线性代数(同济六版)-共五章-全.ppt

线性代数线性代数 同济六版同济六版 200705一元一次方程一元一次方程 ax = b 一元二次方程一元二次方程二元二元 、三元线性方程组、三元线性方程组n行列式行列式n矩阵及其运算矩阵及其运算n矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组n向量组的线性相关性向量组的线性相关性n矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量一元一次方程一元一次方程 ax = b 当当 a≠0 时时，，二元二元 （三元）线性方程组（三元）线性方程组例例 解二元线性方程组解二元线性方程组得得于是于是类似地，可得类似地，可得于是于是第一章第一章 行列式行列式§1 §1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 线性方程组线性方程组消去消去 x2 ,的两边后的两边后,两式相加得两式相加得消元法消元法记记称它为称它为二阶行列式二阶行列式，，于是，线性方组（于是，线性方组（1）的解可以写为）的解可以写为定义为定义为类似地，可得类似地，可得类似的，我们还可以定义三阶行列式为类似的，我们还可以定义三阶行列式为n 阶排列共有阶排列共有 n! !个个. 排列的逆序数排列的逆序数 §2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 把把 1, 2, ……, n 排成一列，称为一个排成一列，称为一个 n 阶全排列阶全排列. 奇排列奇排列 逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列. 在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有 例例 1 排列排列 1 2 …… n 称为自然排列，称为自然排列，所以是偶排列所以是偶排列.一个一个逆序逆序.偶排列偶排列 一个排列中所有逆序的总数一个排列中所有逆序的总数.逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列. 它的逆序数为它的逆序数为0 ，，三 阶排列阶排列共有共有3×2×1=3!个个. 例例 2 排列排列 3 2 5 1 4 的逆序数为的逆序数为 t (３２５１４３２５１４) 例例 3 排列排列 n ( n −1 ) … 3 2 1 的逆序数为的逆序数为 t ( n (n −1) … 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + … + ( n − 1 ) = 排列排列 3 2 5 1 4 为奇排列为奇排列.＝＝００＋＋１１＋＋００＋＋３３＋＋１１＝＝ 5三阶行列式定义为三阶行列式定义为§3　　n 阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式是三阶行列式是 3 ! != 6 项项 的代数和的代数和.123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(213)=1t(321)=3三阶行列式可以写成三阶行列式可以写成 定义定义 由由 n2 个数组成的数表，个数组成的数表，称为称为 n 阶行列式阶行列式 ,项的代数和，项的代数和， 即即 规定为所有形如规定为所有形如记成记成例例 1 下三角行列式下三角行列式 例例2 下三角行列式下三角行列式例例 3 三阶行列式三阶行列式 例例5 n 阶行列式阶行列式 例例4 四阶行列式四阶行列式经对换经对换 a 与与 b ,得排列得排列 所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性. §4 §4 对换对换 对换对换 定理定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 证证 先证相邻对换的情形先证相邻对换的情形. 那么那么设排列设排列经对换经对换 a 与与 b排列，得排列排列，得排列 相邻对换相邻对换 再证一般对换的情形再证一般对换的情形. 设排列设排列事实上，排列（事实上，排列（1）经过）经过 2m + 1 次相邻对换变为排列（次相邻对换变为排列（2））. 定理定理 2 n 阶行列式也可以定义为阶行列式也可以定义为根据相邻对换的情形及根据相邻对换的情形及 2m + 1 是奇数，是奇数，性相反性相反.所以这两个排列的奇偶所以这两个排列的奇偶 53142 解解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7t(53412) = 0+1+1+3+3=8 53412求这两个排列的逆序数求这两个排列的逆序数.经对换经对换1与与4 得排列得排列例例 1 排列排列 1. 选择选择 i 与与 k 使使 （（1））2 5 i 1 k 成偶排列成偶排列; （（2））2 5 i 1 k 成奇排列成奇排列.若是，指出应冠以的符号若是，指出应冠以的符号 3.计算计算n 阶行列式阶行列式练习练习行列式中的项行列式中的项. 1.（（1））i = 4, k = 3时，即排列时，即排列 2 5 4 1 3 为偶排列；为偶排列； （（2））i = 3, k = 4时，即排列时，即排列 2 5 3 1 4 为奇排列为奇排列. 性质性质 1 性质性质 2 §5 行列式的性质行列式的性质 推论推论 两行（列）相同的行列式值为零两行（列）相同的行列式值为零. 数数 k , 推论推论 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号 性质性质4 性质性质 3 式等于零式等于零.等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式 . 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. 互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号. 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个 行列式中如果有两行（列）元素成比例行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列，则此行列 外面外面. 若行列式若行列式 的某一列（行）的元素都是两个元素和的某一列（行）的元素都是两个元素和 ，， 例如例如则此行列式等于两个行列式之和则此行列式等于两个行列式之和 .性质性质 5 把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变行列式的值不变.性质性质 6设设行列式行列式 DT 称为行列式称为行列式 D 的转置行列式的转置行列式.记记那么那么= 设行列式设行列式 D = det (aij ) 互换第互换第 i , j ( i＜＜ j ) 两行两行,得行列式得行列式 性质性质 2 的证明的证明其中，当其中，当 k≠ i , j 时时, bkp = akp ;当当 k = i , j 时，时，bip = ajp,, bjp = aip , 其中其中, 1…i … j … n 是自然排列是自然排列,所以所以于是于是= −D 例例 3 r2 - r1 例例5== 0 例例6 例例7 解解 r2 - r1, r3 - 3r1 , r4 - r1 例例 8 计算行列式计算行列式 r2÷2 r3 + r2 , r4 - 2r2 r4÷( -3 ) , r3←→r4 r4+3r3 例例 9 计算行列式计算行列式 解解 从第从第 4 行开始，后行减前行得，行开始，后行减前行得， 例例 10 计算行列式计算行列式 解解 各行都加到第一行，各行都加到第一行， 各行都减第一行的各行都减第一行的 x 倍倍第一行提取公因子第一行提取公因子( a+3x ) §6 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 在在 n 阶行列式阶行列式 det ( aij ) 中，把元素中，把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列列 Aij = ( −1 ) i+j Mij 记成记成 Mij , 称为元素称为元素 aij 的的余子式余子式. 称它为元素称它为元素 aij 的的代数余子式代数余子式. 划去划去, 剩下的剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构成的个元素按原来的排法构成的 n − 1 阶行列式阶行列式, 记记 例例1 三阶行列式三阶行列式 中元素中元素 a23 的余子式为的余子式为元素元素 a23 的代数余子式为的代数余子式为 例例2 四阶行列式四阶行列式 中元素中元素 x 的代数余子式为的代数余子式为= 5 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元 或或 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应 或或的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即素的代数余子式乘积之和等于零素的代数余子式乘积之和等于零. 即即 定理定理 3推论推论 引理引理 在行列式在行列式 D 中，如果它的第中，如果它的第 i 行中除行中除 aij 外其余元素外其余元素都为都为0, 即即 D = aij Aij那么那么 证明证明 先证先证 aij 位于第位于第 1 行，第行，第 1 列的情形，即列的情形，即由行列式的定义，得由行列式的定义，得 再证一般情形，设再证一般情形，设 用互换相邻两行和相邻两列，把用互换相邻两行和相邻两列，把 aij 调到左上角，得行列式调到左上角，得行列式利用前面的结果，得利用前面的结果，得于是于是所以引理成立所以引理成立. 定理定理 3 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应 证证 因为因为 或或的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即椐引理，就得到椐引理，就得到类似地可得类似地可得 例例 3 计算四阶行列式计算四阶行列式 解解 按第按第 1 列展开，有列展开，有例例 4 计算四阶行列式计算四阶行列式解解 按第按第 1 行展开，有行展开，有对等式右端的两个对等式右端的两个 3 阶行列式都按第阶行列式都按第 3 行展开，得行展开，得 解解 c3 - c1 c4 - 2c1 例例 5 计算四阶行列式计算四阶行列式第第1 行提取行提取 2，第，第 2 行提取行提取 −1按第按第 2 行展开得行展开得按第按第 1 行展开行展开 r2 + r1= − 24c2 - c1 ，，c3 - c1 例例 6 证明范德蒙（证明范德蒙（Vandermonde ）） 行列式行列式证证 用数学归纳法用数学归纳法. 所以当所以当 n=2 时（时（*）式成立）式成立. 