人教B版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何重点难点解题方法规律归纳总结.pdf

第 一 章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算.I1.1.1 空间向量及其运算.11.1.2 空间向量基本定理.91.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系.151.2 空间向量在立体几何中的应用.241.2.1 空间中的点、直线与空间向量.241.2.2 空间中的平面与空间向量.311.2.3 直线与平面的夹角.371.2.4 二面角.441.2.5 空间中的距离.521.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算1.空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方囱的量称为空间向量.(2)模(或长度)：向量的大小.(3)表示方法：几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为 赢，模为I赢 I.字母表示法：可以用字母小 b,c,表示，模为，b,|c|,.2.几类特殊的向量(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量,记作0.(2)单位向量：模等于L 的向量称为单位向量.(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量.(4)相反向量：方向相反，大小相笠的向量称为相反向量.(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相坦1，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线壬任或重合.通常规定零向量与任意向量平行.(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内,则称这些向量共面.思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？提示 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面.3.空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算.图 2(1)如图 1,O B=O A+A B=a+b,&=O A-O C=a b.(2)如图 2,DA+D C+D D =.即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量.(3)给定一个实数人与任意一个空间向量a,则实数与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作/4其中：当2W 0且“W 0时，的模为而,而且的方向：(i)当 2 0 时，与 a 的方向相同；(i i)当4 V 0 时，与a的方向相反.当2=0 或 a =0 时，z a=0.(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数人与，向量a与。

有2 a+a=(4+)a；2(a +b)=2 a+劝.4.空间向量的数量积空间向量的夹角如 果 a,b)空间向量数量积的定义:已知两个非零向量a,b,则血c o s a,b)叫做a,h的数量积(或内积)，记作a-b.(3)数量积的几何意义向量的投影如图所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a 在向量上的投影a .数量积的几何意义：a 与 b的数量积等于在 8上的投影的数量与b的长度的乘积，特别地，与单位向量e 的数量积等于在 e 上的投影#的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0.（4）空间向量数量积的性质:a Z a-6=0；a-a=a=(r-,仙I；(4)(z a)-Z =2(a Z )；布(交换律)；(a+b c=t r c+c(分 酉 己 律).重点题型一空间向量的概念及简单应用【例1】（1）下 列 说 法 中 正 确 的 是（）A.若|a|=|加，则a,5的长度相同，方向相同或相反B.若向量是向量方的相反向量，则|a|=网C.空间向量的减法满足结合律D.在四边形A B C O中，一定 有 赢+俞=元B|a|=|Z|,说明a与方模长相等，但方向不确定.对于a的相反向量方=一。

故|步|,从 而B正确.只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不 具 有 油+而=就，只有平行四边形才能成立.故A、C、D均不正确.（2）如图所示，以长方体A B C D-A山C i D i的八个顶点的两点为始点和终点的向量试写出与靠是相等向量的所有向量；试写出筋1的相反向量；若A B=A O=2,4 4尸1,求向量启1的模.解 与向量赢是相等向量的（除它自身之外）有 益1,虎 及 万2I,共3个.向量筋i 的相反向量为启，屈B,G C,D j D.|A C 11=N|赢 F+1助 F+I A 4 1 I2=22+22+12=木=3.厂.规 W c75 法.1 .两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件.2 .熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键.重点题型二空间向量的线性运算【例 2】(1)如图所示，在三棱柱A B C-4 8 c l 中，N是A i B 的中点，若3=a,CB=b,CC=c,则K=()A.；(8 c)B.g(a+b+c)C.Q+/C D.a+/(b+c)(2)如图，已 知 长 方 体 化 简 下 列 向 量 表 达 式，并在图中标出化简结果的向量.A B一函启+赢+危.(1)B 若 AB 中点为。

