第1章矢量分析与场论.ppt

第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 1.1 矢量及其代数运算矢量及其代数运算 1.2 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系 1.3 矢量场矢量场 1.4 标量场标量场 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 习习 题题 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 1.1 矢量及其代数运算矢量及其代数运算   1.1.1 标量和矢量             电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector) 一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、时间、质量、电荷等 实际上， 所有实数都是标量 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论    例如， 矢量A可以表示成                               A=aA                            （1-1-1）             其中， A是矢量A的大小; a代表矢量A的方向， a=A/A， 其大小等于1。

 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图1-1 直角坐标系中一点的投影 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论              一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector）， 一个大小为1的矢量称为单位矢量（Unit Vector） 在直角坐标系中， 用单位矢量ax、 ay、 az表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方向           空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定， 如图1-1所示 从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(Position Vector)， 它在直角坐标系中表示为                               r=axX+ayY+azZ          （1-1-2）第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论    式中， X、 Y、 Z是位置矢量r在x、 y、 z轴上的投影             任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量 例如， 在直角坐标系中， 矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az， 利用三个单位矢量ax、ay、 az 可以将矢量A表示成：                           A=axAx+ayAy+azAz              （1-1-3）     矢量A的大小为A：                              A=(A2x+A2y+A2z)1/2        （1-1-4）第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论    1.1.2 矢量的代数运算            1. 矢量的加法和减法            任意两个矢量A与B相加等于两个矢量对应分量相加， 它们的和仍然为矢量， 即     C=A+B=ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz)         (1-1-5)            任意两个矢量A与B的差等于将其中的一个矢量变号后再相加， 即       D=A-B=A+(-B)=ax(Ax-Bx)+ay(Ay-By)+az(Az-Bz)    (1-1-6)第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论            2. 矢量的乘积            矢量的乘积包括标量积和矢量积。

            1） 标量积          任意两个矢量A与B的标量积(Scalar Product)是一个标量， 它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积， 如图1-2所示， 记为                                A·B=AB cosθ               (1-1-7)第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图1 - 2  标量积的图示 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论   例如， 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：               ax·ay=ay·az= ax·az=0             ax·ax=ay·ay=az·az=1   任意两矢量的标量积， 用矢量的三个分量表示为                   A·B=AxBx+AyBy+AzBz              (1-1-9)  标量积服从交换律和分配律， 即                           A·B=B·A                        (1-1-10)                     A·(B+C)=A·B+A·C              (1-1-11)(1-1-8)第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             2） 矢量积            任意两个矢量A与B的矢量积（Vector Product）是一个矢量， 矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积， 其方向垂直于矢量A与B组成的平面， 如图1-3所示， 记为                         C=A×B=anAB sinθ                  (1-1-12)                               an=aA×aB （右手螺旋）第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论  图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积的图示； (b) 右手螺旋第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             矢量积又称为叉积(Cross Product)， 如果两个不为零的矢量的叉积等于零， 则这两个矢量必然相互平行， 或者说， 两个相互平行矢量的叉积一定等于零。

 矢量的叉积不服从交换律， 但服从分配律， 即                        A×B=-B×A                           (1-1-13)                       A×(B+C)=A×B+A×C           (1-1-14)第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论  直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：       ax×ay=az, ay×az=ax, az×ax=ay        ax×ax=ay×ay=az×az= 0    在直角坐标系中， 矢量的叉积还可以表示为 (1-1-15)  =ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)(1-1-16) 矢量的其他运算详见附录一 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 1.2 圆柱坐标系和球坐标系圆柱坐标系和球坐标系   1.2.1 圆柱坐标系              空间任一点P的位置可以用圆柱坐标系中的三个变量(ρ, φ, z)来表示， 如图1-4所示 其中， ρ是位置矢量OP在xy面上的投影， φ是从+x轴到位置矢量OP在xy面上的投影之间的夹角， z是OP在z轴上的投影。

