多次相遇问题-12页.pdf

v1.0 可编辑可修改11“ 多次相遇问题 ” 剖析一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行现在分开向大家一一介绍：(一) 两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a 处，( 为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出) 则共走了 1 个全程，到达对岸b 后两人转向第二次迎面相遇在c 处，共走了 3 个全程， 则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2 倍之后的每次相遇都多走了2 个全程所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n 次相遇两人走的路程和为(2n-1)S ，S为全程而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2 倍，分开看每个人都是2 倍关系，经常可以用这个2倍关系解题即对于甲和乙而言从a 到 c 走过的路程是从起点到a 的 2 倍v1.0 可编辑可修改22相遇次数全程个数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4 份，甲 1 分钟走 1 份，乙 1 分钟走 5 份。

则第一次背面追及相遇在a处，再经过1 分钟，两人在b 处迎面相遇，到第3 分钟，甲走3 份，乙走 15 份，两人在 c 处相遇我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1 个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2 倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2 倍依次类推，得：第n 次背面追及相遇两人的路程差为 (2n-1)S 二) 单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况1、迎面碰头相遇：v1.0 可编辑可修改33如下图，假设甲、乙两人同时从A 端出发，假设全程为3 份，甲每分钟走2 份，乙每分钟走 4 份，则甲乙第一次迎面相遇在a 处，此时甲走了2 份，乙走了4 份，再过 1分钟，甲共走了4 份，乙共走了8 份，在 b 处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次类推，可得出：当第n 次碰头相遇时，两人的路程和为2ns2、背面追及相遇与迎面相遇相似，假设全程为3 份，甲每分钟走1 份，乙每分钟走7 份，则第一次背面相遇在a 处，2 分钟后甲走了2 份，乙走了14 份，两人在 b 处相遇。

第一次相遇，两人走的路程差为2S，第二次相遇两人走的路程差为4S，依次类推， 可以得出：当第n次追及相遇时，两人的路程差为2ns直线型”总结( 熟记)两岸型：第 n 次迎面碰头相遇，两人的路程和是(2n-1)S 第 n 次背面追及相遇，两人的路程差是(2n-1)S 单岸型：第 n 次迎面碰头相遇，两人的路程和为2ns第 n 次背面追及相遇，两人的路程差为2nsv1.0 可编辑可修改44下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：模型一 ：根据 2 倍关系求AB两地的距离例 1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A，乙从 B 同时出发，第一次相遇点距 B60 米，当乙从A处返回时走了10 米第二次与甲相遇A、B相距多少米A、 150 B、 170 C、 180 D、200【答案及解析】 B如下图，第一次相遇在a 处，第二次相遇在b 处，aB 的距离为60，Ab的距离为 10以乙为研究对象，根据2 倍关系，乙从 a 到 A，再到 b 共走了第一次相遇的 2 倍，即为 602=120 米，Ab为 10，则 Aa 的距离为 120-10=110 米，则 AB距离为 110+60=170米。

模型二 ：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数例 2】甲、乙两人在长30 米的泳池内游泳，甲每分钟游米，乙每分钟游米两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1 分 50 秒内两人共相遇多少次A、2 B、3 C 、4 D 、5v1.0 可编辑可修改55模型三 ：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离例 3】甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发，在A、B间不断往返行驶甲车每小时行20 千米，乙车每小时行50 千米，已知两车第10 次与第 18 次迎面相遇的地点相距60 千米，则 A、B相距多少千米A、95 B、100 C、105 D、110【答案及解析】 C走相同时间内，甲乙走的路程比为20：50=2：5将全程看成7份，则第一次相遇走1 个全程时， 甲走 2份，乙走 5 份以甲为研究对象 ( 也可以以乙 ) ，第 10 次迎面相遇走的全程数为210-1=19 个，甲走 1 个全程走 2 份，则走 19 个全程可走 192=38 份 7份是一个全程，则38 份共有 387=53 份( 当商是偶数时从甲的一端数， 0 也是偶数；当商是奇数时从乙的一端数，比如第1个全程在乙的一端，第2个全程在甲的一端) 从乙端数 3 份。

同理当第18 次相遇，甲走的份数为 (218 - 1)2=70份共有 707=10 个全程， 10 为偶数在甲的端点如下图：则第 10 次相遇与第18 次相遇共有 4 份为 60 千米，所以AB长为(60/4) 7=105 千米v1.0 可编辑可修改66点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全程的份数，找一个为研究对象，看在相遇次数内走的全程数，从而转化为份数，然后根据一个全程的份数，将研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数，注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端数例 4】甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发，在A、B间不断往返行驶甲车每小时行45 千米， 乙车每小时行36 千米，已知两车第2 次与第 3 次迎面相遇的地点相距40千米，则 A、B相距多少千米A、90 B、180 C、270 D 、110【答案及解析】 A法一：同上题相同时间，甲、乙路程比为45：36=5：4，则将全程分成 9 份则一个全程时甲走5 份，乙走 4 份以甲为研究对象，第2 次相遇，走的全程数为22-1=3 个，则甲走的份数为35=15 份，一个全程为9 份，则第 2 次相遇甲走的份数转化为全程的个数为159=16 份，则从乙端数6 份。

