行实际业务贴付利息和银行实际业务贴付利息和 实得兑现额为 实得兑现额为 第一节 函数和微积分的应用 例 例 面值面值50005000元的汇票 元的汇票 2020天后到期 银行月息为天后到期 银行月息为0 6 0 6 求贴息额与兑现额求贴息额与兑现额 应得兑现额是应得兑现额是4980 084980 08 应贴利息 应贴利息 19 9219 92 实贴利息 实贴利息 2020 实际兑现额 实际兑现额 49804980 第一节 函数和微积分的应用 六 利用指数 对数函数计算时间最优问题 六 利用指数 对数函数计算时间最优问题 例 例 为投资买入的土地以下面的公式增值 为投资买入的土地以下面的公式增值 在连续复利下贴现率为在连续复利下贴现率为0 090 09 为使土地的现值最大 应持有多久 为使土地的现值最大 应持有多久 求解此问题的关键是求出现值求解此问题的关键是求出现值P P 第一节 函数和微积分的应用 二 数理金融中微分方法的应用二 数理金融中微分方法的应用 一 边际效用函数分析 一 边际效用函数分析 例 已知总成本函数例 已知总成本函数TC QTC Q 3 3 18Q 18Q 2 2 750Q 750Q 利用微分知识做出 利用微分知识做出 总成本 平均成本和边际成本三者关系的图形 总成本 平均成本和边际成本三者关系的图形 二 经济函数最优化 二 经济函数最优化 例 已知一个企业的总收益水平是例 已知一个企业的总收益水平是R 4000Q 33QR 4000Q 33Q 2 2 总成本函 总成本函 数数C 2QC 2Q 3 3 3Q 3Q 2 2 400Q 500 400Q 500 设 设Q 0Q 0 求最大利润 求最大利润 第一节 函数和微积分的应用 三 划拨价格的决定机制 三 划拨价格的决定机制 假定某跨国公司由三个部门组成 两个上游部门 一个下游部门 假定某跨国公司由三个部门组成 两个上游部门 一个下游部门 两个上游部门的产量为两个上游部门的产量为Q1Q1和和Q2Q2 相应成本为 相应成本为C1C1和和C2C2 下游部门 下游部门 的产量为的产量为 Q fQ f K K L L Q1 Q1 Q2 Q2 公司除了上游部门的成本 公司除了上游部门的成本 外 还有下游部门的成本外 还有下游部门的成本CdCd 两个上游部门生产的中间产品 两个上游部门生产的中间产品 的划拨价格分别为的划拨价格分别为P1P1和和P2P2 下游部门的销售收入为 下游部门的销售收入为R R 当三个部门 当三个部门 各自达到利润最大化时 公司的利润最大化 各自达到利润最大化时 公司的利润最大化 设该企业的总利润为设该企业的总利润为 求其最大值求其最大值 第一节 函数和微积分的应用 利用多元函数求极值 利用多元函数求极值 为了使为了使 母公司母公司 利润最利润最 大化大化 第一节 函数和微积分的应用 两个上游部门的利润分别为两个上游部门的利润分别为 利润最大化利润最大化 因此划拨价格制定的条件是 因此划拨价格制定的条件是 第一节 函数和微积分的应用 例 例 某生产赛车的跨国公司有两个部门组成 上游生产引擎某生产赛车的跨国公司有两个部门组成 上游生产引擎 下游组装赛车 该车需求曲线为 下游组装赛车 该车需求曲线为 P 20000 QP 20000 Q 已知上游部门 已知上游部门 的成本是的成本是C C E E 2Q 2Q E E 2 2 下游部门的成本为 下游部门的成本为C C A A 8000Q 8000Q 求引擎的 求引擎的 划拨价格划拨价格P P E E 赛车的产量 赛车的产量 引擎的产量 引擎的产量 E E 和赛车的价格和赛车的价格P P A A 第一节 函数和微积分的应用 三 数理金融中积分方法的应用三 数理金融中积分方法的应用 一 净投资时间积分的测度 连续变换 一 净投资时间积分的测度 连续变换 净投资净投资I I定义为时间定义为时间t t内资本存量构成内资本存量构成K