不等式知识点总结及题型归纳.doc

不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的多种状况如下表： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 2、简朴的一元高次不等式的解法：标根法：其环节是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一种因式中最高次项的系数为正；2）将每一种一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一种因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表达平面区域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表达直线Ax+By+C=0某一侧所有点构成的平面区域.（虚线表达区域不涉及边界直线）2、二元一次不等式表达哪个平面区域的判断措施由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相似，因此只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表达直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是有关x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目的函数：有关x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所波及的变量x、y的解析式，叫线性目的函数．③线性规划问题：一般地，求线性目的函数性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解构成的集合叫做可行域．使目的函数获得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目的函数性约束条件下的最优解的环节：1）寻找线性约束条件，列出线性目的函数；2）由二元一次不等式表达的平面区域做出可行域；3）根据线性目的函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目的函数的最优解.三、基本不等式1、若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.2、如果a,b是正数，那么变形： 有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.3、如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：1）(根据目的不等式左右的运算构造选用) ；2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；3）若，则（糖水的浓度问题）。

不等式重要题型解说一、不等式与不等关系题型一：不等式的性质1、对于实数中，给出下列命题：①； ②； ③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧，则其中对的的命题是______题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2、设，，，试比较的大小3、比较1+与的大小4、若，则的大小关系是 .二、解不等式题型三：解不等式5、解不等式： 6、解不等式7、解不等式8、不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，则=_____, b=_______9、有关的不等式的解集为，则有关的不等式的解集为10、解有关x的不等式题型四：恒成立问题11、有关x的不等式a x2+ a x+1＞0 恒成立，则a的取值范畴是_____________ 12、若不等式对的所有实数都成立，求的取值范畴.13、已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范畴三、基本不等式题型五：求最值14、（直接用）求下列函数的值域1）y＝3x 2＋ 2）y＝x＋15、（配凑项与系数）1）已知，求函数的最大值2）当时，求的最大值。

16、（耐克函数型）求的值域注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的状况，应结合函数的单调性17、（用耐克函数单调性）求函数的值域18、（条件不等式）1）若实数满足，则的最小值是 .2）已知，且，求的最小值3）已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.4）已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.题型六：运用基本不等式证明不等式19、已知为两两不相等的实数，求证：20、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc21、已知a、b、c，且求证：题型七：均值定理实际应用问题：22、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水解决池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽视不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价四、线性规划题型八：目的函数求最值23、满足不等式组，求目的函数的最大值24、已知实系数一元二次方程的两个实根为、,并且,．则的取值范畴是 25、已知满足约束条件： ,则的最小值是26、已知变量（其中a>0）仅在点（3，0）处获得最大值，则a的取值范畴为 。

27、已知实数满足如果目的函数的最小值为，则实数等于 题型九：实际问题28、某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元目前要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几种，可使利润最大？又利润最大为多少？不等式的基本知识参照答案高中数学必修内容练习---不等式1、②③⑥⑦⑧；2、；3、当或时，1+＞； 当时，1+＜； 当时，1+＝4、∵ ∴（ ∴R>Q>P5、 6、或；7、）；8、不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，则=___-6____, b=__6_____9、）.10、解：当a＝0时，不等式的解集为； 2分当a≠0时，a(x－)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0不等式的解集为； 6分当0＜a＜1时，1＜，不等式的解集为； 8分当a＞1时，＜1，不等式的解集为； 10分当a＝1时，不等式的解为φ． 12分11、0≤x＜412、）13、 14、解：1）y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）15、1）解，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

2）当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为816、解析一： 当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）17、解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性由于在区间单调递增，因此在其子区间为单调递增函数，故因此，所求函数的值域为18、（条件不等式）1）解： 都是正数，≥当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．2）解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，3）解：x＝x ＝x·下面将x，分别当作两个因式：x·≤＝＝ 即x＝·x ≤ 4）解：法一：a＝， ab＝·b＝ 由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3 ∴≤3，ab≤18，∴y≥19、已知为两两不相等的实数，求证：20、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc21、已知a、b、c，且。

求证：证明：a、b、c，上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得当且仅当时取等号22、解：若设污水池长为x米，则宽为 （米）水池外圈周壁长： （米）中间隔墙长： （米）池底面积：200（米2）目的函数： 　　　　　　　　≥ 23、424、 25、126、27、5 28、解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元　　　　　　 则x，y必须满足，　　　　　　 目的函数为z＝15x＋10y　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 在可行区內的顶点附近z＝f ( x，y ) 的最大值，　 因此，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。