高考数学 第2章 第8节 函数与方程知识研习（福建版）.ppt
37页
•1．方程 f(x)＝ 0有实数根 ⇔⇔函数y＝f(x)有零点．•2．零点判断法：•如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根．函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点f(c)＝0 3．对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间，使区间的两个端点逐步．这种得到零点近似值的方法叫做二分法．4．用二分法求零点近似值的步骤：第一步：.第二步：.第三步：计算f(x1)．一分为二逼近零点取一个区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0取区间[a，b]的中点x1＝ (1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；(2)若f(x1)·f(a)<0，则令b＝x1，此时，零点x0∈(a，x1)；(3)若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1，此时，零点x0∈(x1，b)．第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值，否则重复第二～四步． 1．函数y＝x2－2x－3的零点和顶点坐标分别是______、________.答案：－1,3 (1，－4) 2．方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内有实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．解析：因为f(2)<0，f(2.5)>0，故在区间[2,2.5]内有根．答案：[2,2.5]3．函数f(x)＝3ax－2a＋1在[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________． 解析：令f(x)＝0，解得x＝1.答案：1 •1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据．•2．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式． •3．对于函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)，x∈[p，q]的最值问题，最好用图象法，尤其是当“轴变区间定”和“轴定区间变”时，利用图象作参考找出讨论时分类的标准．当“轴定区间也定”时，也可以不利用图象．若h∈[p，q]，则x＝h时有最小值k，最大值是f(p)与f(q)中较大者；若h∉[p，q]，则f(p)与f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值，即最值在区间的端点处取得． 4．对于f(x)≥0在区间[p，q]上恒成立问题，等价转换成f(x)在[p，q]上的最小值问题．若f(x)中含有参数，则要求对参数进行讨论．这类问题解决起来往往比较麻烦．5．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．6．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． (即时巩固详解为教师用书独有)考点一 求二次函数的解析式的问题【案例1】 设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，且f(x)＝0的两实数根的平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．关键提示：根据条件可用一般式设出其解析式，再由已知条件确定字母a、b、c的值． 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．因为f(x＋2)＝f(x－2)，所以该函数的图象关于直线x＝2对称， 所以b2－2ac＝10a2.③由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.故f(x)＝x2－4x＋3.点评：(1)二次函数解析式的一般式在任何题目中都适用，其缺点是字母较多，而其他的形式要有适当的条件才行．(2)已知函数图象与x轴交点的坐标，可考虑用坐标式．在解题时，遵循的原则是出现的字母越少越好． 【即时巩固1】 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数．关键提示：由已知条件分析解析式的结构，可用几种不同的方法求解，并进行对比．解：(方法1)利用一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (方法3)利用坐标式．由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 考点二 二次函数的值域和最值问题【案例2】 函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．(1)试写出g(t)的函数表达式．(2)作g(t)的图象，并写出g(t)的最小值．关键提示：要求f(x)的最小值，关键是分析其对称轴x＝2与区间[t，t＋1]的位置关系． 解：(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；当t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7. (2)g(t)的图象如图所示． 由图象易知g(t)的最小值为－8. 点评：(1)对于含有参数的二次函数的值域与最值问题，主要考虑其顶点(对称轴)与定义域区间的位置关系，由此进行分类讨论．(2)二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①定义域区间在对称轴右侧；②定义域区间在对称轴左侧；③定义域区间在对称轴的两侧． 【即时巩固2】 已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求实数a的值． 考点三 二次函数的综合性问题【案例3】 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围．关键提示：本题中函数二次项系数为m，但不一定为二次函数，所以先讨论m＝0，再讨论m≠0.解：若m＝0，则f(x)＝－3x＋1，显然满足要求．若m≠0，交点有两种情况： 【即时巩固3】 若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)>0，求实数p的取值范围．解：(方法1)由题意可得f(－1)>0或f(1)>0，即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0. 考点四 零点的判断【案例4】 函数f(x)在区间(a，b)上是减函数，则f(x)在区间(a，b)内( )A．至少有一个零点 B．有且仅有一个零点C．至多只有一个零点 D．没有零点解析：由图象知，在区间(a，b)上，f(x)的图象与x轴至多只有一个交点，即f(x)在区间(a，b)内至多只有一个零点，选C.答案：C 【即时巩固4】 二次函数f(x)满足f(a)f(b)<0(a