假设对于假设对于 n – 1 阶范德蒙阶范德蒙 ri – x1ri -1 , i = n , n – 1 , … 2 ,有有因为因为 对对 n 阶范德蒙行列式做运算阶范德蒙行列式做运算 行列式等式成立行列式等式成立.按第按第 1 列展开后，各列提取公因子列展开后，各列提取公因子( xi - x1 ) 得得椐归纳法假设，可得椐归纳法假设，可得归纳法完成归纳法完成. 推论推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元 或或元素的代数余子式乘积之和等于零元素的代数余子式乘积之和等于零. 即即例例7 计算计算 行列式行列式解解 先以先以 3 阶行列式为例，例如为了证得阶行列式为例，例如为了证得因为因为所以所以又又 设行列式设行列式 D = det (aij ) ，，因为行列式因为行列式 D1中第中第 i 行与第行与第 j 行元素对应相同，行元素对应相同，把行列式把行列式 D1 按第按第 j 行展开，有行展开，有类似地，也可以证明另一个式子类似地，也可以证明另一个式子.所以所以推论的证明推论的证明取行列式取行列式 § 7 Cramer 法则法则 设线性方程组设线性方程组 定理定理4 （（Cramer 法则法则 ））若线性方程组（若线性方程组（1）的系数行列式不）的系数行列式不即即等于零，等于零，其中其中 则方程组有唯一解则方程组有唯一解 证证 先证（先证（2）是（）是（1）的解，即要证明）的解，即要证明 为此看为此看 n+1 阶行列式阶行列式第第1行展开，注意到，其第一行中行展开，注意到，其第一行中 aij 的代数余子式为的代数余子式为首先，因为第首先，因为第 1 行与第行与第 i+1 行相同行相同,所以它的值为零所以它的值为零. 再把它按再把它按故有故有 因而因而 即即是线性方程组（是线性方程组（1）解）解. 3 个恒等式个恒等式A12 , A22 , An2 分别乘以上的分别乘以上的 3 个等式得个等式得相加相加,得得 设设 x1= c1 , x2= c2 , x3= c3 是线性方程组（是线性方程组（1）的解）的解,于是有于是有 类似的可得类似的可得于是于是也就是也就是由于由于 例例1 用用 Cramer 法则解线性方程组法则解线性方程组 解解 因为因为所以所以 定理定理 5 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组的系数行列式的系数行列式 D≠0 ，那么它只有零解，那么它只有零解.下述齐次方程组有非零解下述齐次方程组有非零解？？ 解解 根据定理根据定理 5 ，若此齐次线性方程组有非零解，则其系，若此齐次线性方程组有非零解，则其系所述方程组确有非零解所述方程组确有非零解.行列式必为行列式必为 0 .而而 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算§1 矩阵矩阵行矩阵（行向量行矩阵（行向量)，，列矩阵（列向量列矩阵（列向量)，， n 阶矩阵阶矩阵( n 阶方阵阶方阵). 定义定义 1 由由 m×n 个数个数 aij (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n )实矩阵实矩阵称为称为m×n 矩阵矩阵.排成的排成的 m 行行n 列数表列数表, 记成记成  例例1 （价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价（价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价这里的行表示商店，列表示商品．这里的行表示商店，列表示商品．ai j 表示每生产一万元第表示每生产一万元第 j 类产品需要消耗的第类产品需要消耗的第 a23 = 0.20 就表示每生产一万元就表示每生产一万元 第第 3 类产品需要消耗掉类产品需要消耗掉0.20万元万元 例例2 （投入（投入—产出矩阵）设某地区有产出矩阵）设某地区有3个经济部门，假定每个个经济部门，假定每个（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消耗的商品都用部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消耗的商品都用货币来表示货币来表示, i 类产品的价值．类产品的价值．的第的第 2 类产品的价值．类产品的价值．　例３（通路矩阵）甲省两个城市　例３（通路矩阵）甲省两个城市 s1 , s2 与乙省三个城市与乙省三个城市 t1 , t2 , s1s2t1t2t341322　　　　每条线上的数字表示连接该两　　　　　每条线上的数字表示连接该两　s1s2t1 t2 t3同型矩阵同型矩阵. 矩阵矩阵A与与B相等相等, 记成记成 A = B. 零矩阵零矩阵, 记成记成 0 .城市的不同通路的总数．以由此得到　城市的不同通路的总数．以由此得到　的通路信息，可用矩阵表示为：的通路信息，可用矩阵表示为：t3 的交通连接情况如下图所示，的交通连接情况如下图所示，§2 矩阵的运算矩阵的运算一一 矩阵的加法矩阵的加法 定义定义 2 设设A =(aij ) , B =(bij ) 都是都是 m×n 矩阵矩阵, 矩阵矩阵 A 与与B 的和的和例例 1记成记成 A + B, 规定为规定为 矩阵的加法运算满足规律矩阵的加法运算满足规律 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( 结合律结合律) 3. A + 0 = A 4. 设设A = ( aij ) ,记记 – A = ( − aij ) , 规定规定 A − B = A + ( − B )二二 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法 定义定义 3 规定为规定为 称称 – A 为为 A 的负矩阵的负矩阵, 1. A + B = B + A (交换律交换律) 易知易知 A + ( − A ) = 0例例 2 若若那么那么3A = A3数乘矩阵的运算满足规律：数乘矩阵的运算满足规律：A, B为矩阵为矩阵.三三 矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 定义定义4 设设 A = ( aij ) 是一个是一个 m×s 矩阵矩阵, B = ( bij ) 是一个是一个 s×nA 与与 B 的乘积记成的乘积记成 AB，， 即即 C = AB .规定规定 A 与与 B 的积为一个的积为一个 m×n 矩阵矩阵 C = ( cij ) ，， 其中其中 A B = ABm×s s×n m×n 矩阵矩阵,例例 3 例例 4例例 5 例例 6一般来说，一般来说，AB ≠BA , 若矩阵若矩阵 A、、B 满足满足 AB = 0, n 阶矩阵阶矩阵 称为称为单位矩阵单位矩阵. 如果如果 A 为为 m×n 矩阵，那么矩阵，那么 即矩阵的乘法不满足交换律即矩阵的乘法不满足交换律.未必有未必有 A = 0 或或 B = 0 的结论的结论. n 阶矩阵阶矩阵称为对角矩阵称为对角矩阵.两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵两个对角矩阵的积也是对角矩阵.矩阵的乘法满足下述运算规律矩阵的乘法满足下述运算规律解解1解解2矩阵的幂矩阵的幂 A 是一个是一个n 阶矩阵阶矩阵, k 是一个正整数是一个正整数,规定规定矩阵的幂满足规律矩阵的幂满足规律其中其中 k , l 为正整数为正整数.对于两个对于两个 n 阶矩阵阶矩阵 A与与 B，一般说，一般说例例 8 解一解一 解二解二 例例 10 已知线性方程组已知线性方程组如果记如果记那么上述线性方程组可记成那么上述线性方程组可记成于是于是四四 矩阵的转置矩阵的转置 定义定义 5 将矩阵将矩阵 A 的各行变成同序数的列得到的矩阵称为的各行变成同序数的列得到的矩阵称为 A 矩阵的转置满足下述运算规律矩阵的转置满足下述运算规律记为记为 AT.的转置矩阵的转置矩阵, 解一解一 因为因为所以所以 解二解二  矩阵矩阵 A 称为对称矩阵，称为对称矩阵， 容易知道容易知道, A = ( aij )n×n是对称矩阵的充要条件是是对称矩阵的充要条件是 例例 13　如果　如果 A 是一个是一个 n 阶矩阵，那么，阶矩阵，那么，A+AＴＴ是对称矩阵．是对称矩阵．i , j = 1,2 , ……,n. 矩阵矩阵 A 称为反对称矩阵，称为反对称矩阵，如果如果 AT = A .如果如果 AT = − A . 矩阵矩阵 A = ( aij )n×n是反对称矩阵的充要条件是是反对称矩阵的充要条件是 aij = − aji , 证证 因为因为A − AＴＴ是反对称矩阵．是反对称矩阵．所以所以A+AＴＴ是对称矩阵．是对称矩阵． aij = aji , i , j = 1,2 , ……, n. 因为因为所以所以A − AＴＴ是反对称矩阵．是反对称矩阵． 例例 14 设设 A 为为 m×n 矩阵矩阵, 证证 由矩阵的乘法可知由矩阵的乘法可知 AAＴＴ是是 m 阶的阶的.所以所以 AAＴＴ是对称矩阵是对称矩阵. 1.证明证明 H 为对称矩阵为对称矩阵. 1. 证证 因为因为所以所以H 为对称矩阵为对称矩阵. 因为因为2.计算计算 H2 .=E.方阵的行列式运算满足下述规律方阵的行列式运算满足下述规律 ，， 例例 16 设设 A 是是 n 阶矩阵，阶矩阵， 称为矩阵称为矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵. 式式 Aij 所构成的矩阵所构成的矩阵 五五 方阵的行列式方阵的行列式 定义定义6 由由 n 阶矩阵阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）构成的行列式，的元素（按原来的位置）构成的行列式，称为方阵称为方阵 A 的行列式的行列式, 证明证明 由行列式由行列式 |A| 的各元素的代数余子的各元素的代数余子那么那么于是于是2. 设设 A 为为 3 阶矩阵阶矩阵, 那么那么于是于是 先就先就 3 阶矩阵给出证明阶矩阵给出证明.证证 设设于是有于是有因此因此同理可证，同理可证，= 0= 0= 0 证证 设设 A = ( a i j )n×n , 也就是也就是于是有于是有因此因此同理可证，同理可证，§3 逆矩阵逆矩阵 定义定义 7 设设 A 是是 n 阶矩阵，如果有阶矩阵，如果有 n 阶矩阵阶矩阵 B ，使，使 如果矩阵如果矩阵 A 是可逆的，则是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的，记其为的逆矩阵是唯一的，记其为 A-1. 定理定理 1 若矩阵若矩阵 A 是可逆的，是可逆的， 证证 因为因为 A 可逆，可逆， 定理定理 2 若若 |A|≠0，， 则则 A 可逆可逆, 且且则称则称 A 是可逆矩阵，是可逆矩阵，且称且称 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵. AB = BA = E 即有即有 A-1 使使 A A-1= E . 所以所以 |A|≠0 .则则 |A|≠0 . 