动态几何之“双动点”问题(含解析).pdf

动态几何之“双动点”问题（含解析）1.已知 ，如图 ， 在ABC 中，已知AB= AC= 5 cm，BC= 6 cm点 P 从点 B 出发 ，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1 cm/s； 同时 ，直线 QD 从点 C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1 cm/s，且 QDBC，与AC，BC 分别交于点D，Q；当直线QD 停止运动时，点P 也停止运动连接PQ，设运动时间为t（0t3）s解答下列问题：（1）当 t 为何值时， PQ/AC ？（2）设四边形APQD 的面积为y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使 S四边形 APQD：S ABC= 23：45？若存在 ，求出 t 的值 ；若不存在 ，请说明理由第 1 题图解： （1）当 t s 时, PQ/AC ，点 P 从点 B 出发 ， 沿 BA 方向匀速运动 ，速度为 1 cm/s； 同时 ，直线 QD 从点 C 出发 ，沿 CB 方向匀速运动， 速度为 1 cm/s， BPt，BQ6- t PQ/AC ， BPQ BAC，第 1 题解图CBQBBABP，即665tt，解得 t1130s当 t 为1130s 时，PQ/AC ；（2）过点 A、P 作 ANBC，PMBC 于点 N、M， ABAC5cm，BC6cm， BNCN3cm， AN222235BNAB4cm ANBC，PMBC， BPM BAN，ANPMABBP，即45PMt， 解得 PMt54， S BPQ21BQPM21（6- t）t54tt512522， ABAC5cm，AN= 4cm, CN= 3cm, DQ/AN , CDQ CAN，CNCQANDQ，即34tDQ，DQ=34t, S CDQ21CQDQ32t2 S ABC21BCAN=216412， yS四边形 APQDS ABC- S CDQ- S BPQ12-32t2- （tt512522） 12-tt5121542（ 0t3） ；（3）存在 由（2）知 ，S四边形 APQDS ABC- S CDQ- S BPQ12-21t2- （tt512522） 12-tt5121542，S ABC12，452312512154122tt-，解得 t14 114123，t24 114123（舍去） 当 t4 114123s 时，S四边形 APQD：S ABC 23：452.如图 ，在 RtABC 中 ， C90 ，AB10，BC 6，点 P 从点 A 出发 ，沿折线 AB- BC 向终点 C 运动，在 AB 上以每秒5 个单位长度的速度运动，在 BC 上以每秒3 个单位长度的速度运动，点 Q 从点 C出发 ，沿 CA 方向以每秒34个单位长度的速度运动，P、Q 两点同时出发，当点P 停止时 ，点 Q 也随之停止设点P 运动的时间为t 秒（1）求线段AQ 的长 ； （用含 t 的代数式表示）（2）连接 PQ，当 PQ 与ABC 的一边平行时，求 t 的值 ；（3）如图，过点P 作 PE AC 于点 E，以 PE，EQ 为邻边作矩形PEQF，点 D 为 AC 的中点，连接DF设矩形 PEQF 与ABC 重叠部分图形的面积为S当点 Q 段 CD 上运动时， 求 S与 t 之间的函数关系式；直接写出DF 将矩形 PEQF 分成两部分的面积比为 1：2 时 t 的值第 2 题图解： （1）在 Rt ABC 中， C90， AB10，BC 6，由勾股定理得：AC2222610BCAB8，点 Q 在 CA 上，以每秒34个单位移动 ， CQ34t， AQAC- CQ= 8-34t（2）P 点从 AB-BC 总时间36510= 4s,点 P 在 AB 或 BC 上运动，点Q 在 AC 上， PQ 不可能与AC 平行 ，当点 P 在 AB 上，则 PQ/BC ，此时ACAQABAP，即834810t5t，解得 t=s23;当点 P 在 BC 上,此时 PQ/AB，CACQBCCP，即46-3 t2368t（），解得 t3s，综上所述 ，t32s 或 3s 时 ，PQ 与 ABC 的一边平行 ；（3）点 D 是 AC 的中点 ， CD= 4，当点 Q 运动到点D 时，t344，解得t3，点 Q 与点 E 重合时 ，t316 AC8，得 t23，分三种情况讨论如下：（i）点 Q 与点 E 重合时 ，316tAC8，得 t23，当 0t23，此时矩形PEQF 在ABC 内 ，如解图所示 ， AP5t，易得 AE4t，PE3t， EQAQAE834t4t8316t， SPE EQ3t（8316t） 16t24t；第题解图（ii ）点 P 与点 B 重合时 ，5t10，得 t2，当23t2 时，如解图所示，设 QF 交 AB 与 T，则重叠部分是矩形PEQF 的面积减去 PFT 的面积 AQ834t， QT43AQ=43（834t）= 6-t， FT= PE-QT= 3t-( 6-t)= 4t-6,EQ= AE- AQ= 4t-( 8-34t)=316t-8, S= PE EQ-21EQ Ft= 3t（316t-8)-21（316t- 8)（4t-6）=316t2+8t- 24；(iii )当 2 t3, 点 P 在 BC 上，且点 F 在ABC 外，如解图所示，此时点 E 与点 C 重合 ，PC63（t2）123t，QC34t，QT43(8-34t) 6t，BP3（t2），PR34 3（t2）4t8，FRFPPR34t（ 4t8） 838t，FT43FR62t SPT QC21FR FT（ 123t）34t21（ 838t）（ 62t）320t+ 32t24；第题解图53，56.3.