第 3 次相遇走的份数为(23- 1)5=25 份，转化为全程的个数为259=27，则从甲端数7 份如下图：由图第 2 次和第 3 次相遇之间共有4 份为 40 千米，则 AB相距(40/4) 9=90 千米法二：在此引入“沙漏模型” 利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的路线图，两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点s-t图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”本题中，甲、乙走到端点用的时间比为36：45=4：5如下图：v1.0 可编辑可修改77根据路线图看出甲乙第2 次相遇和第3 次相遇的交点E 和 O，根据三角形相似，可得 CE:EG=3:6=1:2，则求得第 2 次相遇距 A地的比例为S/3，同理 DO:ON=7 ：2，则第 3次相遇距 A地的比例为7S/9，则两次相遇比例为为 40 千米，则 S=90千米点评：考生如果能掌握“沙漏”模型，则会直观快速的提高解题速度用交点判断是迎面相遇还是背面相遇的技巧：看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则说明是背面相遇，不同岸则说明是迎面相遇。

用时注意：一般题干涉及到的相遇次数较少时可画，相遇次数太多，则会花费大量时间，不利于提高速度；画时的单位刻度要看时间比，如果时间比中的数据较大可把刻度画大模型四 ： 告诉两人的速度， 相遇次数较少时， 利用 s-t图形成“沙漏”模型速解例 5】A、B 两地相距 950 米甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时甲步行，每分钟走 40 米；乙跑步，每分钟行150 米则甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近A、1 B、2 C、3 D、4v1.0 可编辑可修改88【答案及解析】 B利用“沙漏模型”甲乙走到端点用的时间比为150：40=15：4，半小时两人共走的全程数为个对于单岸型， 相遇 6 个全程，则是迎面第三次相遇( 由前边公式推出 ) 画出 s-t图：观察上图可知，可第3 次迎面相遇的过程中，甲乙有一次背面相遇(交点由同一点引出 )而在三次迎面相遇中第2 次相遇离 B 地最近，并且可根据三角形相似求出离B地的距离例 6】河道赛道长120 米，水流速度为2 米/ 秒，甲船静水速度为6 米/ 秒，乙船静水速度为 4 米/ 秒比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇A、48 B、50 C、52 D、54【答案及解析】 C。

由题知，得出如下关系：顺流逆流甲8(15)4(30)乙6(20)2(60)注：( ) 中为走完全程的时间v1.0 可编辑可修改99假设 A到 B是顺流，由上表可知甲、乙两人第2 次迎面相遇共有4 个全程由于甲的速度快，则第2 次相遇前甲已走了2 个全程共 15+30=45秒当第 45 秒时乙走了一个顺流全程20 秒和 25 秒的逆流，走的路程为252=50 米，则在剩余的70 米内，甲乙分别以顺流和逆流相遇时间为t ，则有 70=(8+2)t ， 求得 t=7 秒，则共用时间45+7=52秒本题同样可用“沙漏模型”解决根据上表中的速度关系，可得出一个全程时的时间关系如下：顺流逆流甲36乙412根据时间的关系，得出s-t图像，如下：观察上图，可看出第二次迎面相遇在P 点，以甲为研究对象计算时间，此时甲走了一个顺流，一个逆流，另外EP段为顺流，根据三角形相似可求出走EP用的时间EP:PN=EF:MN=7:8 ，由上表，求出走EP用的时间为，则甲共走的时间为15+30+7=52v1.0 可编辑可修改1010二、环型环型主要分两种情况， 一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇( 不可能背面相遇 ) ，一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇( 不可能迎面相遇 ) 。

分开讨论如下：(一) 甲、乙两人从A 地同时反向出发：如下图，一个周长分成4 份，假设甲是顺时针每分钟走1 份到 B，乙是逆时针每分钟走 3 份到 B，则第一次相遇两人走了1 个周长，则再过1 分仲，甲再走1 份到 C，同样乙走 3 份也到 C，则第二次相遇共走了2 个周长，依次类推，可得出：第n 次迎面相遇共走了 n 圈二) 甲、乙两人从A 地同时同向出发：如下图，全程分成4 份假设甲、乙两人都是顺时针同时出发，甲每分钟走1 份，乙每分钟走5 份，则 1 分钟后两人在B处第一次背面追及相遇，两人走的路程差为1个周长再过1分钟后，甲到C处，乙也到 C处，两人第二次背面追及相遇，多走的路程差同样为一个周长，依次类推，可以得出：第n 次背面追及相遇，路程差为n 圈v1.0 可编辑可修改1111环型多次相遇问题相对比较简单，当甲、乙不在同一地点出发时相对具有难度比如在直径两端出发考生可通过下面的例题把握例 1】老张和老王两个人在周长为400 米的圆形池塘边散步老张每分钟走9 米，老王每分钟走16 米现在两个人从同一点反方向行走，那么出发后多少分钟他们第三次相遇A、33 B、45 C 、48 D 、56【答案及解析】 C。

第一次迎面相遇时间为400(9+16)=16，则第三次迎面相遇时间为 163=48例 2】小明、小亮从400 米环形跑道的同一点出发，背向而行当他们第一次相遇时，小明转身往回跑；再次相遇时，小亮转身往回跑；以后的每次相遇分别是小明和小亮两人交替。