多元函数的概念教案-山西大同大学.doc

1第八章 多元函数§8.1 多元函数的概念自变量只有一个的函数称为一元函数，有二个独立的自变量的函数称为二元函数，有三个独立的自变量的函数称为三元函数，…，自变量有 一个的函数就称为n元函数，二元及二元以上的函数统称为多元函数n以前所学的函数都是一元函数，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往不只是一个，有的是两个，甚至更多例如，一个圆锥体的体积，它有两个独立的变量 、 为此，就需要进一步讨论自变量为两个，hrV231rh或者更多情形下的多元函数本节以二个独立的变量为基础，首先给出二元函数的概念1．二元函数的概念定义 设有两个独立的变量 与 在一定范围 内取值，任取一组数值时，第xyD三个变量 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 称为变量 与z zx的二元函数记作y ),(fz其中 与 称为自变量，函数 称为因变量，自变量 与 取值范围称为函数的定义x xy域，一般记为 D二元函数在点 所取得的函数值记作),(0yx， 或0yxz),(0yx),(0yf类似地，可定义二元函数、四元函数、…、 元函数等多元函数n2．二元函数的定义域与一元函数相同，决定二元函数的要素仍然是定义域和对应法则。

那么，二元函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围对于一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间，二元函数的定义域可以是整个 坐标平面，可以是一条曲线，还可以是由平面上一条或几段光滑曲线所围成xy2的连通的部分平面整个 坐标平面或由曲线所围成的部分平面称为区域，围成区xy域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域开区域内的点称为内点如果一个区域 (开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数 ，则D M称 为有界区域，即一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内；否则称 为无界区域如同区间可用不等式表示一样，区域也可以用不等式或不等式组来表示区域通常表示为 或 两种形式，前者称为 型区域，D)()(21xyxyba)()(21yxydc X后者称为 型区域最简单的区域有矩形域 和圆形域Y },:,{dycbxaD，如图 8—1 所示}:),{(2ryx例 1 求 的定义域z解 该函数的定义域为图 8—1}0,:),{(2yxD例 2 求下列函数的定义域 ，并画出 的图形。

D（1） 3arcsin2rsixz（2） 142yy解 （1）要使得 有意义，则需3arcsinrsiyxz，即132yx32yx故函数的定义域 ，此区域是一个矩形域}3,2:),(yxD（2）要使得 有意义，则需142yz3即0142yx42yx故函数的定义域 ，此区域是一个圆环}1:),(2D3．二元函数的几何解释是二元函数 定义域 内的任意一点，则相应的函数值是),(yxP),(yxfzD，有序数组 确定了空间一点 ，当 在 内变动时，对应fz, ),(zyxMPD的点 就在空间变动，即对应 P 点的轨迹就是函数 的几何图形，它通常M,f是一张曲面，其定义域 就是此曲面在 平面上的投影Do因此，二元函数在空间直角坐标中一般表示的是曲面§8.2 二元函数的极限及其连续性一、二元函数的极限与一元函数的极限类似，对于二元函数 同样可以讨论当自变量 与),(yxfzx趋向于有限数值 与 时，函数 的变化趋势，即二元函数的极限y0xy、 趋于 、 可看作成点 趋向点 ，记作 或x ),(yxP),(0yx0P),(),(0y若 ，即 ，则 就可表示P 2020200 )()()(zyx 。

),(),0yx在平面 上， 趋于 的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情o),(yx),(0y况要比一元函数复杂得多如果定义于 的某一去心邻域的一个二元函数),(0x4与一个确定的常数 ，当点 以任意方式趋向点 时， 总是),(yxf A),(yx),(0yx),(yxf趋向于一个确定的常数 ，那么就称 是二元函数 当 → 时的极),f,,0限为了区别于一元函数的极限，则把二元函数的极限叫做二重极限定义 1 设函数 在点 的某一邻域内有定义（点 除),(yxfz),(0yxP),(0yxP外） ，若点 无限地趋于点 时，恒有 （ 是任意小的正),(yxP0 APf)(数） ，则称 为函数 当 时的 二重极限，记为A),(yxfz),(,0yx或 yxfyx),(lim),(),0 APlim0用 — 语言严格给出定义 1 的二重极限的定义如下定义 2 对任意给定的正数 ，无论怎样小，总存在一正数 ，当满足202020)()()( zyx的一切 恒有),(yx APf)(成立，则常数 称为函数 当 时的 二重极限A),(yxf,,0yx例 1 函数 ,0),(22f当 沿 轴趋于 时，即 ，),(yxP),(0xy， 0limli 2)0,(,2)0,(, xyxxyx当 沿 轴趋于 时，即 ，),()0,(， lili 2)0,(,2)0,(, yyxyx当 沿着 直线趋于 时， ，),(yxPkx),( 22)0,(,2)0,(, 1lilimkyxyx 随着 的取值不同， 的值不同，所k21以 不存在。