 由图1-4可以看出， 圆柱坐标与直角坐标之间的关系为第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论                                        x=ρcosφ                                        y=ρsinφ                                       z=z （1-2-1） 如同直角坐标系一样， 圆柱坐标系也具有三个相互垂直的坐标面， 如图1-5所示  第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论       图1 - 4 圆柱坐标系一点的投影 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图 1 - 5 圆柱坐标系三个互相垂直的坐标第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 坐标面 （1-2-2）        表示一个以z轴作轴线的半径为ρ的圆柱面， ρ的变化范围为0≤ρ<∞ 坐标面（1-2-3） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论     表示一个以z轴为界的半平面， φ的变化范围为0≤φ≤2π     坐标面                                        z=常数                （1-2-4）         表示一个平行于xy平面的平面。

 z的变化范围为-∞

            圆柱坐标系中的任意一点P沿ρ、φ和z方向的长度增量分别为                     dlρ=dρ, dlφ=ρdφ, dlz=dz           （1-2-11）      它们与沿各自坐标增量之比分别为（1-2-12） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论      圆柱坐标三个坐标面的面元矢量分别为                        dSρ=aρρdφ dz                     （1-2-13）                          dSφ=aφ dρdz                        （1-2-14）                        dSz=azρdφ dρ                      （1-2-15）  体积元为                           dV=ρdφ dρdz                    （1-2-16）   第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论    1.2.2 球坐标系              在球坐标系中， 空间一点P唯一地用三个坐标变量(r, θ, φ)来表示， 如图1-7所示。

 此处， 位置矢量r又称为矢径(Radius Vector)， r是其大小， θ是位置矢量r与z轴的夹角，φ是从+x轴到位置矢量r在xy面上的投影OM之间的夹角 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论  由图1-7可以看出， 球坐标与直角坐标之间的关系为                     x=r sinθ cosφ                     y=r sinθ sinφ                    z=r cosθ                                             （1-2-17）   同样， 球坐标也有三个坐标面， 如图1-8所示    坐标面 （1-2-18）表示一个半径为r的球面， r的变化范围为0≤ r <∞ 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图 1 - 7 球坐标系一点的投影 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图 1 - 8 球坐标系三个互相垂直的坐标面 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论     坐标面                                       θ=常数             表示一个以原点为顶点、 以z轴为轴线的圆锥面， θ的变化范围为0≤ θ ≤π。

     坐标面（1-2-19） 表示一个以z轴为界的半平面， φ的变化范围为0≤ φ <2π 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论    球坐标系的位置矢量可以表示为                                     r=arr              (1 -2-20)        球坐标系中任意点P(r, θ, φ)的三个单位矢量为ar、 aθ和aφ， 它们互相正交且遵循右手螺旋法则， 即           ar×aθ=aφ, aθ×aφ=ar, aφ×ar=aθ             ar×ar=aθ×aθ=aφ×aφ= 0               ar·aθ=aθ·aφ=ar·aφ=0             ar·ar=aθ·aθ=aφ·aφ=1 （1-2-21） （1-2-22） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             图 1 - 9 球坐标的三个单位矢量在ax、 ay和az 上的投影第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             单位矢量ar、aθ和aφ在单位矢量ax、 ay 和az上的投影分别示于图1-9(a)、(b)和(c)。

 由图1-9可以得到直角坐标系中的单位矢量变换到球坐标的表达式为（1-2-23） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论              将上式求逆即可得到球坐标中的单位矢量变换到直角坐标的表达式为（1-2-24） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论      式（1-2-23）和（1-2-24）表明： 如果矢量A是在球坐标系给定的， 根据式（1-2-24）可以得到直角坐标系的表达式； 反之， 若矢量A是在直角坐标系给定的， 则根据式（1-2-23）可以得到球坐标系的表达式             空间一点P沿r、θ和φ方向的长度增量分别为                   dlr=dr, dlθ=rdθ, dlφ=r sinθdφ        （1-2-25）     则球坐标中的拉梅常数为 （1-2-26） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             而沿球面、θ=常数平面和φ=常数平面的三个面元矢量分别为                dSr=arr2 sinθ dθdφ             （1-2-27）               dSθ=aθr sinθ drdφ              （1-2-28）               dSφ=aφr dr dθ                      （1-2-29）       球坐标的体积元为                dV=r2 sinθ drdθdφ            （1-2-30） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             【例1-1】 将圆柱坐标系中的矢量表达式                                           转换为直角坐标系的表达形式。

 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 1.3 矢矢 量量 场场    1.3.1 矢量场的矢量线            矢量场空间中任意一点P处的矢量可以用一个矢性函数A=A(P)来表示当选定了直角坐标系后， 它就可以写成如下形式：                                      A=A(x, y, z)         （1-3-1）第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             设Ax, Ay, Az为矢性函数A在直角坐标系中的三个坐标分量， 且假定它们都具有一阶连续偏导数， 则A又可以表示为             A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z)     （1-3-2）            所谓矢量线(Ｖector Line)， 乃是这样一些曲线： 在曲线上的每一点处， 场的矢量都位于该点处的切线上（如图1-10所示）， 像静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等， 都是矢量线的例子 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图1 - 10 力线图 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论            现在我们来讨论矢量线方程的表达式。

