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圆锥曲线得极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good圆锥曲线的极坐标方程知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：.其中p是定点F到定直线的距离，p0当0e1时，方程表示椭圆；当e1时，方程表示双曲线，若0，方程只表示双曲线右支，若允许0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若则0e1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线当e1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2）若当0e1时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向上的抛物线当e1时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）当0e1时，方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当e1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，椭圆中，.双曲线中，（解释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。

）若M、N在双曲线同一支上，；若M、N在双曲线不同支上，.抛物线中，例1过双曲线的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与A、B两点，求解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得所以又由得解释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对v加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法 点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值,所以弦长都是;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值,所以弦长也是;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值,所以弦长是-或为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线于A,B两点，求求解：附录直角坐标系中的焦半径公式设P（x,y）是圆锥曲线上的点，若、分别是椭圆的左、右焦点，则，；若、分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，；当点P在双曲线左支上时，；若F是抛物线的焦点，.利用弦长求面积点极径一个为正值一个为负值,长是或高考题（08年海南卷）过椭圆的焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式求弦长，然后利用公式直接得出答案。

变式(2022年全国高考理科)已知点为椭圆的左焦点.过点的直线与椭圆交于、两点，过且与垂直的直线交椭圆于、两点，求四边形面积的最小值和最大值.解析以点为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：设直线的倾斜角，则直线的倾斜角为，由极坐标系中焦点弦长公式知：，用他们来表示四边形的面积即求的最大值与最小值由三角知识易知：当时，面积取得最小值；当时，面积取得最大值利用弦长公式解决常量问题例一过椭圆的左焦点F，作倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若，求椭圆的离心率.简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率 设椭圆的极坐标方程为则，解得；变式求过椭圆的左焦点，且倾斜角为的弦长和左焦点到左准线的距离 解：先将方程化为标准形式：则离心率，所以左焦点到左准线的距为2 设，代入极坐标方程，则弦长（3）定值问题例1.抛物线的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证明：定值 解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为，设将A,B两点代入极坐标方程，得则=（定值）点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD,求证为定值。

证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为，又设则代入可得，则解释 此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立 注意使用的范围 推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值 需要以原点为极点建立极坐标方程 推广2若不取倒数，可以求它们和的最值 例三(2022重庆理改编)中心在原点的椭圆，点是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点使证明：为定值，并求此定值解析：以点为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：，设点对应的极角为，则点与对应的极角分别为、，、与的极径就分别是、与，因此，而在三角函数的学习中，我们知道，因此为定值点睛：极坐标分别表示、与，这样一个角度对应一个极径就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？推广2设椭圆上的n个点，且圆周角等分则也为定值作业（2022年希望杯竞赛题）经过椭圆的焦点作倾斜角为60的直线和椭圆相交于A，B两点，（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程 4Word版本。