如图 ，在 RtABC 中， ABC 90 ，AB3， BC4动点 P 从点 A 出发沿 AC 向终点 C 运动 ，同时动点 Q 从点 B 出发沿 BA 向点 A 运动 ，到达 A 点后立刻以原来的速度沿AB 返回 点 P，Q 运动速度均为每秒 1 个单位长度，当点P 到达 C 时停止运动 ，点 Q 也同时停止连接PQ，设运动时间为t（0t5）秒（1）当点 Q 从 B 点向 A 点运动时（未到达点A）求 S APQ与 t 的函数关系式；写出 t 的取值范围 ；（2）在（ 1）的条件下 ，四边形 BQPC 的面积能否为ABC 面积的1513？若能 ，求出相应的t 值；若不能，说明理由 ；（3）伴随点P、Q 的运动 ，设线段 PQ 的垂直平分线为l，当 l 经过点 B 时，求 t 的值第 3 题图解： （1）在 RtABC 中，由勾股定理得：AC222243BCAB 5；如解图 ，过点 P 作 PHAB 于点 H，APt，AQ3- t，第 3 题解图则AHP ABC90 ， PAHCAB，AHP ABC，BCPHACAP， APt，AC5，BC4， PH 54t， S APQ21（3- t）54t，即 S-2t52t56，t 的取值范围是：0t3（2）在（ 1）的条件下 ，四边形 BQPC 的面积能为 ABC 面积的1513理由如下：依题意得：-2t52t56=21152 34，即-2t52t56=54整理，得（ t- 1）（ t- 2） 0，解得 t11， t22，又 0 t3，当 t1 或 t2 时，四边形BQPC 的面积能为 ABC 面积的1513；（3）如解图，当点Q 从 B 向 A 运动时 l 经过点 B，第 3 题解图BQBPAPt， QBPQAP， QBPPBC90 ， QAPPCB 90 PBCPCB， CPBPAPt CPAP21AC21 52.5， t 2.5；如解图，当点Q 从 A 向 B 运动时 l 经过点 B，第 3 题解图BPBQ3- （ t- 3） 6- t，AP t，PC5- t，过点 P 作 PGCB 于点 G，则 PG/AB， PGC ABC，BCGCABPGACPC， PGACPC AB53（ 5- t），CGACPCBC54（5- t）， BG4-54(5- t）54t，由勾股定理得BP2BG2 PG2，即（ 6- t）2（54t）2 53（5- t）2，解得 t1445综上所述 ，伴随点 P、Q 的运动 ，线段 PQ 的垂直平分线为l， 经过点 B 时， t 的值是 2.5 或14454.如图 ，在 RtABC 中，C90 ，AC6 cm，BC8 cm，D、E 分别是 AC、AB 的中点，连接DE，点P 从点 D 出发 ，沿 DE 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q 从点 B 出发 ，沿 BA 方向匀速运动 ，速度为 2cm/ s，当点 P 运动到点E 停止运动 ， 点 Q 也停止运动 连接 PQ，设运动时间为t（s）（ 0t4）解答下列问题：（1）当 t 为何值时 ，PQAB？（2）当点 Q 在 BE 之间运动时 ，设五边形PQBCD 的面积为y（cm2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）在（ 2）的情况下 ，是否存在某一时刻t，使 PQ 分四边形BCDE 两部分的面积之比为S PQE：S五边形 PQBCD1：29？若存在 ，求出此时t 的值以及点E 到 PQ 的距离 h；若不存在 ， 请说明理由 解： （1）如解图，在Rt ABC 中，第 4 题解图AC6，BC8， AB228610 D、E 分别是 AC、AB 的中点 ，ADDC3，AEEB5，DE/BC 且 DE21BC4， PQAB， PQBC90 ，又DE/BC ， AEDB， PQE ACB，BCQEABPE. 由题意得： PE 4- t， QE2t- 5，即852104tt，解得 t1441；（2）如解图 ，过点 P 作 PMAB 于 M，由 PME ACB，得ABPEACPM，10t-46PM， 得 PM53（4- t）S PQE21EQ PM21（5- 2t）53（ 4- t）53t2-1039t6，S梯形 DCBE21（48）318， yS梯形 DCBE- S PQE= 18- （53t2-1039t6）-53t2+1039t12（3）假设存在时刻t，使 S PQE：S五边形 PQBCD1：29，则此时 S PQE301S梯形 DCBE，53t2-1039t630118，即 2t2- 13t180，解得 t12， t229（舍去）当 t2 时，PM53（4- 2）=56，ME54（4- 2）58，EQ5- 2 2 1，MQMEEQ581513， PQ22MQPM5205513562221PQhS PQE=53， h56)2056(20520562055或. 5.如图，在RtABC 中， ACB= 90 ，AC= 8，BC= 6，CDAB 于点 D点 P 从点 D 出发 ， 沿线段 DC向点 C 运动 ，点 Q 从点 C 出发 ，沿线段 CA 向点 A 运动 ，两点同时出发 ，速度都为每秒1 个单位长度 ，当点 P 运动到 C 时，两点都停止 设运动时间为t 秒（1）求线段CD 的长 ；（2）设 CPQ 的面积为S，求 S与 t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得 S CPQ：S ABC= 9： 100？若存在 ，求出 t 的值 ；若不存在 ，则说明理由 ；（3）是否存在某一时刻t，使得 CPQ 为等腰三角形 ？若存在，求出所有满足条件的t 的值 ；若不存在 ，则说明理由 解： （1）如解图 ， ACB90 ，AC 8，BC6， AB10 CD AB， S ABC21BC?AC21AB?CD CD1086ABACBC4.8，线段 CD 的长为 4.8；（2）过点P 作 PHAC，垂足为 H，如解图 所示由题可知DPt，CQt， 则 CP 4.8- t ACBCDB90 ， HCP90 - DCBB PH AC， CHP 90 , CHPACB， CHP BCA，ABPCACPH, 10t8 .48PH， PH t54-2596， S CPQ21CQ PH21t（t54-2596）-52t2+2548t；存在。