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1《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案第1章线性规划(复习思考题)1 .什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划(LinearProgramming,LP)是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值2 .求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：(1)唯一最优解：只有一个最优点；(2)多重最优解：无穷多个最优解；(3)无界解：可行域无界，目标值无限增大；(4)没有可行解：线性规划问题的可行域是空集当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错3 .什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi>0,决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“册约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量4 .试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系答：可行解：满足约束条件AX=b,X之0的解，称为可行解基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解可行基：对应于基可行解的基，称为可行基最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基它们的相互关系如右图所示：5 .用表格单纯形法求解如下线性规划maxZ=4x1x22x38x1+3x2+x3M2s.t.<6x1+x2+x3<8x1,x2,x3之0解：标准化列出单纯形表maxZ=4x1+x2+2x3s.t」8x1+3x2+x3+x46x1+x2+x3+x5Xi,X2,X3,X4,X5>0=2=8cj41200CbXBbX1X2u1X3X4X50x42[8]31102/80x58611018/6412004x11/413/8[1/8]1/80(1/4)/(1/8)0x513/26—5/41/4—3/41(13/2)/(1/4)0—1/23/2-1/202*32831100x56-2-20-11仃j-12-50-20故最优解为X*=(0,0,2,0,6)T,即x1=0,x2=0,X3=2,此时最优值为Z(X*)=4.6 .表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中a1,a2,c1,c2,d为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以x1代替基变量x5；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

表1—15某极大化问题的单纯形表cjc1c2000仇CbXBbx1x2x3x4x50*3d4a11000x42-1-50100x53a2-3001c1c2000解：（1）d之0，a<0,c2<0；(2) d之0,c1<0,c2<0(c1,c2中至少有一个为零)；(3) ci>0,a2>0,d;4a2(4) C2>0,a1<0;(5) %为人工变量，且ci为包含M的大于零的数，;或者X2为人工变量,4a2且C2为包含M的大于零的数，ai>0,d>0.7.用大M法求解如下线性规划maxZ=5x13x26x3x1+2x2+x3<182x1+x2+3x3<16s.t.x1x2x3=10x1,x2,x3-0解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：maxZ=5x13x26x30x40x5-Mx6x1+2x2+x3+x4=182x1x23x3x5=16s.t.x1x2x3x6=10.xi-0(i=1,2,,6)列出单纯形表cj53600一M仇CBXbbX1X2X3X4X5X6i0X41812110018/10X51621[3]01016/3一MX61011100110/15+M3+M6+M0000X438/31/35/301-1/3038/56X316/32/31/3101/3016一MX614/31/3[2/3]00-1/3114/211+—M31+-M3001-2——M300X41—1/20011/2-5/2一6X33[1⑵0101/2-1/263X271/2100-1/23/2141/2000-3/23n”——M20X4400111-35Xi610201-13X2401-10-1200-10-2一1一M故最优解为X*=(6,4,0,4,0,0)T,即Xi=6,X2=4,X3=0,此时最优值为Z(X*)=42.8 .A,B,C三个城市每年需分别供应电力320,250和350单位，由I,II两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400单位和450单位，单位费用如表1—16所示。

由于需要量大于可供量，决定城市A的供应量可减少0〜30单位，城市B的供应量不变，城市C的供应量不能少于270单位试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总费用分配方案表1—16单位电力输电费(单位：元)ABCI151822II212516解：设Xj为“第i电站向第j城市分配的电量"(i=1,2;j=1,2,3),建立模型如下:maxZ=15xii18x1222xi321x2125x2216x23x11+x12+x13=400x21+x22+x23=450x11+x21>290,F<320s.t.x12+x22=250x13+x23之270x13+x23<350Xj之0,i=1,2;j=1,2,39 .某公司在3年的计划期内，有4个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资预计每年年初投资，年末可收回本利120%,每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目II需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%,又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过20万元；项目III需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%,但用于该项目的最大投资不得超过15万元；项目IV需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%,但用于该项目的最大投资不得超过10万元。

在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？解：设xi⑴表示第一次投资项目i,设xi⑵表示第二次投资项目i,设xi⑶表示第三次投资项目i,(i=1,2,3,4),则建立的线性规划模型为maxZ=1.2x1(3)1.6x3"，1.4比1)x『•x2"-30x：2)-x31)<1.2x1(1)-30-x^-x21)(3)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(2)x〔x4-1.2x11.5x21.2x130-x1-'x2-'x1s.t.x2"M20x31)-15x41)<10xi(1),x(2),x(3)—0,i=123,4通过LINGO软件计算得：x⑴=10,x21)=？/?=0戈2)=12»2)=44.10 .某家具制造厂生产五种不同规格的家具每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几道重要工序每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具的利润由表1—17给出问工厂应如何安排生产，使总利润最大？表1—17家具生产工艺耗时和利润表生产工序所需时间（小时）每道，序引用时间（小时）12345346233600打磨435643950上漆233432800利润（百元）2.734.52.53解：设x表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5）,则maxZ=2.7x13x24.5x32.543x53x1+4x2+6x3+2x4+3x5<36004x1+3x2+5x3+6x4+4x5<3950s.t.2x13x23x34x43x5<2800为一0』=1,2,,5通过LINGO软件计算得：x1=0,x2=38,x3=254,刈=0,x5=642,Z=3181.11 .某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A,B,C三种设备加工。

已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2-10所示,表1—18产品生产工艺消耗系数甲乙丙设备能力A（小时）111100B（小时）1045600C（小时）226300单位产品利润（元）1064（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划2）产品内每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品内每件的利润增加到6,求最优生产计划3）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？（4）设备A的能力如为100+10q,确定保持原最优基不变的q的变化范围（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化解：（1）设Xi,X2,X3分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型maxZ=10x16x24x3x1+x2+x3<10010x1+4x2+5x3<600s.t.2x12x26x3<300x1,x2,x3_0标准化得maxZs.t.列出单纯形表=10x1+6x2+4x3+0x4+0x5+0x6x1+x2+x3+x4=10010x1+4x2+5x3+x5=600'2xi+2x2+6x3+x6=300[为？2,乂3,人“5,乂6之0cj10640004CBXBbxix2x3x4x5x6000x4x。