证证 由由§2的的 例例 16 可知可知根据逆矩阵的定义，即有根据逆矩阵的定义，即有所以有所以有因为因为 |A|≠0 ，， 设设 A 是是 n 阶矩阵，如果阶矩阵，如果|A|≠0 , 那么那么A称为非奇异矩阵称为非奇异矩阵. A 是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0 ．． A 是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的．为非奇异的． 例例1 判断下列矩阵判断下列矩阵是否为可逆矩阵？是否为可逆矩阵？ 推论推论 设设 A, B 都为都为 n 阶矩阵阶矩阵 , 于是于是则则 A 为可逆矩阵，为可逆矩阵，若若 AB = E（或（或 B A = E），），所以所以 |A|≠0 ，， 解解 因为因为所以所以A 为可逆矩阵，为可逆矩阵，B是不可逆矩阵．是不可逆矩阵． 证证 因为因为|A||B|=|AB|=|E|=1, 例例2 因为因为所以所以方阵的逆矩阵满足下述运算规律：方阵的逆矩阵满足下述运算规律：因为因为因为因为3.设设A ,B 为同阶可逆矩阵为同阶可逆矩阵,则则 AB 也可逆，且也可逆，且3.设设A ,B 为同阶可逆矩阵为同阶可逆矩阵, 例例 3 求矩阵求矩阵的逆矩阵的逆矩阵. 解解 由由知知 A 的逆矩阵的逆矩阵 A-1 存在存在.4.设设A 为可逆矩阵为可逆矩阵,因为因为再由再由得得 例例 4 已知已知求矩阵求矩阵 X 满足满足 AX = C . 解解 由例由例3 知知 A-1存在，于是存在，于是得得 X = A-1C ，即，即 §4 矩阵的分块法矩阵的分块法子块子块 用分块法计算矩阵用分块法计算矩阵 A 与与 B的乘积的乘积 , 左矩阵左矩阵 A 的列的分法与右的列的分法与右 解解 把把 A，，B 分块成分块成其运算规则与普通矩阵的运算规则类似其运算规则与普通矩阵的运算规则类似.矩阵矩阵 B 的行的分法一致的行的分法一致. 分块矩阵分块矩阵 分块法计算矩阵分块法计算矩阵 的乘积的乘积 则则其中其中而而所以所以分块矩阵的转置分块矩阵的转置设分块矩阵设分块矩阵那么那么分块矩阵分块矩阵其中其中 Ai 都是方阵，都是方阵，则则A是可逆矩阵，并有是可逆矩阵，并有称为分块对角矩阵．称为分块对角矩阵．解解 用分块法用分块法.令令可得可得 例例3 设设B 为为n 阶矩阵，若把按阶矩阵，若把按 B 列分块为列分块为则则于是于是若若 A 也是也是 n 阶矩阵阶矩阵,便有便有AB = 第三章第三章 矩阵的初等变换与矩阵的初等变换与 用消元法解线性方程组，用消元法解线性方程组， §1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换1. 互换两个方程；互换两个方程；2. 以非零数乘某个方程；以非零数乘某个方程； 3. 一个方程的倍数加到另一个方程一个方程的倍数加到另一个方程. 例例 1 解线性方程组解线性方程组①←→② , ×③ 对方程组用到三种变换：对方程组用到三种变换： 线性方程组线性方程组② − 2①, ×②，③+5②③ − 2① 定义定义 1 下述三种变换称为矩阵的初等行变换下述三种变换称为矩阵的初等行变换: 1.对调两行对调两行; 2.以以非零数非零数乘某行的所有元素乘某行的所有元素; 3.把矩阵某行的所有元素的把矩阵某行的所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上去倍加到另一行的对应元素上去. 初等列变换初等列变换.初等变换初等变换. 如果矩阵如果矩阵 A 经初等变换得到矩阵经初等变换得到矩阵 B , 下述形状的矩阵叫做下述形状的矩阵叫做行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵. 那么称矩阵那么称矩阵 A 与与 B 等价等价.记为记为 A～～B .B1 是矩阵是矩阵 A 经初等行变换得到的阶梯形矩阵经初等行变换得到的阶梯形矩阵. 例例 2 用用初等行变换把矩阵初等行变换把矩阵～～～～～～ 解解A变成行阶梯形矩阵变成行阶梯形矩阵.称称 B2 为为行最简形矩阵行最简形矩阵.～～再作初等行变换再作初等行变换 B1 又可以变为又可以变为 任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行最简形矩阵任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行最简形矩阵.对对B2 再作初等列变换又可得再作初等列变换又可得 任何任何 m×n 矩阵矩阵 A 都可经过初等变换化为形如都可经过初等变换化为形如的矩阵．的矩阵． 称矩阵称矩阵F 为为 A 的的标准形标准形. 例例 3 用初等行变换将矩阵用初等行变换将矩阵变成行最简形矩阵变成行最简形矩阵. 解解A～～～～～～～～§2 矩阵的秩矩阵的秩 定义定义 2 在在 m×n 矩阵矩阵 A 中任取中任取 k 个行与个行与 k 个列个列, 定义定义 3 如果矩阵如果矩阵 A 中有一个中有一个 k 阶子式阶子式 D ≠0，，零矩阵的秩规定为零矩阵的秩规定为 0 .数数 k 称称 解解 在在 A 中有一个中有一个 2 阶子式阶子式且且 A 的所有的的所有的 所以所以 R(A) = 2.3 阶子式都等于零，阶子式都等于零， 称为矩阵称为矩阵 A 的一个的一个 位于这位于这且且所有的所有的 k+1 则称则称 D 为为 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式. 阶子式都等于阶子式都等于 0 , 为矩阵为矩阵 A 的秩的秩，矩阵，矩阵 A 的秩记成的秩记成 R(A).些行与列交叉处的元素而得的些行与列交叉处的元素而得的 k 阶行列式阶行列式, k 阶子式阶子式. 据定义据定义3可知，可知， 解解 在在 A 中有一个中有一个 3 阶子式阶子式 且且 A 中所有的中所有的 4 阶子式都等零，阶子式都等零，所以所以 R(A) = 3 . 行阶梯形矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩 = 其非零行的行数其非零行的行数.Dr 相应的一个相应的一个 r 阶子式阶子式 Mr ,因而因而 若把矩阵若把矩阵 A 的第的第 i 行乘数行乘数 k≠0 得矩阵得矩阵B，，且且 Mr = Dr , 或或 Mr = − Dr , 那么那么 B 中存在一个中存在一个且且 Mr= Dr 或或 Mr= k Dr .与与Dr 相应的一个相应的一个 r 阶子式阶子式 Mr , 设设 R(A)= r ，且，且 A 的某个的某个 r 阶子式阶子式 Dr≠ 0 . 当当 A 对调第对调第 i 行行,第第 j 行得矩阵行得矩阵 B 时时. 在矩阵在矩阵 B 中存在一个与中存在一个与定理定理 1 若若A～～B ，则，则 R(A)= R(B). 证明证明 先证明先证明,如果矩阵如果矩阵 A 经一次初等行变换得矩阵经一次初等行变换得矩阵B，，那么那么 R(A) ≤ R(B). 我们也可以证明，如果把矩阵我们也可以证明，如果把矩阵 A 的第的第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行行得到矩阵得到矩阵 B , 那么矩阵那么矩阵 B 中必有一个中必有一个 r 阶子式阶子式 Mr≠ 0 .因而因而因而因而 这样，我们就证明了，这样，我们就证明了， 如果矩阵如果矩阵 A 经一次初等行变换得矩阵经一次初等行变换得矩阵 B , 则有则有 R(B)= R(A). 由矩阵经一次初等行变换秩不变，由矩阵经一次初等行变换秩不变，类似的可以证明，经有限次初等列变换类似的可以证明，经有限次初等列变换总之，若总之，若A～～B ，则，则 R(A)= R(B).则则 R(A) ≤ R(B)成立成立.所以也应有所以也应有 R(B) ≤ R(A). 若矩阵若矩阵 A 经一次初等行变换得矩经一次初等行变换得矩B，，那么矩阵那么矩阵B 也可以也可以 这样，我们就证明了，若矩阵这样，我们就证明了，若矩阵 A 经一次初等行变换得矩阵经一次初等行变换得矩阵 B , 变换矩阵的秩也不变变换矩阵的秩也不变.经一次初等行变换得矩阵经一次初等行变换得矩阵A , 即可知经有限次初等行即可知经有限次初等行矩阵的秩也不变矩阵的秩也不变. 例例3 求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩 求矩阵求矩阵 A 的秩的秩1. 根据矩阵秩的定义根据矩阵秩的定义.2. 根据定理根据定理 1. 用初等变换把矩阵用初等变换把矩阵 A 化成行阶梯形矩阵，化成行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩 = 其非零行的行数（定义其非零行的行数（定义3））. 解解 用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.Ar1←→r2～～r2 - 2r1r2←→r3～～r3 + 4r2因此，因此，R(A) = 3. 矩阵矩阵A 的秩的秩 = 此行阶梯形矩阵的秩（据定理此行阶梯形矩阵的秩（据定理1 ）．）． 例例4 求下述矩阵的秩求下述矩阵的秩 解解 用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.Ar1←→r3r2 - 2r1r3 - 2r1～～～～因此，因此，R(A) = 2. 线性方程组线性方程组称为称为 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组.A称为方程组的系数矩阵．称为方程组的系数矩阵． 于是，这个齐次方程组可以记为于是，这个齐次方程组可以记为§3 线性方程组的解线性方程组的解记记 定理定理 2 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要有非零解的充分必要 证证 必要性必要性 设方程组设方程组 Ax = 0 有非零解有非零解.假设假设 R(A) = n ，，根据根据 Cramer 法则，法则，D 所对应的所对应的 n 个方程构成的齐次线性方程组个方程构成的齐次线性方程组 从而原方程组从而原方程组 Ax = 0也只有零解，也只有零解，矛盾矛盾. 充分性充分性 设设 R(A) = r ＜＜ n ,那么那么 A1 只含只含 r 个非零行，个非零行， 用反证法来证明用反证法来证明条件条件是是系数矩阵系数矩阵A 的秩的秩 R(A) < n .R(A)< n . 故故 R(A) < n . 对对 A 施行初等行变换得到行阶梯形施行初等行变换得到行阶梯形矩阵矩阵 A1 .那么在那么在 A 中应有一个中应有一个 n 阶子式阶子式 |D|≠0.只有零解，只有零解，不妨设为不妨设为于是齐次线性方程组于是齐次线性方程组 Ax = 0 与与这个方程组有这个方程组有 n - r > 0 个自由未知量个自由未知量, 也有非零解也有非零解.同解同解. 把它改写成把它改写成 因此有非零解因此有非零解. 故故 Ax = 0 例例 1 3 元齐次线性方程组元齐次线性方程组是否有非零解？是否有非零解？ 解解 由由r2 - r1 r3 - 3r1 r4 - r1r3 - r2 r4 - 2r2因为因为R(A)=2＜＜3所以此齐次线性方程组有非所以此齐次线性方程组有非可知可知R(A)=2.～～～～零解零解. 解解 用初等行变换化系数矩阵用初等行变换化系数矩阵可知，可知， 有非零解有非零解.R(A) = 2 < 3.性方程组有非零解性方程组有非零解.