C N=C D+D N=a+b+c),故选 B.解 A A -C B=A A -D A=A A +A D=A b .q+赢+成:=(屹+赢)+就=翁+就=启.向 量 前 二 启，如图所示：厂.规律c方法.1.首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即AiAz+Az/h+As/UH-An-An=AAf1.2.首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，O B+BC+cb+5E+EF+FG+GW+wb=0.重点题型三数量积的运算及应用 探究问题1.空间两个向量夹角定义的要点是什么？提示(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹痢的定义与平面向量夹角的定义一样.(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起.(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且 a,b)=5，2.联想空间向量数量积的定义，如何求两个向量a,b 的夹角？如何求|方|?1 提示 借助c o s a,b)=而 丽，求向量a,方的夹角.借助|a+b|=)(a+i )2=+2 a 力+5 2 求模.【例 3】如图所示，已知正四面体QABC的棱长为1,点 E,P分 别 是 Q A,0C的中点.求下列向量的数量积：苏 历；(2)E F-C B；(3)(0 4+O B)(C A +C B).思路探究 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及两向量的夹角，注意充分结合正四面体的特征.解(1)正四面体的棱长为1,则=0 A 8 为等边三角形，/A O B=6 0 ,于是：0 4-0 8=|0 4|dB|c o s 0 4,0B)1T=|O A|dB|c o s ZA O B=l X I Xc o s 6 0 =(2)由于E,尸分别是O A,OC的中点,所以E F于是济丽|无|c o s E F,CB)=g|以 H 函 c o s =|x I Xl Xc o s (AC,CB)=X 1 X 1 XCOS 120=14-(3)(O44-(9B)(CA+CB)=(OA+OB)(OA-OC+OB-OC)=(OA+OB)OA+OB-2OC)=dA2+dAOB-2dAOC+OBOA+OB2-2OBOC,1 1,1,1=1+2X 5+5+12 X =1.母题探究1.（变条件，变结论）若 H为8C 的中点，其他条件不变，求 E”的长.解 由题意知砺=g(08+0C),OE=OA,：.EH=OH-OE=1 (OB+OC-OA),JO B+O C r+O+lO B O C-lO B O A-lO C O A),OB=OC=OA=.且 为，OC=60,(.OB,OA)=60,OC,OA)=60.OBOC=,OBOA=,OCOA=.：.|EW2=1 +H-1+2 x 1-2 X -2 X =1，即|西=坐，所以EH的长为喙.2.（变结论）求异面直线。

与 BE所成角的余弦值.1-2-1X-212-1-2-1X-21-4+-1-2X.J3 解 在A08 及30C 中，易知 BE=O H=,I 又BE，OA-OB,OH=OB+OQ,：.BEQH=OAOB+OAOC-jOB-OBOCL -、BEOH 2.cos(BE,O H)=-=一辛BEOH(Ti 2又异面直线所成角的范围为(0,可，故异面直线与3E所成角的余弦值为亍.规 法.1.在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式4力=网，cos(a,b)求解.2.非零向量a与8共线的条件是“力=土加|.提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向.如本例中 译，CB)=AC,CB)=1 2 0,易错写成60为避免出错，应结合图形进行计算.1.1.2 空间向量基本定理1.共面向量定理如果两个向量8不共线，则向量a，儿c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y),使 c=xa+yb.思 考1：平面向量基本定理中对于向量a与 有什么条件，在空间中能成立吗？提示 平面向量基本定理中要求向量a与万不共线，在空间中仍然成立.2 .空间向量基本定理如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x a +)历+z c.特别地，当a,b,c不共面时，可知x a+)力+z c=O时，x=y=z=O.3 .相关概念(1)线性组合：表达式油+z c一般称为向量a,b,c的线性组合或线性表达式.(2)基底：空间中不共面的三个向量a,5，c组成的集合(a,5，c ,常称为空间向量的一组基底.(3)基 向 量:基 底b,c 中a,b,c都称为基向量.(4)分解式：如果p=x a+W+z c,则 称x a+y A+z c为p在基底 a,b,c 下的分解式.思 考2：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？提示 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示.思 考3：基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？提示 基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量.4.拓展：设。

A,B,是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组 x，y,Z,使当且仅当 x+y+z=l 时，P,A,B,C四点共面.重点题型一向量共线问题【例1】如图所示，在正方体A B C 0-A 1 8 C Q中，E在上，且 址=2由”一 2 f厂在对角线AC上，且求证：E,F,3三点共线.证明 ikAB=a,AD=b,AAi=c.2 *VAiE=2EZ)i,AIF=FC9 2 2 f.AE=ADf AF=-AC9 2 f 2 f 2 f J.AE=AD=b,AF=(AC-AA)=|(AB4-AD-A 4I).EF=:AiFAiE=-a b c=-abcj.22又 B=EA+4A+AB=?c+a=a?c,：.EF=EB.：.E,F,8 三点共线.规 律 1 _ 1【例 2】已知A,B,C 三点不共线，平面ABC外的一点M 满足OM=OA+w重点题型二共面定理及应用*1 OB+OC.判断向，M B,而 三个向量是否共面;(2)判断点M 是否在平面ABC内.解 易知而1+方b+0 b=3而，：.OA-dM=(dM-OB)+(dM-OC),：.M A=B M+C M=-M B-M C,，向 量 而，M B,而共面.(2)由知向量而，M B,俄 共 面，三个向量的基线又有公共点M,A,B,C共面，即点M在平面A B C内.规律 方法.判断三个(或三个以上)向量共面的方法(1)应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示.(2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定。