2024届备战高考数学易错题《三角函数》含答案解析.pdf

高中高中1专题专题 05 三角函数三角函数易错点一易错点一：三角函数值正负判断不清导致错误三角函数值正负判断不清导致错误（任意角任意角、弧度制及任弧度制及任意角的三角函数意角的三角函数）1角的概念角的概念（1）任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角（2）所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是ZkkS，360（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限（4）象限角的集合表示方法：2弧度制弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0（2）角度制和弧度制的互化：rad180，rad1801，180rad1（3）扇形的弧长公式：rl，扇形的面积公式：22121rlrS3任意角的三角函数任意角的三角函数高中高中2（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点)(yxP，时，则ysin，xcos，)0(tanxxy（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点 P)(yxP，是角终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则rysin，rxcos，)0(tanxxy三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinRcosRtan2|Zkk，记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦4三角函数线三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过 A（1，0）作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点 T三角函数线有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向线段 AT 为正切线易错提醒易错提醒：（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数()k kZ赋值来求得所需的角（2）确定*,kkNk的终边位置的方法先写出k或k的范围，然后根据k的可能取值确定k或k的终边所在位置（3）利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.例例 如图，已知两质点 A，B 同时从点 P 出发，绕单位圆逆时针做匀速圆周运动，质点 A，B 运动的高中高中3角速度分别为 3rad/s 和 5rad/s，设两质点运动sx时这两质点间的距离为 fx(1)求 fx的解析式；(2)求这两质点从点 P 出发后第 n 次相遇的时间nx（单位：s）变式变式 1如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11,P x y，5cos5.(1)求1y的值；(2)射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点22(,)M xy，点N与M关于x轴对称，求tanMON的值.变式变式 2角的终边与单位圆交于点12 5,13 13P，分别写出点 P 关于 x 轴、y 轴和原点对称的点的坐标，并求角，2的正弦函数值、余弦函数值变式变式 3如图，已知OPQ是半径为 1，圆心角为42的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，设(0)POC.高中高中4(1)若5,124，求线段OA的长；(2)已知当6时，矩形ABCD的面积S最大.求圆心角的大小，并求此时矩形ABCD面积S的最大值是多少？1已知角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点(3,4)P，则sincos22sin2cos22（）A2B12C12或 2D142在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的正半轴上，终边过点,6m，且tan3，则cos（）A105B1010C105D10103 在平面直角坐标系 xOy 中，若角以坐标原点为顶点，x 轴非负半轴为始边，且终边过点32,12，则sin()yx取最小值时 x 的可能取值为（）A43B3C56D34已知是第三象限角，则点cos,sin2Q位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5已知角终边上有一点22sin,cos33P，则为（）A第一象限角B第二象限角高中高中5C第三象限角D第四象限角6已知角0,2，终边上有一点cos2sin2,cos2sin2，则（）A2B324C724D227已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两个点1,Aa，2,Bb，且2cos23，则ab（）A55B55C55或55D2 55或2 558已知角的终边落在直线2yx 上，则2cos2sin23的值为（）A1B1C1D39已知角的终边与单位圆的交点为3,2P x，则cos2（）A12B12C32D3210下列说法正确的是（）A若sinsin，则与是终边相同的角B若角的终边过点3,40Pkkk，则4sin5C若扇形的周长为 3，半径为 1，则其圆心角的大小为 1 弧度D若sincos0，则角的终边在第一象限或第三象限11如图所示，角的终边与单位圆O交于点13,22P，将OP绕原点O按逆时针方向旋转2后与圆O交于点Q.(1)求Qy；(2)若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a，2b，sinQAy，求ABCS.