～～～～ n 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组A称为非齐次线性方程组的系数矩阵称为非齐次线性方程组的系数矩阵, B 称为增广矩阵称为增广矩阵.记记于是，于是，Ax = b这个非齐次方程组可以记为这个非齐次方程组可以记为其中其中 定理定理 3 n 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条有解的充分必要条 证明证明 必要性必要性 则则 B可化成可化成 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵件是件是 R(A) = R(B) ,假设假设R(A) < R(B) ，， 其中其中 B = ( A b ) 为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组 用反证法用反证法,设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组 Ax = b 有解，有解， 要证要证R(A) = R(B) .Ax = b 的增广矩阵的增广矩阵. 于是得到与原方程组于是得到与原方程组 Ax = b 同解的方程组：同解的方程组：因为它含有矛盾方程因为它含有矛盾方程 0 = 1，所以这个方程组无解，，所以这个方程组无解， 这与原方这与原方程程 充分性充分性 设设 R(A) = R(B) = r .则则 B1中含中含 r 个非零行个非零行 .用初等行变换化增广矩阵用初等行变换化增广矩阵 B 为为组有解矛盾组有解矛盾. 故故 R(A) = R(B) . 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 B1 ，， 不妨设不妨设B1 为为B1 对应的方程组为对应的方程组为这个方程组有解这个方程组有解. 它与原方程组它与原方程组 Ax = b 同解，同解， 所以非齐次线性所以非齐次线性方程组方程组 Ax = b 有解有解. 由上述证明还可以知道，由上述证明还可以知道， n 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组 Ax = b 有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(B) = n .  例例 3 判断下列非齐次线性方程组是否有解判断下列非齐次线性方程组是否有解解解 用初等行变换化其增广矩阵用初等行变换化其增广矩阵～～～～由此可知，由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4，， 即即 R(A) ≠ R(B) ，，因此方程组因此方程组 例例 4 a , b 取何值时，非齐次线性方程组取何值时，非齐次线性方程组（（1）有唯一解；（）有唯一解；（2）无解；（）无解；（3）有无穷多个解？）有无穷多个解？无解无解. 解解 用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，～～ （（1）当）当 a≠ −1 时，时，R(A) = R(B) = 4 ,（（2）当）当 a = −1 ，，b ≠ 0 时，时，R(A) = 2 , 而而R (B) = 3,（（3）当）当 a = −1 ，，b = 0 时，时，R(A) = R(B) = 2,由此可知：由此可知：～～方程组有唯一解；方程组有唯一解；方程组无解；方程组无解；方程组有无穷多个解方程组有无穷多个解.§4 初等矩阵初等矩阵 定义定义4 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵有三种：初等矩阵有三种：E～～EE～～～～ 例例1 矩阵矩阵且有且有都是初等矩阵，都是初等矩阵，所以所以由于由于也都是初等矩阵，也都是初等矩阵，所以所以初等矩阵是可逆矩阵，初等矩阵是可逆矩阵， 且其逆矩阵是同类型的初等矩阵且其逆矩阵是同类型的初等矩阵.一般的有一般的有= E.因此，因此，由于由于= E.因此，因此，由于由于= E.因此，因此，由于由于 定理定理4 对矩阵对矩阵 A 施行一次初等行（列）变换相当于以相应施行一次初等行（列）变换相当于以相应 证明证明 设设 A 是是 m×n 矩阵矩阵,记记其中其中a1 , … , ai , … , aj ,… , am 分别是分别是 A 的第的第 1, … , i , … , j , …, m 行行.用初等矩阵用初等矩阵 E( i , j ) 左乘矩阵左乘矩阵 A ,得得的初等矩阵左（右）乘的初等矩阵左（右）乘 A.同样可以得到，定理对其它两种初等行变换也成立同样可以得到，定理对其它两种初等行变换也成立.类似的，可以得到初等列变换的情形类似的，可以得到初等列变换的情形. 例例 2 例例 3 定理定理5 设设 A 为为 n 阶矩阵阶矩阵, 则则 A 是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是 证明证明 必要性必要性 设设 A 为可逆矩阵为可逆矩阵. A = P1 …… Pi E Pi+1…… Pk即即 A = P1P2 …… Pk . 充分性充分性 因为初等矩阵是可逆矩阵，可逆矩阵的乘积也是可因为初等矩阵是可逆矩阵，可逆矩阵的乘积也是可 推论推论 矩阵矩阵 A ～～ B ( A 与与 B 等价）的充要条件是存在可逆矩等价）的充要条件是存在可逆矩 用初等变换求矩阵的逆矩阵用初等变换求矩阵的逆矩阵 设设 A 为可逆矩阵为可逆矩阵, 据定理据定理5，有初等矩阵，有初等矩阵 P1 , P2 , … , Pk , 使使 存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , … , Pk ，使，使 A = P1P2 … Pk .也就是存在初等矩阵也就是存在初等矩阵 P1, P2 , … , Pk ,使使 所以所以,当当P1 , P2 , … , Pk 为初等矩阵为初等矩阵, A = P1P2 … Pk 时时 ，， 因为因为 A ～～ E , 所以所以 E 经有经有限次初等变换可以化为限次初等变换可以化为 A，， 逆矩阵逆矩阵.A 是可逆矩阵是可逆矩阵.矩阵矩阵 P 和和 Q 使使 PAQ = B .还有还有所以所以由（由（1）和（）和（2）式，根据定理）式，根据定理4可知，可逆矩阵可知，可逆矩阵 A 经一些初等经一些初等 E 经同样一些初等行变换可变为经同样一些初等行变换可变为 A-1.初等行变换初等行变换～～ A = P1P2 … Pk .于是有于是有行变换可化为行变换可化为 E ,～～～～～～ 解解所以所以 ～～～～～～～～所以所以 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 §1 n 维向量维向量 定义定义 1 由由 n 个数个数 a1 , a2 , …… , an 组成的有序数组，组成的有序数组，叫做叫做 n 维向量维向量, 实向量实向量 向量的加法，向量的加法， 列向量，列向量，称称 ai 为向量为向量 a 的第的第 i 个分量个分量.行向量行向量.数乘数乘.记成记成§2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组向量组 如果如果 A = ( aij )是是 m×n 矩阵，矩阵，称为称为 矩阵矩阵 A 的列向量组的列向量组.m×n 矩阵矩阵 A = ( aij ) 又有又有 m 个个 n 维行向量维行向量:称为矩阵称为矩阵 A 的行向量组的行向量组.另一方面，由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵另一方面，由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵.例如，由向量组（例如，由向量组（*）可以构成）可以构成 m×n 矩阵矩阵那么那么 A 有有 n 个个 m 维列向量维列向量:A = ( a1 , a2 ,……, an ) 定义定义 2 设向量组设向量组 A: a1 , a2 ,……, am , 任取一组实数任取一组实数称向量称向量是向量组是向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合. 给定向量组给定向量组 A: a1 , a2 ,……, am 和向量和向量 b , 使使则称向量则称向量 b 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示.因为因为b = 2a1 – a2 ，， 所以所以 若存在一组数若存在一组数也就也就是说非齐次线性方程组是说非齐次线性方程组无解无解.就是说非齐次线性方程组就是说非齐次线性方程组有解有解. 一般地，一般地， 向量向量 b 能由向量组能由向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性表示的线性表示的充分必要条件是充分必要条件是非齐次线性方程组非齐次线性方程组有解有解. 据第据第 3 章定理章定理 3，，所以有所以有 定理定理 1 向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是 R(A) = R(B) , 其中矩阵其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ), B = ( a1 , a2 ,……, am ,b ) .～解解 因为因为 由此可知，由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4，， 定义定义3 设有向量组设有向量组 A: a1 , a2 ,……, am 和向量组和向量组 B: b1 , b2 ,若向量组若向量组 A 与向量组与向量组 因此向量因此向量 b 即即 R(A) ≠ R(B) ，，那么称向量组那么称向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示. 如果组如果组 B 的每个向量都能由向量组的每个向量都能由向量组 A 线性表示，线性表示， 则称这两个则称这两个向量组等价向量组等价. 不能由向量组不能由向量组 A 线性表示线性表示.……, bs ，，B 能互相线性表示，能互相线性表示，等价．等价． 定义定义4 设有向量组设有向量组 A: a1 , a2 ,…, am ,则称向量组则称向量组 A 是是线性相关线性相关的的.否则，称它是线性无关的否则，称它是线性无关的.才能使才能使（＊）式成立，（＊）式成立，也就也就是，是，则称向量组则称向量组 A 是是线性无关线性无关的的.如果存在如果存在不全为零的数不全为零的数因为有因为有 向量组向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性相关的充分必要条件是齐次线线性相关的充分必要条件是齐次线 有非零解有非零解. 定理定理 2 向量组向量组 a1 , a2 ,…… , am 线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是矩阵矩阵 A 的秩的秩 R (A) < m . 