K的变化率的变化率 例如 例如 第一节 函数和微积分的应用 例 例 给定净投资率给定净投资率 且当 且当t 0t 0时初始资本存量为时初始资本存量为150150 求资本函数 求资本函数 例 边际储蓄倾向例 边际储蓄倾向 当收入是 当收入是2525时 储蓄减少时 储蓄减少3 53 5 既当既当Y 25Y 25时 时 s 3 5s 3 5 求储蓄函数 求储蓄函数 二 消费者剩余和生产剩余的测度 略 二 消费者剩余和生产剩余的测度 略 第一节 函数和微积分的应用 四 数理金融中微分方程和差分方程的应用四 数理金融中微分方程和差分方程的应用 一 运用微分方程决定动态平衡点 一 运用微分方程决定动态平衡点 微分方程可用与决定市场均衡模型的动态平衡 它描述出在微分方程可用与决定市场均衡模型的动态平衡 它描述出在 不同的宏观经济条件下 价格增长的时间路径 也可以估计不同的宏观经济条件下 价格增长的时间路径 也可以估计 资本函数 并根据边际成本和边际收入函数估计总收益函数资本函数 并根据边际成本和边际收入函数估计总收益函数 例 例 假定市场中价格的变化率假定市场中价格的变化率dP dtdP dt是正是正 的 它是关于超额需求的 它是关于超额需求 d d Q Q s s 的线的线 性函数 性函数 分析在什么条件下 当分析在什么条件下 当t t 时 时 P t P t 将趋近与上式均衡价格将趋近与上式均衡价格 这个条件就是市场上的动态价格稳定的条件 这个条件就是市场上的动态价格稳定的条件 第一节 函数和微积分的应用 只要只要h bh b 拥有正斜率需求函数或负斜率供给函数的市场 拥有正斜率需求函数或负斜率供给函数的市场 也将是动态稳定的 也将是动态稳定的 第一节 函数和微积分的应用 二 运用可分离变量微分方程求投资函数 二 运用可分离变量微分方程求投资函数 投资的变化率将影响经济的总需求和生产能力 运用微分方程投资的变化率将影响经济的总需求和生产能力 运用微分方程 寻找经济增长的时间路径 并沿该路径增长寻找经济增长的时间路径 并沿该路径增长 例 若边际储蓄倾向和边际资本例 若边际储蓄倾向和边际资本 产出变化率产出变化率K K都是常数 都是常数 计算可达到预期增长所需的投资函数 计算可达到预期增长所需的投资函数 总体需求的变化等于投资的变化乘以总体需求的变化等于投资的变化乘以1 s1 s 生产能力的变化等于资本存量的变换乘以边际资本生产能力的变化等于资本存量的变换乘以边际资本 产出产出 比率的倒数比率的倒数 第一节 函数和微积分的应用 当生产力充分利用时当生产力充分利用时 投资量必须以由投资量必须以由s Ks K决定的常数比率即储蓄率与资本决定的常数比率即储蓄率与资本 产出产出 率之比增长率之比增长 第一节 函数和微积分的应用 三 运用差分方程制定滞后收入决定模型 三 运用差分方程制定滞后收入决定模型 差分方程表示的是因变量和滞后的自变量之间的关系 这些差分方程表示的是因变量和滞后的自变量之间的关系 这些 变量在离散的时间区间内变化 假定消费量是前一期收入的变量在离散的时间区间内变化 假定消费量是前一期收入的 函数 那么函数 那么 第一节 函数和微积分的应用 因为边际消费倾向因为边际消费倾向c c不等于不等于1 1 并且假设 并且假设t 0t 0时 假定时 假定Y Y t t Y Y 0 0 那么这条时间路径的稳定性取决于那么这条时间路径的稳定性取决于c c 因为 因为 时间路径将收敛 因为时间路径将收敛 因为c 0c 0 所以非振荡 均衡是稳定的 并 所以非振荡 均衡是稳定的 并 且当且当t t 时 时 这时收入的暂时均衡 这时收入的暂时均衡 例 例 给出给出 第二节 线性代数的应用 一 数理金融中矩阵的应用一 数理金融中矩阵的应用 矩阵是数 参数或变量的矩阵排列 通过矩阵的加减乘除运算矩阵是数 参数或变量的矩阵排列 通过矩阵的加减乘除运算 以及矩阵转置 逆矩阵的相。