            设P为矢量线上任一点， 其矢径为r， 则根据矢量线的定义， 必有                               A×dr= 0                        （1-3-3）    在直角坐标系中， 矢径r的表达式为                                     r=axx+ayy+azz                  （1-3-4）            将其代入式（1-3-3）即得矢量场的矢量线满足的微分方程为（1-3-5）第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论              【例1-2】 设点电荷q位于坐标原点， 它在空间任一点P(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为式中， q、 ε0 均为常数， r=axx+ayy+azz为P点的位置矢量求E的矢量线方程并画出矢量线图 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图1 - 11 点电荷的电场矢量线 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论    1.3.2 矢量场的通量及散度            1. 矢量场的通量            在矢量场A中取一个面元dS及与该面元垂直的单位矢量n（外法向矢量， 如图1-12所示）， 则面元矢量表示为                            dS=ndS （1-3-6）第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论          图1-12   矢量场的通量及散度第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             由于所取的面元dS很小， 因此可认为在面元上各点矢量场A的值相同， A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量(Ｆlux)， 记作                         A·dS=Ａ cosθdS       （1-3-7）     因此矢量场A穿过整个曲面S的通量为 （1-3-8） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             如果S是一个闭曲面， 则通过闭合曲面的总通量可表示为（1-3-9） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             2. 矢量场的散度            1） 散度的定义            设有矢量场A， 在场中任一点P处作一个包含P点在内的任一闭合曲面S， 设S所限定的体积为ΔV， 当体积ΔV以任意方式缩向P点时， 取下列极限: （1-3-10） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             如果上式的极限存在， 则称此极限为矢量场A在点P处的散度（Divergence）， 记作（1-3-11） 显然， 式（1-3-11）的物理意义是从点P单位体积内散发的通量。

在直角坐标系中， 散度的表达式为（1-3-12） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             2） 哈米尔顿（Hamilton）算子           为了方便， 我们引入一个矢性微分算子， 在直角坐标系中有： （1-3-13）第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论     式（1-3-13）称作哈米尔顿算子， 记号(读作del)是一个微分符号， 同时又要当作矢量看待 算子与矢性函数A的点积为一标量函数             在直角坐标系中， 散度的表达式可以写为（1-3-14） 即 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             矢量函数A在圆柱坐标系和球坐标系中的散度表达式分别为（1-3-15）  （1-3-16） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 3） 高斯散度定理（Divergence Theorem）在矢量分析中， 一个重要的定理是（1-3-17） 上式称为散度定理 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             【例1-3】 在矢量场A=axx2+ayxy+azyz中， 有一个边长为1的立方体， 它的一个顶点在坐标原点上， 如图1-13所示。

 试求：             （1） 矢量场A的散度;            （2） 从六面体内穿出的通量， 并验证高斯散度定理 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图1 - 13 单位立方体 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论   1.3.3 矢量场的环量及旋度           1. 环量的定义            设有矢量场A， l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的环量（Circulation）， 记作（如图1-14所示）（1-3-18） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样， 都是描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分量 为了知道场中每个点上旋涡源的性质， 我们引入矢量场旋度的概念 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图1 - 14 矢量场的环量 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论            图1 - 15  闭合曲线方向与面元的方向示意图 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论               2. 矢量场的旋度               1） 旋度的定义           设P为矢量场中的任一点， 作一个包含P点的微小面元ΔS， 其周界为l， 它的正向与面元ΔS的法向矢量n成右手螺旋关系(如图1-15所示)。

当曲面ΔS在P点处保持以n为法矢不变的条件下， 以任意方式缩向P点， 若其极限（1-3-19） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图1 - 16 旋度及其投影 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论   称固定矢量R为矢量A的旋度（Curl 或Rotation）， 记作                                     rotA=R                              （1-3-20）            式（1-3-19）为旋度矢量在n方向的投影， 如图1-16所示， 即（1-3-21） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             因此， 矢量场的旋度仍为矢量 在直角坐标系中， 旋度的表达式为（1-3-22） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             为方便起见， 也引入算子， 则旋度在直角坐标系中的表达式为（1-3-23） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             矢量函数A在圆柱坐标系和球坐标系中的旋度表达式分别为（1-3-24） （1-3-25） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             旋度的一个重要性质就是任意矢量旋度的散度恒等于零， 即                         ▽·(▽×A)≡0              （1-3-26）          这就是说， 如果有一个矢量场B的散度等于零， 则该矢量B就可以用另一个矢量A的旋度来表示， 即当                                ▽·B=0     则有                              B=▽×A                    （1-3-27）第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 2） 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）矢量分析中另一个重要定理是 （1-3-28） 式（1-3-28）称为斯托克斯定理， 其中S是闭合路径l所围成的面积， 它的方向与l的方向成右手螺旋关系。