其中矩阵其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ).所以向量组所以向量组 E 线性无关线性无关.因为只有当因为只有当性方程组性方程组  例例 7 向量组向量组向量组向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的是线性无关的.因为矩阵因为矩阵 A = ( a1 , a2 , a3 ) 的行列式的行列式 |A| ≠ 0, 例例 8 讨论向量组讨论向量组 的线性相关性的线性相关性.解解 先求矩阵（先求矩阵（a1 , a2 , a3 ) 的秩的秩. 由由～所以所以 R (A ) = 3 . 由定理由定理 2知，知，知知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 < 3,所以向量组所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关线性相关. 解解 由由～～的线性相关性的线性相关性. 例例 10 已知向量组已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，线性无关， 证证 设有一组数设有一组数 x1 , x2 , x3 使使 x1(a1 + a2 ) + x2(a2 + a3 ) + x3 (a3 + a1 ) = 0 ⑴⑴可知可知 R ( a1, a2, a3, a4 ) = 3, 同时同时,由由可见可见 R ( a1, a2, a4 ) = 3, 因此，向量组因此，向量组 a1 , a2 , a4 线性无关线性无关.～所以向量组所以向量组 a1 , a2 , a3 , a4 线性相关线性相关. a1 + a2 ，， a2 + a3 ，， a3 + a1 证明向量组证明向量组也线性无关也线性无关.因为向量组因为向量组 a1 , a2 , a3 线性无关线性无关 , ( x1 +x3 ) a1 + ( x1+x2 ) a2+ ( x2+x3 ) a3 = 0所以有所以有由于此齐次线性方程组的系数行列式由于此齐次线性方程组的系数行列式故只有零解故只有零解 x1 = 0，， x2 = 0，，x3 = 0，， 所以向量组所以向量组 a1 + a2 ，，a2 + a3 ，，a3 + a1 也就是也就是线性无关线性无关.于是就有于是就有即即 a1 能由能由 a2 ,……, am 线性表示线性表示. 如果向量组如果向量组 A 中有一个向量能由其余向量线性表示中有一个向量能由其余向量线性表示 . 证明证明 如果向量组如果向量组 A: a1 , a2 ,……, am ( m≥2 ) 线性相关，线性相关， 例例 11 向量组向量组 A: a1 , a2 ,……, am ( m≥2 ) 线性相关的充分线性相关的充分设设am 能由能由a1 , a2 ,……, am –1 线性表示线性表示:于是于是所以向量组所以向量组 A 线性相关线性相关.则有不全为零的数则有不全为零的数不妨不妨必要条件是向量组必要条件是向量组 A 中至少有一个向量能由其余向量线性表示中至少有一个向量能由其余向量线性表示. 定理定理 3 ⑴⑴ 若向量组若向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性相关线性相关,组组 B: a1 , a2 ,…… , am , am+1 也线性相关也线性相关.⑵⑵ 若向量组若向量组 A: 线性无关，线性无关，也线性无关也线性无关.则向量组则向量组 B: 则向量则向量⑶⑶ n +1 个个 n 维向量必线性相关维向量必线性相关.⑷⑷ 如果向量组如果向量组 A : a1 , a2 ,……, am 线性无关，线性无关，a1 , a2 ,……, am , b 线性相关线性相关, 那么向量那么向量 b 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示.且表法唯一且表法唯一. 证证 ⑴⑴ 记矩阵记矩阵A = ( a1 , a2 ,……, am ), B = ( a1 , a2 ,……, am , a m+1 )于是于是R(B ) ≤R(A)+1. 若向量组若向量组 A : a1 , a2 ,……, am 线性相关线性相关,有有R (A) < m ，，再由定理再由定理 2 向量组向量组 B 也线性相关也线性相关. ⑵⑵ 记矩阵记矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ), B = ( b1 ,b2 ,……,bm ), 这里这里 A 若向量组若向量组 A 线性线性 无关，无关， 则则R (A) = m ，， 于是于是 R (B ) = m，， 因此向量因此向量 ⑶⑶ 设设 a1 , a2 ,……, an+1 都是都是 n 维列向量维列向量,则有则有 R(A) ≤ n＜＜ n+1, 故故 n +1 个个 n 维向量维向量 a1 , a2 ,……, an+1 据定理据定理2,就可知，就可知，所以所以 R( B ) ≤R(A)+1 ＜＜m+1,而向量组而向量组 B: An×(n+1) = ( a1 ,……, an , a n+1 )记矩阵记矩阵组组 B 也线性无关也线性无关.为为 n×m 矩阵矩阵, B 为为 (n+1)×m 矩阵矩阵, 有有R(A) ≤R(B ) ≤ m. ⑷⑷ 记矩阵记矩阵A = ( a1 , a2 ,……, am ) 和和B = ( a1 , a2 ,……, am ,b )，，有有R(A) ≤R(B) . 因为向量组因为向量组A 线性无关，而向量组线性无关，而向量组B 线性相关，线性相关，所以所以 R (A) = m ，，R (B ) ＜＜ m +1 ，，因此因此 R (B ) = m .由由 R(A)=R(B)=m , 据定理据定理 1可知，可知， 向量向量 b 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示.根据第根据第 3 章定理章定理 3 后面的结果可以得到，后面的结果可以得到， 向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 必线性相关必线性相关. 线性表示式是唯一的线性表示式是唯一的.知知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2,所以向量组所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关线性相关.根据定根据定理理 3(1)可知，可知， 向量组向量组 a1 , a2 , a3 , a4 也线性相关也线性相关.例例13 讨论向量组讨论向量组 a1 , a2 , a3 线性相关性线性相关性 ,其中其中 解解 因为向量组因为向量组线性无关，线性无关，根据定理根据定理 3(2),所以所以～～解解 因为因为向量组向量组 a1 , a2 , a3 线性无关线性无关.例例 14 已知向量组已知向量组线性无关，线性无关， 由定理由定理 3(3)可知向量组可知向量组线性相关，线性相关，根据定理根据定理 3(4)可得可得,能由向量组能由向量组线性表示，线性表示， 且表法唯一．且表法唯一．§3 向量组的秩向量组的秩 定义定义5 如果在向量组如果在向量组 A 中有中有 r 个向量个向量 a1 , a2 ,……, ar 满足条件：满足条件： ⑴⑴ 向量向量 组组 a1 , a2 ,……, ar 线性无关，线性无关， ⑵⑵ 向量组向量组 A 中任意中任意 r +1 个向量都线性相关个向量都线性相关.那么称向量组那么称向量组 a1 , a2 ,……, ar 是向量组是向量组 A 的一个最大线性无关向的一个最大线性无关向r 称为向量组称为向量组 A 的秩的秩. 一般来说，向量组的最大无关组不是唯一的一般来说，向量组的最大无关组不是唯一的.简称为简称为最大无关组最大无关组. 量组，量组， 定理定理4 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，矩阵的秩等于它的列向量组的秩， 证证 设矩阵设矩阵A n×m = ( a1 , a2 ,……, am ), Dr 所在的所在的 r 个列向量线性无关个列向量线性无关.再由定理再由定理 2 知，知， A 中的任中的任又由于又由于A 中所有的中所有的 r +1 阶子式都为阶子式都为0，，所以所以 A的列向量组的秩等于的列向量组的秩等于 r .因此因此, Dr 所在的所在的 r 列是列是 A 的列向量的列向量 类似的可证类似的可证, 矩阵矩阵 A 的行向量组的秩也等于矩阵的行向量组的秩也等于矩阵 A 的秩的秩R(A) . 如果向量组的秩是如果向量组的秩是 r , 易知，向量组与它的最大无关组是等价的易知，向量组与它的最大无关组是等价的. 那么此向量组的任意那么此向量组的任意 r 个线性无关的个线性无关的也等于它的行量也等于它的行量并设并设 r 阶阶 据定理据定理 2可知，可知， 子式子式 Dr≠ 0 . 且且 R(A) = r, 向量都可以是它的一个最大无关组向量都可以是它的一个最大无关组.组的秩组的秩.意意 r +1个列向量都线性相关个列向量都线性相关.组的一个最大无关组组的一个最大无关组 .都是向量组都是向量组 A 的最大无关组的最大无关组. 例例 2 求下列向量组的秩和它的一个最大无关组：求下列向量组的秩和它的一个最大无关组： 解解 组成矩阵组成矩阵 A = ( a1 , a2 , a3 , a4 ) , 知知 R(A) = 3，， 所以，向量组所以，向量组 a1 , a2 , a3 , a4 的秩等于的秩等于3 . 因为，向量组因为，向量组 a1 , a2 , a4 构成的矩阵经初等行变换可以变成构成的矩阵经初等行变换可以变成A ～～用初等行变换把用初等行变换把 A 变成变成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵.因此向量组因此向量组 a1 , a2 , a4 线性无关线性无关.于是于是 a1 , a2 , a4 是向量组是向量组 a1 , a2 , a3 , a4 的一个最大无关组的一个最大无关组.～～所以所以,向量组向量组 a1 , a2 , a4 的秩为的秩为 3，， 定理定理 5 如果向量组如果向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，线性表示， 那么向量那么向量 组组B 的秩不大于向量组的秩不大于向量组 A 的秩的秩. 证证 设向量组设向量组 A 的一个最大无关组为的一个最大无关组为 A0 : a1 , a2 ,…… , as ,向量组向量组 B 的一个最大无关组为的一个最大无关组为 B0 : b1 , b2 , ……, br . 要证要证 r ≤ s . 因为向量组因为向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，线性表示， 所以向量组所以向量组 B0 能由能由于是于是 有有s×r 矩阵矩阵 K = ( kij ) 使使假设假设 r > s, 看齐次线性方程组看齐次线性方程组向量组向量组 A0 线性表示线性表示.它的系数矩阵的秩它的系数矩阵的秩R(K) ≤ s < r , 所以有非零解所以有非零解.