03 第三节 随机变量的分布函数.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑03 第三节 随机变量的分布函数 第三节 随机变量的分布函数 当我们要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率. 只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量, 为此，我们引入随机变量的分布函数的概念. 内容分布图示 ★ 随机变量的分布函数 ★ 例1 ★ 例2 ★ 离散型随机变量的分布函数 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 课堂练习 ★ 习题2-3 内容要点： 一. 随机变量的分布函数 定义 设X是一个随机变量, 称 F(x)?P(X?x)为X的分布函数.有时记作X~F(x)或FX(x). 分布函数的性质 1. 单调非减. 若x1?x2, 那么F(x1)?F(x2)； 2. F(??)?limF(x)?0,F(??)?limF(x)?1; x???x???(???x???) 3. 右连续性. 即limF(x)?F(x0). ?x?x0 二、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量X的概率分布为 Xx1x2?xn? pip1p2?pn?那么X的分布函数为 F(x)?P(X?x)??P(X?xi)??pi. xi?xxi?x 例题选讲： 随机变量的分布函数 例1（讲义例1）等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点, 记X为落点的位置(数轴上的坐标) , 求随机变量X的分布函数. 解 当x?a时, {X?x}是不成能事情, 于是, F(x)?P{X?x}?0. 当a?x?b时, 由于{X?x}?{a?X?x}, 且[a,x]?[a,b], 由几何概率得知, x?a. b?a当x?b时, 由于{X?x}?{a?X?b}, 于是 F(x)?P{X?x}?P{a?X?x}?F(x)?P{X?x}?P{a?X?b}?b?a?1. b?ax?a?0,?x?a综上可得X的分布函数为F(x)??,a?x?b. ?b?ax?b?1, 例2判别以下函数是否为某随机变量的分布函数? ?0,x??2,?(1)F(x)??1/2,?2?x?0,?1,x?0;??0,x?0,?(2)F(x)??sinx,0?x??,?1,x??;??0,x?0,?(3)F(x)??x?1/2,0?x?1/2,?1,x?1/2.? 解 (1)由题设, F(x)在(??,??)上单调不减, 右连续, 并有 F(??)?limF(x)?0, F(??)?limF(x)?1, x???x???所以F(x)是某一随机变量X的分布函数. (2)因F(x)在(?/2,?)上单调下降, 所以F(x)不成能是分布函数. (3)由于F(x)在(??,??)上单调不减, 右连续, 且有 F(??)?limF(x)?0, F(??)?limF(x)?1, x???x???所以F(x)是某一随机变量X的分布函数. 离散型随机变量的分布函数 例3（讲义例2）设随机变量X的分布律为 解 F(x)?P{X?x} 当x?0时，{X?x}??,故F(x)?0 当0?x?1时，F(x)?P{X?x}?P{X?0}?当1?x?2时, F(x)?P{X?0}?P{X?1}?X012pi1/31/61/2, 求F(x). 1 3111?? 362当x?2时，F(x)?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}?1 x?0?0,?1/3,0?x?1?, 故F(x)??1/2,1?x?2??x?2?1,F(x)的图形是阶梯状的图形, 在x?0,1,2处有腾跃, 其跃度分别等于 P{X?0},P{X?1},P{X?2}. 例4 X具有离散平匀分布, 即 P(X?xi)?1/n,i?1,2,?,n, 求X的分布函数. 解 将X所取的n个值按从小到大的依次排列为x(1)?x(2)???x(n) 那么x?x(1)时，F(x)?P{X?x}?0, x(1)?x?x(2)时，F(x)?P{X?x}?1/n, x(2)?x?x(3)时，F(x)?P{X?x}?2/n, …… x(k)?x?x(k?1)时，F(x)?P{X?x}?k/n, x?x(n)时，F(x)?P{X?x}?1 当x?minx(?0,1,?,xn)??k/n,当x?minx(1,?,xn)且xj(j?故 F(x)?. 1,2,?,n)中恰好有k个不大于x??当x?maxx(1,?,xn)?1, 例5（讲义例3）设随机变量X的分布函数为 x?1,?0,?9/19,1?x?2,?F(x)?? 15/19,2?x?3,??x?3.?1,求X的概率分布. 解 由于F(x)是一个阶梯型函数, 故知X是一个离散型随机变量, F(x)的腾跃点分别为1, 2, 3, 对应的腾跃高度分别为 9/19, 6/19, 4/19, 如图. 故X的概率分布为 X123. pi9/196/194/19 课堂练习 设随机变量X的概率分布为 X?124 , pi1/41/21/4求X的的分布函数，并求 P?X?1/2?, P?3/2?X?5/2?, P?2?X?3?. — 5 —。