2)0,(,liyx5注 一元函数 的极限，点 只沿 轴趋于 0，但二元函数的极限要求点)(xfyx沿以任意方式趋向点 ，若 沿 轴或沿 轴或沿平行与坐标轴的直),(yxP,0y),(yPy线或沿某一条曲线趋于 时的极限都存在，也不能确定它的极限不存在)(0x二、二重极限的运算法则正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则当 时， ， 则),(),0yxAyxf),(Byxg),((1) Bgf(2) yx),(,(3) ，其中BAgf),(0例 2 求极限 2)(cos1lim2)0,,( yxyxe解 021)(cos1li)(sli 22 2)0,(,2)0,,( yxyxyxyx e三、二元函数的连续性像一元函数一样，可以利用二重极限来给出二元函数连续的概念1．二元函数连续的概念定义 1 如果当点 趋向点 时，函数 的二重极限等于 在),(yx),(0yx),(yxf ),(yxf点 处的函数值 ，则称函数 在点 处连续如果),(0yx0f ,(f0在区域 的每一点都连续，那末称它在区域 连续fDD二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的（多元初等函数是指由常数及其具有不同自6变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的可用一个式子表示的多元函数） 如果二元函数连续，又 在其定义域 内时，当在定义域 内求函数在),(0yxDD的极限，可把用直接代入计算二元函数在点 的函数值，即为其),(),0yx),(0yx极限例 3 求极限 1)cos(2lim2)0,(, yxyx解 30)(li 22)0,(, yx2．多元函数连续性的性质性质（有界性及最大值与最小值定理）1 在有界的闭区域 上的多元连续函数，D必定在 上有界，且取得最大值与最小值D性质（介值定理）2 在有界的闭区域 上的多元连续函数必取得介于最大值和D最小值之间的任何值性质（一致连续性定理）3 在有界的闭区域 上的多元连续函数，必定在 上一致连续性3．二元函数间断性定义 2 如果函数 在 不满足连续的定义，那末我们就称),(yxfz),0是 的一个间断点),(0yx),(xf二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线例 4 求函数 的间断线xyz1sin解 与 都是函数 的间断线。

0xxyz1sin7§8.3 偏导数在一元函数中，导数就是函数的变化率对于二元函数同样要研究它的“变化率” 然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多在 平面内，当变点由xoy沿不同方向变化时，函数 的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要),(0yx ),(yxf研究 在 点处沿不同方向的变化率f),(0yx一、偏导数的概念若点 只沿着平行于 轴和平行于 轴两个特殊方位变动时，函数 有),(yxxy ),(yxf变化率则其变化率叫做偏导数1．函数在点的偏导数定义 1 设有二元函数 ，点 是其定义域 内一点，把 固定),(yxfz),(0yDy在 ，而让 在 有增量 ，相应地函数 有增量(称为对 的偏增量)0yx0xfzx),),(000yxfzx如果 与 之比当 时的极限zx存在，则此极限值称为函数 在 处对 的偏导数，记作),(yxfz),0x或0x),(0yxf注 函数 )在 处对 的偏导数，是把 固定在 ，实际上就是,(yxfz),( 0y把 看成常数后，二元函数的偏导数就转化为一元函数 在 处的导数y ),(xfz同样，把 固定在 ，让 有增量 ，如果极限x0y8存在，则此极限称为函数 在 处对 的偏导数，记作),(yxfz),0y或,0fy),(0yxf2．函数的偏导函数当函数 在 的两个偏导数 与 都存在时，则称),(yxfz),0 ),(0yxf),(0yxf在 处可导。

如果函数 在域 的每一点均可导，那末称函数),(yxf,0 ),(yxfD在域 可导此时，对应于域 的每一点 ，必有一个对 (对 )的偏导D),(yxxy数，因而在域 确定了一个新的二元函数，称为 对 (对 )的偏导函数简称,f偏导数定义 2 如果函数 在区域 内每一点 处对 的偏导数都存在，且),(yxfzD),yx是 的函数，则称它为函数 对自变量 的偏导函数，简称为偏导数，记yx、作 或xzf,),(yf类似地，可以定义函数 对自变量 的偏导函数，记作 或),(yxfzy yzf,),(yxf3．偏导数的求法求 时，只要把其它自变量看成常数而对 求导数即可；求 时，只要把其它xf xyf自变量看成常数，对 求导数即可这是因在求偏导数时只有一个变量在变，其它y变量固定的原因，故可按一元函数的求导方法求之例 1 求 的偏导数zsin29解 把 看作常量对 求导数，得yxyxzsin2把 看作常量对 求导数，得xyco例 2 求 的偏导数zxu2解 根据二元函数的偏导数的求法来做把 和 看成常量对 求导，得yzxzyxu2把 和 看成常量对 求导，得 .xyy2把 和 看成常量对 求导，得yz2zxu例 3 求函数 在点 处的两个偏导数223yxz)1,(解 ∵ ，xz4∴ ，132)1,2( z 2143)1,2( yz例 4 设 ，求证0xy zyxzy2ln1证明 ∵ ，1yxzl∴ +yzyln1yxlnxylzy2例 5 设 ，求证22xu101)()(222zuyxu证明 ∵ uxzyxzyxu  22222)(1同理 ，uyz∴ 222)()(zuyx 12zyx例 6 函数 ，求 和0,0),(22yxf ),(xf)0,(yf解 lim,),(limli),0( 000  ffzf xxxx同理 ,yf注 （1）偏导数符号 、 是一个整体的记号，不能认为是 与 、 与xzy zxz的商。

y（2）函数在点的偏导数实在是偏导函数在点的函数值（3）对。