式（1-3-28）表明： 矢量场A的旋度沿曲面S法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分（证明从略）  第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图1 – 17   四分之一圆盘第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论          【例1-4】 已知一矢量场F=axxy-ay2x, 试求：        （1） 该矢量场的旋度;          （2） 该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分， 如图1-17所示， 验证斯托克斯定理   第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 1.4 标标 量量 场场   1.4.1 标量场的等值面             一个标量场u可以用一个标量函数来表示 在直角坐标系中， 可将u表示为                                 u=u(x, y, z)                        （1-4-1）   令                 u(x, y, z)=C,  C为任意常数              （1-4-2）第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论     式（1-4-2）在几何上一般表示一个曲面， 在这个曲面上的各点， 虽然坐标(x, y, z)不同， 但函数值相等， 称此曲面为标量场u的等值面。

 随着C的取值不同， 得到一系列不同的等值面， 如图  1-18  所示 同理， 对于由二维函数v=v(x, y)所给定的平面标量场， 可按v(x, y)=C得到一系列不同值的等值线 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图1 – 18  标量场的等值面 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论    1.4.2 方向导数            1. 方向导数的定义            设P0为标量场u=u(P)中的一点， 从点P0出发引出一条射线l， 如图1-19所示 在l上P0点邻近取一点P，记线段 P0P =Δl， 如果当P→P0时，      的极限存在， 则称它为函数u(P)在点P0处沿l方向的方向导数(Directional Derivative)， 记为：  （1-4-3） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论                   图1-19   方向导数第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             2. 方向导数的计算公式             在 直 角 坐 标 系 中 ，   设 函 数 u=u(x,  y,  z)在P0(x0,y0,z0)处可微， 则有（1-4-4） 式（1-4-4）中， 当Δl→0时δ→0。

 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             将上式两边同除以Δl并取极限得到方向导数的计算公式： （1-4-5） 式中， cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论    1.4.3 标量场的梯度             1. 梯度的定义              方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的变化率问题 然而从场中的给定点P出发， 标量场u在不同方向上的变化率一般说来是不同的， 那么， 可以设想， 必定在某个方向上变化率为最大 为此， 我们定义一个矢量G， 其方向就是函数u在点P处变化率为最大的方向， 其大小就是这个最大变化率的值， 这个矢量G称为函数u在点P处的梯度（Gradient）， 记为（1-4-6）第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             算子▽与标量函数u相乘为一矢量函数 在直角坐标系中， 梯度又可以表示为（1-4-7）          另外， 以后我们还经常用到标量拉普拉斯算子(Laplace Operator)， 即                                      ▽2=▽·▽                        （1-4-8）在直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式为 （1-4-9）第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             标量函数u在圆柱坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为（1-4-10） （1-4-11） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             标量函数u在球坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为（1-4-12） （1-4-13） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             2. 梯度的性质           梯度有以下重要性质：          （1） 方向导数等于梯度在该方向上的投影， 即                                                                      （1-4-14）            （2） 标量场u中每一点P处的梯度， 垂直于过该点的等值面， 且指向函数u(P)增大的方向。

 也就是说， 梯度就是该等值面的法向矢量 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论           （3）                     ▽×▽u≡ 0   （1-4-15）            式（1-4-15）表明： 如果一个矢量场F满足   ▽×F= 0 ， 即F是一个无旋场， 则矢量场F可以用一个标量函数u的梯度来表示， 即F=▽u， 该标量函数称为势函数(Potential Function)， 对应的矢量场称为有势场 如静电场中的电场强度就可以用一个标量函数的梯度来表示 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论              3. 梯度的积分             设标量场u， 根据梯度的性质： 标量场的梯度F是一个无旋场， 则由斯托克斯定理知， 无旋场沿闭合路径的积分必然为零， 即而 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 图1 - 20 无旋场沿不同路径的积分 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 (如图1-20所示)，即          这说明积分与路径无关， 仅与始点P1和终点P2的位置有关。