任取其一个任取其一个就有就有这与向量组这与向量组 B0 线性无关矛盾，线性无关矛盾， 推论推论 1 等价的向量组秩相等等价的向量组秩相等. 推论推论 2 设设 A 是是 m×n 矩阵矩阵, B 为为 n×s 矩阵，则矩阵，则R( AB ) ≤R( A ), 推论推论 3 设向量组设向量组 A0 是向量组是向量组 A 的部分组的部分组, 若向量组若向量组 A0 线性线性 因此因此 r ≤ s . R( AB ) ≤R( B ).无关无关, 且向量组且向量组 A 能由向量组能由向量组 A0 线性表示线性表示,则向量组则向量组A0 是向量是向量组组A 的一个最大无关组的一个最大无关组.例例 3 向量组向量组A :的秩相等，都为的秩相等，都为 2. 但向量组但向量组 A 与与 B 不等价不等价. 秩相等的向量组未必等价．秩相等的向量组未必等价．§4 向量空间向量空间 定义定义6 设设 V 是是 n 维向量的集合，维向量的集合，那么称集合那么称集合V为向量为向量 例例1 3 维向量的全体维向量的全体 R3 是一个向量空间是一个向量空间, 由单个零向量组成由单个零向量组成 例例 2 集合集合是一个向量空间是一个向量空间. 例例 3 集合集合不是向量空间不是向量空间. 定义定义 7 设有向量空间设有向量空间 U 及及 V, 就称就称 U 是是 V 的子空间的子空间. 定义定义 8 设设 V 为向量空间，如果为向量空间，如果 r 个向量个向量且满足且满足 如果集合如果集合V 非空，非空，且对任意且对任意的集合也是一个向量空间的集合也是一个向量空间.空间空间. ⑵⑵ V 中任意向量都可由中任意向量都可由 a1 , a2 ,……, ar 线性表示线性表示.那么，向量组那么，向量组 a1 , a2 ,……, ar 就称为就称为 V 的一个基，的一个基，空间空间V 的维数，的维数， 例例1 中中R3 的维数为的维数为 3 ，，因为，因为，是是 R3 的一个基的一个基. 例例2 中中V 的维数为的维数为 n - 1, 因为因为是它的一个基是它的一个基. 事实上，事实上，r 维向量空间中的维向量空间中的 r 个线性无关的向量就可以组成个线性无关的向量就可以组成 如果向量如果向量 a1 , a2 ,……, ar 是向量空间是向量空间 V 的一个基的一个基, 则则 称称 r 为向量为向量 并说并说V 是是 r 维向量空间维向量空间. 它的一个基它的一个基. ⑴⑴ a1 , a2 ,……, ar 线性无关；线性无关； §5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 设有设有 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 ⑴⑴若若 x1 = c1 , x2 = c2 , ……, xn = cn 是是 ⑴⑴ 的解，记的解，记称为方程组称为方程组 ⑴⑴ 的解向量的解向量. 齐次方程组的解的性质齐次方程组的解的性质 性质性质 1 性质性质 2  齐次方程组齐次方程组 ⑴⑴ 的解空间的解空间 U 的一个基也称为齐次方程组的一个基也称为齐次方程组 ⑴⑴ 的的 具体说，具体说， 是是⑴⑴ 的一组解向量，的一组解向量，且满足且满足[2] 齐次方程组齐次方程组 ⑴⑴ 的每个解都可由的每个解都可由 那么称那么称为齐次方程组为齐次方程组 ⑴⑴ 的一个的一个基础解系基础解系. 如果如果 是齐次方程组是齐次方程组 ⑴⑴ 的一个基础解系，的一个基础解系，那么那么⑴⑴的所有解都可表为的所有解都可表为 其中其中 k1, k2 ,……,ks 为任意实数为任意实数,称上式为称上式为齐次方程组齐次方程组 ⑴⑴ 的通解的通解. 定理定理 6 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 ⑴⑴的解空间的维数为的解空间的维数为 n - r ，， 即即 ⑴⑴ 的基础解系含的基础解系含 n - r 个解，个解，其中其中R(A) = r. 如果如果 ⑴⑴ 的全体解向量所组成的集合记为的全体解向量所组成的集合记为U , 则则 U 是一个向是一个向称为齐次方程组称为齐次方程组 ⑴⑴ 的解空间的解空间.量空间量空间.一个基础解系一个基础解系. 于是得到与于是得到与⑴⑴同解的方程组：同解的方程组：矩阵矩阵,不妨令为不妨令为 证证 设设R(A) = r , 用初等行变换化系数矩阵用初等行变换化系数矩阵 A 为行最简形为行最简形代入代入 ⑶⑶ 的右端依次可得：的右端依次可得：于是得到于是得到 ⑶⑶ 的的 解解: n – r 个个对自由未知量对自由未知量 xr+1 , xr+2 ,…, xn 分别取值分别取值下面证明解向量组下面证明解向量组是是 ⑶⑶ 的一个基础解系，的一个基础解系，首先，据定理首先，据定理 3⑵⑵可知，可知，证明证明⑶⑶的任意解都可由的任意解都可由从而它们也是从而它们也是 ⑴⑴ 的一个基础解系的一个基础解系.其次，其次，是是 ⑶⑶ 的一个解的一个解. 根据齐次方程组解的性质可知，向量根据齐次方程组解的性质可知，向量也是也是 ⑶⑶ 的一个解，的一个解，因此因此 这就证明了这就证明了, 所以，所以，⑴⑴ 的基础解系含的基础解系含 n - r 个解个解.方程组（方程组（1）的一个基础解系，）的一个基础解系， 从而也是齐次从而也是齐次  例例 1 求下列齐次线性方程组的基础解系与通解求下列齐次线性方程组的基础解系与通解. 解解 对系数矩阵对系数矩阵 A 作初等行变换作初等行变换,将其变为行最简形矩阵将其变为行最简形矩阵,得得于是得同解方程组于是得同解方程组～～ ～～ ～～即得基础解系：即得基础解系：并得方程组的通解并得方程组的通解是此齐次方程组的两个线性无关的解．是此齐次方程组的两个线性无关的解． 因为因为Ax = 0 的基础解系含有两个解，的基础解系含有两个解， 因此它的两个线性无关因此它的两个线性无关 证证 根据齐次方程组解的性质可知，根据齐次方程组解的性质可知，组组Ax = 0 的两个解．的两个解．也是这个方程组的一个基础解系也是这个方程组的一个基础解系,其中数其中数k ≠0 .也线性无关，也线性无关，所以向量组所以向量组 设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组Ax = b (4)（（4）的解也记为向量）的解也记为向量.性质性质 3 是对应的齐次方程组是对应的齐次方程组 Ax = 0 （（5）） 性质性质 4 也是（也是（4）的解）的解.非齐次线性方程组（非齐次线性方程组（4）的通解为）的通解为 k1 , k2 ,……, kn-r 是是任意实数任意实数.非齐次线性方程组的解具有性质非齐次线性方程组的解具有性质则（则（4）的任意一个解）的任意一个解由此及性质由此及性质4可知，可知，的解的解. 例例 3 求解方程组求解方程组 解解 用初等行变换把增广矩阵用初等行变换把增广矩阵 B 变为行最简形变为行最简形知知R(B) = R(A) = 2,所以方程组有解，所以方程组有解，～～～～并得同解方程组并得同解方程组 取取 x2= 0, x3= 0,即得方程组的一个解即得方程组的一个解对应的齐次方程组为对应的齐次方程组为可得基础解系可得基础解系方程组的通解为方程组的通解为也就是也就是写成写成 也可以把方程组也可以把方程组得通解为得通解为也就是也就是 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 §1 预备知识预备知识 向量的内积向量的内积 定义定义 1 设有设有 n 维向量维向量令令 [ x , y ] = x1 y1 + x2 y2 + …… + xn yn ,称称[ x , y ] 为向量为向量 x 与与 y 的的内积内积. 内积具有下列性质：内积具有下列性质： 1. [ x , y ] = [ y , x ] ; 3. [ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ] ; 4. [ x , x ] ≥0,其中其中 x，，y，，z 是为向量，是为向量， 易知易知, [ x , y ] = xTy .当且仅当时当且仅当时x = 0 时时 [ x , x ] = 0. 定义定义 2 非负实数非负实数称为称为 n 维向量维向量 x 的长的长. 向量的长具有性质：向量的长具有性质：长为长为 1 的向量称为单位向量的向量称为单位向量.若向量若向量 x ≠0 , 如果如果 [ x , y ] = 0 ，那么称向量，那么称向量 x 与与 y 正交正交.一组两两正交的非零向量一组两两正交的非零向量.正交向量组正交向量组: 那么它应满足那么它应满足～由由得得 规范正交向量组规范正交向量组: 定理定理 1 正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关. 证证 设向量组设向量组 a1 , a2 , …… , ar 是正交向量组是正交向量组, 类似的可证类似的可证于是向量组于是向量组 a1 , a2 , …… , ar 线性无关线性无关.但不为正交向量组但不为正交向量组. 向量组向量组 e1 , e2 , …… , er 为规范正交向量组，当且仅当为规范正交向量组，当且仅当 若有一组数若有一组数 由单位向量构成的正交向量组由单位向量构成的正交向量组. 设向量组设向量组 a1 , a2 ,……, ar 线性无关，则必有规范正交向量组线性无关，则必有规范正交向量组 正交化正交化：：单位化单位化：：于是，于是，e1 , e2 , ……, er 是规范正交向量组，是规范正交向量组，且与且与 a1 , a2 , ……, ar 等价等价.e1 , e2 , ……, er 与与 a1 , a2 , ……, ar 等价等价.e1 , e2 即为所求即为所求.取它的一个基础解系取它的一个基础解系再把再把b2 , b3正交化即为所求正交化即为所求a2 , a3 . 也就是取也就是取 定义定义 3 设设 n 维向量维向量 e1 , e2 , ……, er 是向量空间是向量空间 V 的一个基的一个基,如果向量组如果向量组 e1 , e2 , ……, er 为规范正交向量组，为规范正交向量组，则称则称 e1 , e2 , …... , 向量组向量组 a1 , a2 , a3 是所求正交向量组是所求正交向量组.er 是是 V 的一个规范正交基的一个规范正交基.所以对齐次方程组所以对齐次方程组 定义定义 4 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 那么称那么称 A 为正交矩阵为正交矩阵. n 阶矩阵阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向的列（行）向 设设n 阶矩阵阶矩阵 A = ( a1 , a2 , ……, an ) , 其中其中 a1 , a2 , ……, an 是是 或者说或者说, n 阶矩阵阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列的列 A为正交矩阵，即是为正交矩阵，即是 ATA = E ,都是正交矩阵都是正交矩阵. 例例 6（行）向量组构成向量空间（行）向量组构成向量空间 Rn 的一个的一个 规范正交基规范正交基.A的列向量组的列向量组. 量组是规范正交向量组量组是规范正交向量组.