常微分方程61.ppt

第六章 非线性微分方程6.1 稳定性简述v本章将讨论非线性常微分方程，非线性模型往往更能反映运动过程的本质，而非线性常微分方程大多数都不能直接求解v利用稳定性与定性理论研究常微分方程v利用分支与混沌理论研究常微分方程v本章第1,2节，先给出常微分方程组的存在唯一性定理，然后介绍稳定性概念及稳定性理论的李雅普诺夫第二方法（V函数方法）；第3,4节是平面定性理论，包括奇点、极限环与平面图貌；第5节为分支和混沌，包括单参数常微分方程的分支和Lorenz方程与混沌；第6节则涉及哈密顿方程以及与其有关的混沌与孤立子 考虑微分方程                        (5.1)对和t(-∞,+∞)连续,满足局部李普希兹条件. )存在唯一解，而其它解记作. 其中函数设方程(5.1)对初值(的变化是否也很小?本章向量的范数取       如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.6.1 稳定性定理1  考虑初值问题6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理解的延拓与连续定理定理2 2 2 2 解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理3 3 3 3 解对初值可微性定理解对初值可微性定理解对初值可微性定理解对初值可微性定理6.1.2 李雅普若夫稳定性李雅普若夫稳定性 1. 考虑一阶非线性微分方程 由变量分离方法易得(6.4)的通解 情况分析：情况分析：以上特性也可以由解的表达式(6.5)直接推出。

解的稳定性情况解的稳定性情况：：初值问题初值问题：：如研究方程组(6.1)的特解当研究方程组的解的性态时往往与具有某些特殊性质的特解联系在一起.邻近的解的性质，通常先利用变换把方程组(6.1)化为显然其中因此方程组(6.7)有零解,且回顾回顾(1.2节内容节内容)：：驻定与非驻定方程组v如果方程组右端不含自变量t,则称为驻定方程；右端含t的微分方程组称为非驻定的（非自治）的如：2.常用的特解的稳定性讨论方式v通常将方程的特解通过变换(6.6)化为零解再进行零解的稳定性态的讨论    讨论方程(6.4)的特解y2(t)=A/B的稳定性态便可以化为讨论方程(6.9)的零解x=0的稳定性态v驻定微分方程常用的特解是常数解，即方程右端函数等于零时的解，如方程   的特解y1(t)=0、y2(t)=A/B.v驻定解或平衡解：微分方程的常数解称为~ 3. 讨论方程组讨论方程组(6.7)的零解的零解x=0的稳定性的稳定性 ----通常称为李雅普诺夫意义下的稳定性通常称为李雅普诺夫意义下的稳定性---的定义的定义      假设f(t,0)=0且在包含原点的域G内有连续的偏导数, 从而满足解的存在唯一性、延拓、连续性和可微性的条件。

相关概念：相关概念： 6.1.3 按线性近似决定稳定性按线性近似决定稳定性考虑一阶常系数线性微分方程组它的任一解均可表示为形如定理1 若特征方程(6.12)的根具有负实部，则方程组(6.10)的零解是渐近稳定的；若特征方程(6.12)具有正实部的根，则方程组(6.10)的零解是不稳定的；若特征方程(6.12)没有正实部的根，但有零根或具有零实部的根，则方程组(6.10)的零解可能是稳定的也可能不稳定，这要看零根或具有零实部的根其重数是否等于1而定非线性微分方程其中R(0)=0,且满足条件显然x=0是方程组(6.13)的解，亦是方程组的奇点非线性微分方程对于非线性微分方程组的稳定性态,有下面的结论：定理2 若特征方程(6.12)没有零根或零实部的根，则非线性微分方程组(6.13)的零解的稳定性态与其线性近似的方程组(6.10)的零解的稳定性态一致也就是说，若特征方程(6.12)的根具有负实部，则方程组(6.10)的零解是渐近稳定的；若特征方程(6.12)具有正实部的根，则方程组(6.10)的零解是不稳定的 例例1 考虑有阻力的数学摆的振动，其微分方程为原点是方程组的零解.为了判别能否按线性近似来确定零解的稳定性态,将方程给改写成于是相应的线性近似方程组为而非齐次项为满足条件(6.14).线性方程组(6.17)的特征方程为其根为其他驻定解的稳定性态的分析：只要再分析一下驻定解判别代数方程的根的实部是否均为负的法则(Hurwitz判别法)例4* 考察系统                        其中对任一，取 δ＝，则当时，有系的零解是稳定的. 解  在)的解为：的零解的稳定性. 上，取初值为(又因为可见该系统的零解是渐近稳定的. 例5* 考察系统 的零解的稳定性.)为初值的解为其中 由于函数et 随t 的递增而无限地增大. 因此，对于任意,不管取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证小于预先给定的正数，所以该系统的零解是不稳的. 解  方程组以(例6* 考虑常系数线性微分方程组  (1) 证明 不失一般性，取初始时刻,设Φ(t)是(1)的标准基本解矩阵，则的解可写成 (2) (3).从而对任意，取则当时，由(2)有,其中证明: 若A的所有特征根都具严格负实部,则(1)的零解是渐近稳定的. , A是n×n阵. 由A的所有特征根都具负实部知于是知存在t1>0, 使t>t1时 由(5.3)知对任意有故是渐近稳定的. 当t[0,t1］时，由解对初值的连续相依性，对上述,存在δ1 >0，当时取,综合上面讨论知，当时有 即是稳定的.  (1)证明: 若A的所有特征根都具严格负实部,则(1)的零解是渐近稳定的. 作业vP260    1(1,2), 3(2), 4(1,3)v思考: 2,5.。