高中高中6易错点二易错点二：诱导公式认识不清导致变形错误诱导公式认识不清导致变形错误（同角三角函数的基本关同角三角函数的基本关系与诱导公式求值问题系与诱导公式求值问题）1同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系（1）平方关系：1cossin22（2）商数关系：)2(tancossink；2三角函数诱导公式三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Zkk22正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限题型题型 1同角三角函数关系齐次化同角三角函数关系齐次化（1）利用方程思想，对于sin,cos,tan，由公式22sinsincos1,tancos，可以“知一求二”对于sincos,sincos，由下面三个关系式222(sincos)12sincos,(sincos)(sincos)2，可以“知一求二”（2）sin,cos的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin,cos的齐次式，或含有22sin,cos及2sincos的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sincos1”代换后转化为“切”求解题型题型 2利用诱导公式化简及其计算利用诱导公式化简及其计算（1）诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；化简：统一名，统一角，同角名少为终了高中高中7（2）学会诱导公式的逆用，如sinsin(),coscos()等，再如2sinsin33yxx，能将sin3yx中x的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号（3）学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为2的整数倍技巧技巧：1利用1cossin22可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tancossin可以实现角的弦切互化2“cossincossincossin，”方程思想知一求二222(sincos)sincos2sincos1sin2 222(sincos)sincos2sincos1sin2 22(sincos)(sincos)2易错提醒：易错提醒：奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可。

例例 已知4tan3(1)求22sin2cos的值(2)求o2sinsin23c scos2的值变式变式 1已知,均为锐角，且310sin,sin()510(1)求tan()的值；(2)求cos(2)的值变式变式 2 已知1cos3，且02，化简并求cos sin 2tan 23sincos22的值.变式变式 3已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点3,4P.(1)求cossin2的值；(2)若锐角满足12cos13，求sin的值.高中高中81若1tan3，则sin2cos2（）A15B14C12D752已知1530,cos,sin2175，则cos（）A8485B3685C1385D77853在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的正半轴上，终边过点,6m，且tan3，则cos（）A105B1010C105D10104已知1sincos3，则2222sin4cossin44（）A23B19C89D185已知为锐角，3sin35，则sin（）A34 310B4 3310C34 310D34 3106已知(,0)2，且tan()3cos24，则sin2（）A16B13C23D567若0,，且1cossin2，则tan（）A475B475C473D4738已知1sincos5，(0,)，则（）A3tan4 B7cos225 Ctan22D2cos4109已知sincos3cossin66，则tan.高中高中910已知是第四象限角，且满足7sincos13，则tan11若02，且tan2，则sincoscos2易错点三易错点三：忽视三角函数图象变换研究对象选取忽视三角函数图象变换研究对象选取（三角函数的图象和三角函数的图象和性质性质）1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数xysin，20，x的图象中，五个关键点是：3(0 0)(1)(0)(1)(20)22，（2）在余弦函数xycos，20，x的图象中，五个关键点是：3(0 1)(0)(1)(0)(21)22，函数xysinxycosxytan图象定义域RR2|kxRxx，值域 11，11，R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2222kk，22kk，)22(kk，递减区间23222kk，22kk，无对称中心)0(，k)02(，k)02(，k高中高中102正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中Zk）注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T；3)sin(wxAy与)0,0)(cos(wAwxAy的图像与性质（1）最小正周期：）最小正周期：wT2（2）定义域与值域定义域与值域：)sin(wxAy，）wxAycos(的定义域为的定义域为 R，值域为值域为-A，A（3）最值）最值假设00wA，对于)sin(wxAy，;)(22;)Z(22AZkkwxAkkwx时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当对于）wxAycos(，;)(2;)Z(2AZkkwxAkkwx时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当（4）对称轴与对称中心）对称轴与对称中心假设00wA，对于)sin(wxAy，).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2000000 xwxywxZkkwxxxwxywxZkkwx的对称中心为时，即当的对称轴为时，即当对于）wxAycos(，对称轴方程2 kxkx 无高中高中11).0,()cos(0)cos()(2)cos(1)cos()(000000 xwxywxZkkwxxxwxywxZkkwx的对称中心为时，即当的对称轴为时，即当正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位置（5）单调性）单调性假设00wA，对于)si。