由此可见，由此可见， A 为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量的列（行）向量组是规范正交向量组组是规范正交向量组. 定义定义 5 若若 P 为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换 x = Py 称为正交变换称为正交变换. 线性变换的系数构成矩阵线性变换的系数构成矩阵 于是线性变换（＊）于是线性变换（＊）就可以记为就可以记为x = Py都为正交变换都为正交变换. 例例 7 若若 线性变换线性变换 x = Py 为正交变换，为正交变换，a , b 为任意两个向量为任意两个向量.那么那么这是因为这是因为特别的，特别的， §2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 定义定义6 设设 A 是是 n 阶矩阵，阶矩阵， 和和 n 维维非零非零列向量列向量 p非零向量非零向量 p 称为称为 A 的对于特征值的对于特征值称为称为方阵方阵 A 的特征多项式的特征多项式.称为称为n 阶矩阵阶矩阵 A 的特征方程的特征方程. (1)式也可写成式也可写成使得使得行列式行列式 求求 n 阶方阵阶方阵 A 的特征值与特征向量的方法：的特征值与特征向量的方法： 1 求出矩阵的求出矩阵的 A 特征多项式特征多项式,特征值特征值. 它的它的非零解非零解都是都是 例例1 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解 A 的特征多项式为的特征多项式为于是，于是，所以，所以，A 的特征值为的特征值为 得基础解系得基础解系解方程组解方程组(A - E)x = 0.由由 其中其中k为任意非零数为任意非零数.～得基础解系得基础解系 例例 2 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解 A 的特征多项式为的特征多项式为 其中其中k是任意非零数是任意非零数.～所以，所以，A 的特征值为的特征值为 解方程组解方程组(A - 3E)x = 0.由由得基础解系得基础解系的全部特征向量为的全部特征向量为 kp1 , 解方程组解方程组(A - E)x = 0. 由由 其中其中k为任意非零数为任意非零数.～得基础解系得基础解系的全部特征向量为的全部特征向量为 k p2 + l p3 , 其中数其中数 证证 对特征值的个数对特征值的个数 m 用数学归纳法用数学归纳法.由于特征向量是非零向量，由于特征向量是非零向量，所以，所以，m = 1 时定理成立时定理成立.量是线性无关的，量是线性无关的， 令令 p1 , p2 ,……, pm 依次依次 为为m 个不等的特征值个不等的特征值下面证明下面证明 p1 , p2 ,……, pm p1 , p2 ,……, pm ～k, l不同时为零不同时为零.依次是与之对应的特征向量依次是与之对应的特征向量, 那么那么 p1 , p2 ,……, pm 线性无关线性无关.假设假设 m −1 个不同的特征值的特征向个不同的特征值的特征向线性无关线性无关.设有一组数设有一组数 x1 , x2 , …… , xm 使得使得 x1 p1 + x2 p2 +……+ xm pm = 0 (1)成立成立.以矩阵以矩阵 A 左乘式左乘式 (1) 两端两端,得得（（3）式减（）式减（2）式得）式得根据归纳法假设，根据归纳法假设， p1 ,……, pm -1 线性无关，线性无关，所以所以 , x1 = 0 , ……. , xm –1= 0. 这时（这时（1）式变成，）式变成， xm pm = 0 . 因为因为 pm≠ 0，，所以只有所以只有xm = 0 .这就证明了这就证明了p1 , p2 ,……, pm 线性无关线性无关. 归纳法完成，定理得证归纳法完成，定理得证.于是于是 p1 , p2 依次是与之对应的依次是与之对应的 那么向量组那么向量组 p1 , p2 线性无关线性无关．．证证 设有一组数设有一组数 x1 , x2 使得使得 x1 p1 + x2 p2 = 0 (1)成立成立.以矩阵以矩阵 A 左乘式左乘式 (1) 两端两端,得得（（3）式减（）式减（2）式得）式得所以所以 x1 = 0 . 这样（这样（1）式变成，）式变成， x2 p2 = 0 .因为因为 p2≠ 0，，所以只有所以只有x2 = 0 . 这就证明了这就证明了p1 , p2 线性无关线性无关.特征向量，特征向量， 所以有向量所以有向量 p≠ 0 使，使，于是，于是，求上三角矩阵求上三角矩阵 练练 习习的特征值与特征向量的特征值与特征向量.的特征值．的特征值． §3 相似矩阵相似矩阵 定义定义 7 设设 A , B 都是都是 n 阶矩阵，阶矩阵，P -1AP = B ,则称则称矩阵矩阵 A 与与 B 相似，相似， 可逆矩阵可逆矩阵 P 称为把称为把 A 变成变成 B 的相似变换的相似变换 则则 A 与与 B 的特征多项式相同的特征多项式相同,从而从而 A 与与 B 的特征值也相同的特征值也相同. 证证 因为因为 A与与 B 相似，相似， 故故 定理定理 3 若若 n 阶矩阵阶矩阵 A与与 B 相似，相似， 所以有可逆矩阵所以有可逆矩阵 P，使，使 P -1AP = B , 若有可逆矩阵若有可逆矩阵P ，使，使证毕证毕.矩阵矩阵.相似，相似，由定理由定理 3 知，知， 定理定理 4 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是与对角矩阵相似的充分必要条件是: 定理定理4的证明的证明 如果可逆矩阵如果可逆矩阵 P, 使使 若记矩阵若记矩阵 也就是也就是n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. 推论推论 若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵与对角矩阵 推论推论 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A的特征值互不相等，的特征值互不相等， 则则A与对角矩阵相似与对角矩阵相似．A 有有P = ( p1，，p2 , ……, pn ) , A( p1 , p2 , ……, pn ) = ( p1 , p2 , ……, pn ) 即为即为 (A p1 , A p2 , …, A pn ) = 再由再由 P 是可逆矩阵便可知，是可逆矩阵便可知， 反之，如果反之，如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 p1 , p2 , … , 于是，应有数于是，应有数以向量组以向量组 p1 , p2 , ……, pn 构成矩阵构成矩阵 P = ( p1，，p2 , ……, pn ) , 则则P 矩阵，矩阵，即即 A与对角矩阵相似与对角矩阵相似.p1 ,p2 , ……, pn 就是就是 A 的的 n 个线性个线性 其中其中 p1 , p2 , ……, pn 是是 P 的列向量组的列向量组, 就有就有为可逆矩阵，为可逆矩阵，无关的特征向量无关的特征向量. pn , §2 例例1中的中的 3 阶矩阵阶矩阵 只有只有 2 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， §2 例例2中的矩阵中的矩阵是是 A 的特征值的特征值 3 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量, 所以它不可能与对角矩阵相似所以它不可能与对角矩阵相似.是是 A 的特征值的特征值 1 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量. P = ( p1 , p2 , p3 ) = 于是，于是， 3 阶矩阵阶矩阵A 恰有恰有 3 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 p1 , p2 , p3 ，，则则 P 为可逆矩阵，且为可逆矩阵，且P -1A P =所以它能与对角矩阵相似所以它能与对角矩阵相似.令令 例例 1 判断下列矩阵是否与对角矩阵相似，若是，求出相似判断下列矩阵是否与对角矩阵相似，若是，求出相似解解 A 的特征多项式为的特征多项式为因此因此 A 的特征值为的特征值为变换矩阵和对角矩阵．变换矩阵和对角矩阵．～～得基础解系得基础解系解方程组解方程组(A - E)x = 0.由由得基础解系得基础解系～～令令则则 可逆矩阵可逆矩阵 P 为所求相似变换矩阵为所求相似变换矩阵, 且且于是，于是，3 阶矩阵阶矩阵 A有有 3个个线性无关的特征向量，线性无关的特征向量，所以它能与对角所以它能与对角矩阵相似矩阵相似. 例例2 设设 2 阶矩阵阶矩阵 A 的特征值为的特征值为1, − 5, 与特征值对应的特征与特征值对应的特征求求 A . 解解 因为因为 2 阶矩阵阶矩阵 A 有有2个互异的特征值，个互异的特征值，取取应有应有所以所以 据定理据定理 4 的推论，的推论，A 能与对角矩阵相似能与对角矩阵相似.向量分别为向量分别为 例例3 社会调查表明，某地劳动力从业转移情况是：在从农社会调查表明，某地劳动力从业转移情况是：在从农 解解 到到2001年底该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳年底该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳 如果引入如果引入 2 阶矩阵阶矩阵表示每年非农从业表示每年非农从业人员中有人员中有1/20改为从农工作改为从农工作. 表示每年从农人员中有表示每年从农人员中有3/4改为从事非农工作改为从事非农工作. 于是有于是有业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势．业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势．员各占全部劳动力的员各占全部劳动力的1/5和和4/5，试预测到，试预测到2005年底该地劳动力从年底该地劳动力从人员中每年有人员中每年有3/4改为从事非农工作，在非农从业人员中每年有改为从事非农工作，在非农从业人员中每年有1/20改为从农工作改为从农工作. 到到2000年底该地从农工作和从事非农工作人年底该地从农工作和从事非农工作人动力的百分比分别为动力的百分比分别为 和和再引入再引入 2 维列向量维列向量,其分量依次为到某年底从农工作和从事非农其分量依次为到某年底从农工作和从事非农表示到表示到2000年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳如向量如向量那么，那么，2001年底该地从农工作和从事非农工作年底该地从农工作和从事非农工作于是，到于是，到2005年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比应为劳动力的百分比应为 k 年后该地劳动力的从业情况可由年后该地劳动力的从业情况可由矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式Ax工作人员各占全部劳动力的百分比．工作人员各占全部劳动力的百分比．动力的动力的1/5 和和4/5．．