数列放缩法技巧38页.doc

附件 数列放缩法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩 例1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以技巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证： 解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式 知道这是显然成立的，所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,, 当时,,所以综上有 例4.(2008年全国一卷) 设函数.数列满足..设，整数.证明:. 解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知 ,, 因为,于是例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证只要证: 故只要证,即等价于,即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以 从而例7.已知,,求证:证明: ,因为 ,所以所以二、函数放缩例8.求证：.解析:先构造函数有,从而因为 所以例9.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证:解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:(加强命题)例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以例14. 已知证明.解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。

于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立， 求证：解析:(I),所以函数上是增函数(II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到(3) …… 相加后可以得到: 所以令,有 所以(方法二)所以又,所以例16.(2008年福州市质检)已知函数若解析:设函数 ∴函数）上单调递增，在上单调递减. ∴的最小值为，即总有 而 即 令则 例17. ⑴设函数，求的最小值；⑵设正数满足，证明．解析:对函数求导数：于是当在区间是减函数，当在区间是增函数.所以时取得最小值，，（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.（ii）假定当时命题成立，即若正数，则当时，若正数令则为正数，且由归纳假定知 ①同理，由可得 ②综合①、②两式即当时命题也成立.根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.证法二：令函数利用（Ⅰ）知，当对任意. ①下面用数学归纳法证明结论.（i）当n=1时，由（I）知命题成立.（ii）设当n=k时命题成立，即若正数 由①得到 由归纳法假设 即当时命题也成立. 所以对一切正整数n命题成立.例18. 设关于x的方程有两个实根，且，定义函数若为正实数，证明不等式：.解析:当上为增函数, 由可知同理可得又由（Ⅰ）知所以三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得 即例20.证明:解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分类放缩 例21.求证: 解析: 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.(1)证明>>4，; (2)证明有，使得对都有<. 解析:(1) 依题设有：，由得： ,又直线在轴上的截距为满足 显然，对于，有(2)证明：设，则 设，则当时，。

所以，取，对都有：故有<成立例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论解析:首先求出,∵∴,∵,,…,故当时,,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:. 解析:容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证.五、迭代放缩例25. 已知,求证:当时, 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论例26. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<解析: 又 所以六、借助数列递推关系 例27.求证: 解析: 设则,从而,相加后就可以得到所以例28. 求证:解析: 设则,从而,相加后就可以得到例29. 若,求证:解析: 所以就有七、分类讨论 例30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数，有解析:容易得到,由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当且为奇数时 （减项放缩），于是 ①当且为偶数时②当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证。

八、线性规划型放缩例31. 设函数.若对一切，，求的最大值解析:由知 即 由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为因此对一切，的充要条件是， 即，满足约束条件，　　　由线性规划得，的最大值为5．九、均值不等式放缩例32.设求证 解析: 此数列的通项为，，即注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：解析: 例34.已知为正数，且，试证：对每一个，.解析: 由得，又，故，而，令，则=，因为，倒序相加得=，而，则=，所以，即对每一个，. 例35.求证解析: 不等式左=，原结论成立.例36.已知,求证: 解析: 经过倒序相乘,就可以得到 例37.已知,求证: 解析: 其中:,因为 所以 从而, 所以.例38.若,求证:.解析: 因为当时,, 所以,所以,当且仅当时取到等号. 所以 所以所以例39.已知,求证:. 解析:.例40.已知函数f(x)=x2－(－1)k2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,求证: [f’(x)]n－2n－1f’(xn)≥2n(2n－2).解析: 由已知得， (1)当n=1时，左式=右式=0.∴不等式成立. (2), 左式= 令由倒序相加法得： ， 所以所以 综上，当k是奇数，时，命题成立例41. （2007年东北三校）已知函数 （1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围； （2）令求证： 例42. (2008年江西高考试题)已知函数,. 对任意正数,证明：．解析:对任意给定的,,由,若令 ，则 ① ,而 ②（一）、先证；因为，，， 又由 ，得 ． 所以 ．（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则（ⅰ）、当，则，所以，因为 ， ，此时．（ⅱ）、当③，由①得 ,，， 因为 所以 ④ 同理得⑤ ，于是 ⑥ 今证明 ⑦, 因为 ， 只要证 ，即 ，也即 ，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得 ．综上所述，对任何正数，皆有．例43.求证:解析:一方面:(法二) 另一方面:十、二项放缩 ,, 例44. 已知证明解析: ， 即例45.设，求证：数列单调递增且解析: 引入一个结论：若则（证略）整理上式得（）以代入（）式得即单调递增。

以代入（）式得此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。