挑战满分大题专练（七）—概率（2）.doc

挑战满分大题专练（七）—概率（2）1．有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏．（1）求先摸球者获胜的概率；（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第1次游戏由小李先摸球，并且某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球．每次游戏获胜者得1分，但若先摸球者输则分，后摸球者输则得0分．记3次游戏中小李的得分之和为，求的分布列和数学期望．解：（1）记事件：“在一次游戏中先摸球者获胜”，先摸球者获胜等价于将这5个球进行排序，第2个黑球排在3号位置或5号位置，共有种，而2个黑球共有种位置，故．（2）小李得分的所有可能取值为，，0，1，2，3，记事件为“第次游戏中小李先摸球获胜”，记事件为“第次游戏中小张先摸球获胜”，则，，，，，，，所以的分布列为0123．2．在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活、新奋斗的起点．”某农户计划于2021年初开始种植新型农作物．已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调在发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：该农作物亩产量9001200概率0.50.5该农作物市场价格（元3040概率0.40.6（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为元，求的分布列；（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率．解：（1）由题意知：，，，，的所有可能取值为：25000，34000，46000，设表示事件“作物亩产量为”，则（A），表示事件“作物市场价格为30元”，则（B），则，，，的分布列为：2500034000460000.20.50.3（2）设表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于3000元”，则（C），设这三年中有年有纯收入不少于30000元，则有，这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于3000元的概率为：．3．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．（1）若按方案一且，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；（2）若，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求的取值范围．解：（1）用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则，由题意可知，；（2）方案一：逐个检验，检验次数为4；方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，所以，，所以随机变量的分布列为：15所以方案二检测次数的数学期望为；方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为，若呈阳性则检测次数为3次，其概率为，设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为2，4，6，所以，，，所以随机变量的分布列为：246所以方案三检测次数的期望为，因为，所以选择方案一最优．（3）方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，所以，，随机变量的分布列为：15所以随机变量的数学期望为，由于“方案二”比“方案一”更“优”，则，可得，即，解得，所以当时，方案二比方案一更“优”．4．全面建成小康社会，一个也不能少，2020年是我国全而打赢脱贫攻坚战的收官之年．某地区围绕脱贫攻坚作出一系列重大部署和安排，鼓励农户利用荒坡种植中药材脱贫致富．某农户考察三种不同的药材苗，，，经引种试验后发现，引种苗的自然成活率为0.8，引种苗，的自然成活率均为．（1）任取苗，，各一株，估计自然成活的株数为，求的分布列及；（2）将（1）中的取得最大值时的值作为种药材苗自然成活的概率．该农户决定引种株种药材苗，引种后没有自然成活的苗中有的苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的苗不能成活．①求一株种药材苗最终成活的概率；②若每株药材苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每株亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种药材苗多少株？解：（1）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，所以，，，，所以的分布列为：0123所以；（2）当时，取得最大值．①一株药材苗最终成活的概率为；②记为株药材的成活株数，为株药材的利润，则，，，，要使，则有，所以该农户至少种植700株药材，就可获利不低于20万元．5．某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，将其且份血液样木分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中且份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．①记为随机变量的数学期望．若，运用概率统计的知识，求出关于的函数关系式，并写出定义域；②若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值．参考数据：，，．解：（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件，则；（2）①根据题意，可知，的可能值为1，，则，，所以，由，得，所以且；②由于，则，所以，即，设，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，又（8），（9），所以的最大值为8．6．新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如表：100位男性居民评分频数分布表分组频数，3，12，72，8，5合计100100位女性居民评分频数分布表分组频数，5，15，64，7，9合计100（Ⅰ）求这100位男性居民评分的均值和方差；（Ⅱ）已知男性居民评分服从正态分布，用表示，用表示，求；（Ⅲ）若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有的把握认为居民是否满意与性别有关？附：，，．参考公式，．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.2046.6357.87910.828解：（1）由频率分布表可知，．（2）由已知和（1）可知，因为，所以．（3）由已知条件可得列联表如下：满意不满意总计男性8515100女性8020100总计16535200所以的观测值，因为，所以没有的把握认为居民是否满意与性别有关．。