人员各占全部劳动力的百分比就可由下述运算得出人员各占全部劳动力的百分比就可由下述运算得出对应的特征向量，对应的特征向量，对应的特征向量，对应的特征向量，则则 P 为可逆矩阵，为可逆矩阵，所以所以矩阵相似矩阵相似.据定理据定理4的推论，的推论， A 能与对角能与对角且使得且使得 类似的，第类似的，第 k 年底该地劳动力的从业情况为年底该地劳动力的从业情况为按此规律发展，多年之后该地从农工作和从事非农工作人员占按此规律发展，多年之后该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比趋于全部劳动力的百分比趋于 例例 4 如果如果于是于是 A 与与 B 的特征多项式的特征多项式 相同，但相同，但 A 与与 B 不相似不相似.特征多项式相同的矩阵未必相似特征多项式相同的矩阵未必相似.即即 ，多年之后该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动，多年之后该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的力的6/100 和和 94/100.那么那么 §4 对称矩阵的相似矩阵对称矩阵的相似矩阵定理定理5 实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.p 为为 对应的特征向量对应的特征向量. 于是有于是有两式相减，两式相减，因为因为 p≠0, 则则 p1 与与 p2 正交正交.p1, p2 依次依次是它们对应的特征向量是它们对应的特征向量. 即即定理定理 6  定理定理 7 设设 A 为为 n 阶对称矩阵阶对称矩阵 , 线性无关的特征向量线性无关的特征向量.即即 p1与与 p2 正交正交. 恰有恰有 r 个个因为因为 A 是实对称矩阵，是实对称矩阵，所以所以于是于是 证证 由已知有由已知有r 重根重根, 左乘（左乘（2）式的两端得）式的两端得重数依次为重数依次为 r1 , r2 ,…… , rm , 于是于是, r1 + r2 + …… + rm= n . 恰有恰有 ri 个线性无关的实特征个线性无关的实特征 向量向量, 把它们正交单位化，即得把它们正交单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量个单位正交的特征向量, i =1,2，， … , m .由由 r1 + r2 +…… + rm= n . 知这样的特征向量恰有知这样的特征向量恰有 n 个个.又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交( 根据定理根据定理6 )，，故这故这 n 个特征向量构成规范正交向量组个特征向量构成规范正交向量组.以它们为列构成矩阵以它们为列构成矩阵 P ,它们的它们的定理定理 5及定理及定理 7 知，知，根据根据 则为则为 P 正交矩阵，正交矩阵， 并有并有恰恰 是是 A的的n 个特征值个特征值. 定理定理 8 设设 A 为为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P ,使使 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵个特征值为对角元素的对角矩阵.为对角矩阵．为对角矩阵．于是得正交矩阵于是得正交矩阵 P = ( p1, p2, p3 )且使得且使得将其规范正交化将其规范正交化. 解解 A 的特征多项式为的特征多项式为为对角矩阵．为对角矩阵．再单位化得再单位化得正交化：正交化： 取取于是得正交矩阵于是得正交矩阵 P = ( p1 , p2 , p3 )且使得且使得 §5 二次型及其标准形二次型及其标准形 定义定义 8 n 个变量个变量 x1 , x2 , ……, x n 的二次齐次函数的二次齐次函数 f (x1 , x2 , ……, xn ) =称为称为二次型二次型.于是（于是（1）式可写成）式可写成f (x1 , x2 , ……, xn ) 对二次型对二次型 (1) ，记，记则二次型则二次型 (1) 又表示为又表示为f (x1 , x2 , ……, xn )= 其中其中 A 为对称矩阵，为对称矩阵，叫做二次型叫做二次型 f (x1 , x2 , ……, xn ) 的矩阵，的矩阵，也把也把 f (x1 , x2 , ……, xn ) 叫做对称矩阵叫做对称矩阵 A 的二次型的二次型.对称矩阵对称矩阵 A 的秩，的秩， 叫做二次型叫做二次型 f (x1 , x2 , ……, xn ) = xTA x 的秩的秩. 二次型二次型 f (x1 , x2 , ……, xn )经过可逆的线性变换经过可逆的线性变换即用即用(3) 代入代入 (1) ，， 还是变成二次型还是变成二次型. 那么新二次型的矩阵与那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵原二次型的矩阵 A 的关系是什么？的关系是什么？ 可逆线性变换可逆线性变换 (3),记作记作x = C y ,  f (x1 , x2 , ……, xn ) g(y1 , y2 , ……, yn ) x = C y 可逆线性变换可逆线性变换( AT = ) AB ( = BT ) C TAC = 把可逆的线性变换把可逆的线性变换 x = C y 代入二次型代入二次型 f = xTA x , 得二次型得二次型f = xTA x = (C y)TA(C y) = yT(C TAC ) y 就是说，若原二次型的矩阵为就是说，若原二次型的矩阵为 A ，， 那么新二次型的矩阵为那么新二次型的矩阵为其中其中 C 是所用可逆线性变换的矩阵．是所用可逆线性变换的矩阵． 定理定理 9 设有可逆矩阵设有可逆矩阵 C ,使使 B = CTAC ,如果如果 A为对称矩阵，为对称矩阵，则则B也为对称矩阵，也为对称矩阵， 且且R(A) = R(B) .CTAC ,即即 B 为对称矩阵为对称矩阵. 因为因为 B = CTAC ，， 所以所以R(B) ≤R(AC) ≤R(A) . 因为因为所以所以 R(A) ≤R( BC -1) ≤R(B) , 故得故得 R(A) = R(B).A=( CT )–1BC –1，， 证证 因为因为 A 是对称矩阵是对称矩阵, 即即 AT = A，，所以所以BT = ( CTAC )T = CTAT(CT )T = CTATC = B , 主要问题：求可逆的线性变换主要问题：求可逆的线性变换将二次型将二次型 (1) 化为只含平方项，化为只含平方项，即用即用(3) 代入代入 (1) ，能使，能使f (x1 , x2 , ……, xn )称（称（4）为二次型的标准形）为二次型的标准形.总有正交变换总有正交变换 x = Py，，使使 f 化为标准形化为标准形 定理定理 8 设设 A 为为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P ,使使 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵个特征值为对角元素的对角矩阵.定理定理 10也就是说，已知对称矩阵也就是说，已知对称矩阵A ，求一个可逆矩阵，求一个可逆矩阵C 使使为对角矩阵为对角矩阵. 例例 1 用矩阵记号表示二次型用矩阵记号表示二次型 例例 2 求一个正交变换求一个正交变换 x = Py，把二次型，把二次型 解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为那么那么化为标准形化为标准形. 解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为它的特征多项式为它的特征多项式为于是正交变换为于是正交变换为 例例 3 求一个正交变换求一个正交变换 x = Py，把二次型，把二次型化为标准形化为标准形. 解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为它的特征多项式为它的特征多项式为正交化：正交化： 取取再单位化得再单位化得于是正交变换为于是正交变换为 例例4 已知在直角坐标系已知在直角坐标系 o x1 x2中中, 二次曲线的方程为二次曲线的方程为试确定其形状．试确定其形状． 解解 先将曲线方程化为标准方程，先将曲线方程化为标准方程， 也就是用正交变换把二次型也就是用正交变换把二次型化为标准形．化为标准形．二次型二次型 f 的矩阵为的矩阵为A的特征多项式为的特征多项式为于是于是 A 的特征值为的特征值为可求得对应的特征向量为可求得对应的特征向量为将它们单位化得将它们单位化得令令就有就有故在新坐标系故在新坐标系o y1 y2中该曲线的方程为中该曲线的方程为这是一个椭圆．这是一个椭圆．其短、长半轴长分别为其短、长半轴长分别为 y1y2 x1x20§6 用配方法化二次型成标准形用配方法化二次型成标准形 例例1 化二次型化二次型为标准形为标准形,并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵.就把就把 f 化成标准形化成标准形 例例2 化二次型化二次型为标准形为标准形,并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵. 解解 令令代入，再配方可得代入，再配方可得 所用线性变换矩阵为所用线性变换矩阵为所用变换矩阵为所用变换矩阵为 §7 正定二次型正定二次型 定理定理 11 设实二次型设实二次型 f = xTAx的秩为的秩为 r , 若有实可逆变换若有实可逆变换 x = Cy 及及 x = Pz使使 定义定义 9 实二次型实二次型 f = xTAx 称为正定二次型，如果对任何称为正定二次型，如果对任何 xTAx ＞＞0 .正定二次型的矩阵称为正定矩阵正定二次型的矩阵称为正定矩阵. 定理定理 12 n 元实二次型元实二次型 f = xTAx 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：它的标准形的它的标准形的 n 个系数全为正个系数全为正.则则k1 ,k2 ,…, kr中正数的个数与中正数的个数与 中正数的个数相等．中正数的个数相等． 证证 设可逆变换设可逆变换 x = Cy 使使 x ≠0 , 都有都有和和因为因为 C 是可逆矩阵是可逆矩阵,故故即二次型为正定的即二次型为正定的.再证必要性再证必要性. 用反证法用反证法. 假设有假设有 ks≤0 ,则当则当 y = es 时，时，其中其中es 是第是第 s 个分量为个分量为 1 其余分量都为其余分量都为 0 的的 n 维向量维向量.这与这与 f 为正定相矛盾．为正定相矛盾． 因而因而 ki > 0 , i = 1 ,2 ,…, n . 推论推论 对称矩阵对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是为正定的充分必要条件是: A 的特征值全的特征值全 定理定理13 对称矩阵对称矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是：为正定矩阵的充分必要条件是： 阶主子式都为正阶主子式都为正. 即即 为正为正．．A 的各的各先证充分性先证充分性 . 设设 ki > 0 , i = 1 ,2 ,…, n . 任给任给 x ≠ 0 ,。