概率论与数理统计（浙大内部课件）.pdf

概率论与数理统计 浙大内部课件（盛骤） ?第一章概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间 1.3 概率和频率 1.4 等可能概型（古典概型） 1.5 条件概率 1.6 独立性 ?第二章随机变量及其分布 2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数 2.4 连续型随机变量及其概率密度 2.5 随机变量的函数的分布 ?第三章多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 ? 第四章随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 ? 第五章大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 ? 第六章数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布 ? 第七章参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 ? 第八章假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 ? 第九章方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归 ? 第十章随机过程及其统计描述 10.1 随机过程的概念 10.2 随机过程的统计描述 10.3 泊松过程及维纳过程 ? 第十一章马尔可夫链 11.1 马尔可夫过程及其概率分布 11.2 多步转移概率的确定 11.3 遍历性 ? 第十二章平稳随机过程 12.1 平稳随机过程的概念 12.2 各态历经性 12.3 相关函数的性质 12.4 平稳过程的功率谱密度 概概 率率 论论 关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性 第一章 概率论的基本概念 1 随机试验 ?确定性现象：结果确定 ?不确定性现象：结果不确定 确定性现象 不确定性现象 确定 不确定 不确定 自然界与社会生活中的两类现象 例： 向上抛出的物体会掉落到地上 明天天气状况 买了彩票会中奖 概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律 对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。

随机试验 它具有以下特性： 1.可以在相同条件下重复进行 2.事先知道可能出现的结果 3.进行试验前并不知道哪个试验结果会发生 例： ?抛一枚硬币，观察试验结果； ?对某路公交车某停靠站登记下车人数； ?对某批电子产品测试其输入电压； ?对听课人数进行一次登记； 2 样本空间随机事件 (一)样本空间(一)样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间样本空间，记为S=e， 称S中的元素e为基本事件基本事件或样本点样本点 S=0,1,2,； S=正面，反面； ?记录一城市一日中发生交通事故次数 S=(x,y)|T0yxT1； S= x|axb 例： ?一枚硬币抛一次 ?记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y ?记录一批产品的寿命x (二) 随机事件随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件随机事件A，当且仅 当A所包含的一个样本点发生称事件A发生 S 0,1,2, ； 记 A至少有10人候车10,11,12, S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生 例：观察89路公交车浙大站候车人 数， 如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件必然事件。

为方便起见，记为不可能事件不可能事件，不包含 任何样本点 (三) 事件的关系及运算事件的关系及运算 ?事件的关系（包含、相等） 例： ?记A=明天天晴，B=明天无雨 ?记A=至少有10人候车，B=至少有5人候车 ?一枚硬币抛两次，A=第一次是正面，B=至少有一次正面 2 AB AB BA o 1 ABAB o ：事件 发生一定导致 发生 BA BA BA S A B ?事件的运算 | ABx xAxBAB=或： 与 至少有一发生 12 1 12 1 ,, ,, n in i n in i AAAA AAAA = = U I ：至 少 有 一 发 生 ：同 时 发 生 S BA S A B S B A AB?A与B的和事件，记为 ,,AB A B AB?A与B的积事件，记为 | ABx xAxBAB=且： 与 同时发生 ?当AB=AB=时，称事件A A与B B不相容的，或互斥的 ?“和”、“交”关系式 12 11 nn iin ii AAA AA == =L UI ； 12 11 nn iin ii AAAAA == ==UUL U IU ； AB =U AB =I ABAB==U ABAB==U S A B A S A | A BABx xAxB==且 ? ,, AASABS AAA B A B A A == = = UU 的记为, 逆事件互若,称逆、互斥? 例：设A A= 甲来听课 ，B B= 乙来听课 ，则： 甲、乙至少有一人来 甲、乙都来 甲、乙都不来 甲、乙至少有一人不来 3 频率与概率 (一)频率 定义：记 其中A发生的次数(频数)；n总试验次 数。

