江苏省2019高考数学二轮复习-自主加餐的3大题型-3个附加题综合仿真练(六)(理)(含解析).doc

江苏省2019高考数学二轮复习 自主加餐的3大题型 3个附加题综合仿真练（六）（理）（含解析）3个附加题综合仿真练（六）（理科)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2:矩阵与变换］已知矩阵A＝，B＝.(1）求AB；（2）若曲线C1:＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．解：(1)因为A＝，B＝，所以AB＝＝.（2）设Q(x0,y0）为曲线C1上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x，y），则＝,即所以因为点Q(x0,y0）在曲线C1上，则＋＝1，从而＋＝1,即x2＋y2＝8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2＋y2＝8.B．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(α为参数)．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝β，若圆C与直线l相切，求直线l的极坐标方程．解：圆的直角坐标方程为x2＋（y－2）2＝1,设直线l对应的直角坐标方程为y＝kx，因为圆C与直线l相切,所以d＝＝1，得到k＝±，故直线l的极坐标方程θ＝或θ＝.C．［选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c,d为实数,且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明:ac＋bd≤8。

证明：由柯西不等式可得：（ac＋bd）2≤（a2＋b2)（c2＋d2)．因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd）2≤64,因此ac＋bd≤82.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC,AB＝AC＝AA1＝2,D为CC1上任意一点(含端点)．（1）若D为CC1的中点，求异面直线BA1与AD所成角的余弦值;（2）当点D与点C1重合时,求二面角A1BDA的正弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系,易知A（0,0,0）,B（0，－2,0)，A1(0,0，2），C1(2,0，2)，所以＝（0，－2,0），＝（0，2，2)．(1）若D为CC1的中点，则＝(2,0，1),设直线BA1与直线AD的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，因此异面直线BA1与AD所成角的余弦值为.（2)当点D与点C1重合时，易知D（2，0,2)，则＝(2，2，2），设平面A1BD的法向量为m＝（x，y，z）,则即取y＝1，解得x＝0，z＝－1,即平面A1BD的一个法向量为m＝（0,1，－1),同理，可得平面ABD的一个法向量为n＝（－1，0,1)．设二面角A1BDA的大小为α，则｜cos α｜＝＝＝，因为α∈［0，π],所以sin α＝＝，因此二面角A1BDA的正弦值为.3．已知数列｛an}满足：a1＝1，对任意的n∈N＊,都有an＋1＝an＋。

1）求证：当n≥2时,an≥2；(2)利用“∀x＞0,ln(1＋x)＜x”，证明：an＜2e (其中e是自然对数的底数）．证明：(1）①由题意,a2＝×1＋＝2,故当n＝2时，a2＝2，不等式成立．②假设当n＝k(k≥2,k∈N＊）时不等式成立，即ak≥2,则当n＝k＋1时,ak＋1＝ak＋＞2.所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①②可知，对所有n≥2,an≥2成立 (2)当n≥2时，由递推公式及（1)的结论有an＋1＝an＋≤an(n≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln（1＋x）＜x，得ln an＋1≤ln＋ln an＜ln an＋＋,故ln an＋1－ln an＜＋（n≥2）,求和可得ln an－ln a2＜＋＋…＋＋＋＋…＋＝＋＋…＋＋·＝－＋－〈.由（1)知,a2＝2，故有ln＜，即an＜2e (n≥2），而a1＝1＜2e，所以对任意正整数n，有an＜2e。