点线面位置关系例题与练习(含答案).doc

点、线、面的位置关系 ● 知识梳理〔一〕.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内公理2：不共线的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面. 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线〔二〕空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：〔1〕范围：；〔2〕作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交〔三〕平行关系〔包括线面平行，面面平行〕1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：③性质定理：2.线面斜交： ①直线与平面所成的角〔简称线面角〕：假设直线与平面斜交，那么平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角范围：3.面面平行：①定义：；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述： 判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：.③面面平行的性质：〔1〕；〔2〕〔四〕垂直关系〔包括线面垂直，面面垂直〕1.线面垂直①定义：假设一条直线垂直于平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于平面。

符号表述：假设任意都有，且，那么.②判定：③性质：〔1〕；〔2〕；3.2面面斜交①二面角：〔1〕定义：【如图】范围：②作二面角的平面角的方法：〔1〕定义法；〔2〕三垂线法〔常用〕；〔3〕垂面法.3.3面面垂直〔1〕定义：假设二面角的平面角为，那么；〔2〕判定定理： 〔3〕性质：①假设，二面角的一个平面角为，那么；②● 热点例析【例1】热点一　有关线面位置关系的组合判断假设a，b是两条异面直线，α，β是两个不同平面，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，那么(　　)．A．l与a，b分别相交B．l与a，b都不相交C．l至多与a，b中一条相交D．l至少与a，b中的一条相交　解析：假设l与a，b均不相交，那么l∥a，l∥b，从而a∥b与a，b是异面直线矛盾，故l至少与a，b中的一条相交．选D.热点二　线线、线面平行与垂直的证明【例2】如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD． (1)方法一：因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos 60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2.所以AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1. 又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.方法二：因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD(如图)，所以BD⊥D1D.取AB的中点G，连接DG(如图)．在△ABD中，由AB＝2AD得AG＝AD.又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形，因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB.又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.(2)如图，连接AC，A1C1.设AC∩BD＝E，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝AC.由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形．因此CC1∥EA1.又因为EA1⊂平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.热点三　面面平行与垂直的证明【例3】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝4，P为平面ABCD外一点，且PA＝PB，PD＝PC，N为CD的中点．(1)求证：平面PCD⊥平面ABCD；(2)段PC上是否存在一点E使得NE∥平面ABP？假设存在，说明理由并确定E点的位置；假设不存在，请说明理由． (1)证明：取AB中点M，连接PM，PN，MN，那么PM⊥AB，PN⊥CD.又ABCD为直角梯形，AB⊥BC，∴MN⊥AB.∵PM∩MN＝M，∴AB⊥平面PMN.又PN⊂平面PMN，∴AB⊥PN.∵AB与CD相交，∴PN⊥平面ABCD.又PN⊂平面 PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD.(2)解：假设存在．在PC，PB上分别取点E，F，使BF＝BP，CE＝CP，连接EF，MF，NE，那么EF∥BC且可求得EF＝BC＝3.∵MN＝3且MN∥BC，∴EF∥MN且EF＝MN.∴四边形MNEF为平行四边形，∴EN∥FM.又∵FM⊂平面PAB，∴段PC上存在一点E使得NE∥平面ABP，此时CE＝PC.热点四　折叠问题例4如下图，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCD．ADPCBGEFPDABGCEF〔Ⅰ〕求证：AP//平面EFG； (Ⅱ) 求二面角的大小．解:(Ⅰ) 证明:连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO． ∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//, // 四边形EFOG是平行四边形, 平面EFOG．又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA//EO平面EFOG,PA平面EFOG, PA//平面EFOG,即PA//平面EFG． 方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO．∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理//又//AB,//平面EFG//平面PAB, 又PA平面PAB,平面EFG． 方法三)如图以D为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系．那么有关点及向量的坐标为: 设平面EFG的法向量为取．∵,又平面EFG． AP//平面EFG． (Ⅱ)由底面ABCD是正方形 ,又∵面ABCD 又平面PCD,向量是平面PCD的一个法向量, =又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为结合图知二面角的平面角为● 热点五 线线角线面角面面角例5正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。

〔1〕求侧面与底面所成二面角的大小；〔2〕假设E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；〔3〕在侧面上寻找一点F，使得EF侧面PBC试确定点F的位置，并加以证明〔1〕连交于点，连PO，那么PO⊥面ABCD，∴ ∠PAO就是与底面所成的角，∴ tan∠PAO=设AB=1，那么PO=AO•tan∠PAO = 设F为AD中点，连FO、PO，那么OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角在Rt中，，∴ 即面与底面所成二面角的大小为〔2〕由〔1〕的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，∴ 就是异面直线PD与AE所成的角在Rt中，由，可知：面在Rt中，∴ 异面直线PD与AE所成的角的正切是〔3〕延长交于点，连接设为中点，连接∵ 四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点，∴ ，∴ 面⊥∵ ，，∴ 为正三角形∴ ，∴ 取AF中点为K，连EK，那么由及得四边形为平行四边形，所以，● 学生练习一、选择题1．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出以下四个命题： ①假设，，那么 ②假设，，，那么 ③假设，，那么 ④假设，，那么 其中正确命题的序号是 ( )A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④2．假设长方体的三个面的对角线长分别是，那么长方体体对角线长为〔 〕 A． B． C． D．3．在三棱锥中,底面,那么点到平面的距离是( ) A． B． C． D．4．在正方体中，假设是的中点，那么直线垂直于〔 〕 A． B． C． D．5．三棱锥的高为，假设三个侧面两两垂直，那么为△的〔 〕A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心6．在四面体中，棱的长为，其余各棱长都为，那么二面角的余弦值为〔 〕A． B． C． D． 7．四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，那么异面直线与所成的角等于〔 〕A． B． C． D．二、填空题1．点到平面的距离分别为和，那么线段的中点到平面的距离为_________________．2．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______。

3．一条直线和一个平面所成的角为，那么此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________．4．正四棱锥〔顶点在底面的射影是底面正方形的中心〕的体积为，底面对角线的长为，那么侧面与底面所成的二面角等于_____5．在正三棱锥〔顶点在底面的射影是底面正三角形的中心〕中，,过作与分别交于和的截面，那么截面的周长的最小值是________ 三、解答题1．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC．2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC与侧面A1ACC1所成角为90°.(1)求证：BE＝B1E；(2)假设AA1＝A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的大小．3如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．(1)求证：AD⊥PC；(2)求三棱锥A－PDE的体积；(3)在AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？假设存在，求出AM的长；假设不存在，请说明理由．答案一、选择题 1． A ③假设，，那么，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④假设，，那么，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2．C 设同一顶点的三条棱分别为，那么得，那么对角线长为3．B 作等积变换4．B 垂直于在平面上的射影5．C 6．C 取的中点，取的中点，7．C 取的中点，那么，在△中，，二、填空题1.或 分在平面的同侧和异侧两种情况2. 每个外表有个，共个；每个对角面有个，共个3. 垂直时最大 4. 60 度5。