称为A在这n次试验中发生的频率频率 例： ?中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一 次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为 ?某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记 A=听课迟到，则 # 频率反映了事件A发生的频繁程度 A n ( ) nA fA n n =； ( ) n fA 1 n； ( )15 1788% n fA == ( ) n fA n =5n =50n =500 nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494 试验 序号 表 1表 1 例：抛硬币出现的正面的频率 实验者 nnHfn(H) 德摩根20481061 0.5181 蒲 丰40402048 0.5069 K皮尔逊120006019 0.5016 K皮尔逊2400012012 0.5005 表 2表 2 ** 频率的性质： 且随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p( ) n fA 12 11 10( )1 2( )1 3,()() n n kk knini ii fA fS A AAfAfA == = = U 。

若,,两两互不相容，则 (二) 概率 定义1：的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义2：将概率视为测度，且满足： 称P(A)为事件A的概率概率 ( ) n fA 10( )1P A 2( )1P S = 12 11 3,()() kk kii ii A AAPAP A == = U 若,,两两互不相容，则 2()( )( )( )( )ABP BAP BP AP BP A= o ，若则有 3 ()( )( )()P ABP AP BP AB=+ o U概率的加法公式： 1 ()1()P AP A= o 性质： AAS=QU( )( )1P AP A+=()0P = BAAB=QU( )( )()P BP AP AB=+ ( )( )()()0P BP AP ABP BA==( )( )P BP A ()ABABAB=QUU()( )()P ABP AP BAB=+U 2()( )()BABP BABP BP AB=Q 又，由 知 ()( )( )()P ABP AP BP AB=+U #3 的推广： 111 1 12 1 ()()() ()( 1)() nn iiij iij ni n ijkn ij k n PAP AP A A P A A AP A AA = < = < m或L0，i=1,2,,n； 则称： 12n AASABABAB==Q 1 () (|) (|) () (|) ii in jj j P B P A B P BA P B P A B = = () (|) ( ) i i P B A P BA P A = () ij ABAB ij 与 不相容 1 ( )()(|) n jj j P AP BP A B = = 为全概率公式全概率公式 1 ( )() n j j P AP AB = = 1 ()(|) n jj j P BP A B = = B1 B2Bn S A 证明：证明： 定理：接上定理条件， 称此式为Bayes公式。

Bayes公式 * 全概率公式可由以下框图表示： 设 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,,n 易知： 1 1 n j j p = = S P1 P2 Pn . . . B2 B1 Bn . . . q2 q1 qn A ( )() () 1 | n jj j P AP BP A B = = 例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%， 若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差， 则乙出差的概率为90%1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率 ( )0.80, (|)0.20, (|)0.90P AP B AP B A===已知 ( )1 ( )()P BP ABAB=U ( ) ( | )( ) ( | )P A P B AP A P B A=+ 0.8 0.2 0.2 0.9 34 %=+= ( ) ()()168 2 ( | ) ( )()()34 17 P ABP AB P A B PBP ABP AB ==== + ABAB与不相容 Bayes公式 全概率 公式 ()()P ABP AB=+ 解：设A=甲出差，B=乙出差 例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5% 的假阳性及5%的假阴性：若设A=试验反应是阳性， C=被诊断患有癌症 则有：已知某一群体 P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？ (|)5%, (|)5%,P A CP A C== () ( | ) ( ) P AC P C A P A = ( )(|) 0.087 ( ) (|)( ) (|) P CP A C P C P A CP C P A C == + 若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8 推出P(C|A)=0.987 说明这种试验方法可在医院用 解：考察P(C|A)的值 若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的 大约有8.7个，所以不宜用于普查。

6 独立性 例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品从中取2 次,每次取1件，设Ai=第i次取到正品，i=1,2 212 78 (|)() 910 P AAP A== 212 8 (|)() 10 P AAP A== ( )0, ( )0P AP B 不放回抽样时， 放回抽样时， 即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响 定义：设A，B为两随机事件， 若P(B|A)=P(B)， 即P(AB)=P(A)*P(B) 即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立相互独立 ?注意： ()( )( ) ()()( )()( )( )( )( ) ,,,, 1 A BA BA BA B P ABP AP B P ABP AABP AP AB。