 又第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             假如选定始点P1为不动的固定点（参考点）， P2点为任意动点， 则P2点的函数值可表示为（1-4-16） 式（1-4-16）表明： 如果已知一个无旋场， 选定一个参考点， 就可由式（1-4-16）求得其标量场u 如在静电场中， 已知电场强度， 就可求得电位函数（第2章中介绍） 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理            设一个矢量场A既有散度， 又有旋度， 则可将其分解为一个无旋场分量A1和一个无散场分量A2之和， 即                                A=A1+A2                            （1-5-1）             其中无旋场分量A1的散度不等于零， 设为ρ， 无散场分量A2的旋度不等于零， 设为J， 因此有                    ▽·A=▽·(A1+A2)=▽·A1=ρ        （1-5-2）                    ▽×A=▽×(A1+A2)=▽×A2=J      （1-5-3）第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             如上可见， 矢量场A的散度代表着形成矢量场的一种源——标量源ρ， 而矢量场A的旋度代表着形成矢量场的另一种源——矢量源J。

 一般来说， 当一个矢量场的两类源(ρ, J) 在空间的分布确定时， 该矢量场就唯一地确定了， 这一规律称为亥姆霍兹定理(Helmholtz Theorem) 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论               亥姆霍兹定理告诉我们， 研究任意一个矢量场（如电场、磁场等）都应该从散度和旋度两个方面去进行， 其中                          ▽·A=ρ                             ▽×A=J                              （1-5-4）    称此为矢量场基本方程的微分形式 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 或者从矢量场的通量和环量两个方面去研究， 即（1-5-5）  上式称为矢量场基本方程的积分形式 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 习习 题题              1.1 已知A、B和C为任意矢量，            （1） 若A·B=A·C， 则是否意味着B总等于C呢？ 试讨论之；            （2）试证明： A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)。

 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 1.2 给定三个矢量A、B和C如下：              A=ax+2ay-3az             B=-4ay+az             C=5ax-2az求: （1） 矢量A的单位矢量aA； （2） 矢量A和B的夹角θAB ； （3） A·B和A×B;（4） A·(B×C)和(A×B)·C； （5） A×(B×C)和(A×B)×C 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论   1.3 有一个二维矢量场F(r)=ax(-y)+ay(x)，  求其矢量线方程， 并定性画出该矢量场图形   1.4 已知直角坐标系中的点P1(-3,1,4)和P2(2,-2,3):（1） 在直角坐标系中写出点P1、P2的位置矢量r1和r2； （2） 求点P1到P2的距离矢量的大小和方向;（3） 求矢量r1在r2的投影 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             1.6 求数量场ψ=ln(x2+y2+z2)通过点P(1,2,3)的等值面方程             1.7 用球坐标表示的场                         ， 求:          （1） 在直角坐标系中的点(-3,4,-5)处的|E|和Ez；           （2） E与矢量B=2ax-2ay+az之间的夹角。

 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论              1.8 试计算          的值， 式中的闭合曲面S是以原点为顶点的单位立方体， r为立方体表面上任一点的位置矢量           1.9 求标量场ψ(x,y,z)=6x2y3+ez在点P(2,-1,0)的梯度              1.10 在圆柱体x2+y2=9和平面x=0、y=0、z=0及z=2所包围的区域， 设此区域的表面为S:           （1） 求矢量场A沿闭合曲面S的通量， 其中矢量场A的表达式为                A=ax3x2+ay(3y+z)+az(3z-x)           （2） 验证散度定理 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论            1.11 从P(0, 0, 0)到Q(1, 1, 0)计算             ,  其中矢量场A的表达式为                                A=ax4x-ay14y2     曲线C沿下列路径：          （1） x=t, y=t2;         （2） 从(0, 0, 0)沿x轴到(1, 0, 0)， 再沿x=1到(1, 1, 0)；          （3） 此矢量场为保守场吗？第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             1.12 （1） 若矢量场A=(2+16r2)az， 在半径为2和0≤θ≤π/2的半球面上计算            的值；             （2） 若矢量场A=10 cos2φ az， 求穿过xy平面上半径为2的圆面的通量                 。

            1.13 求矢量A=axx+ayxy2沿圆周x2+y2=a2的线积分， 再求▽×A对此圆周所包围的表面积分， 验证斯托克斯定理              1.14 在球坐标系中， 已知标量函数     ， 其中pe和ε0均为常数， 求矢量场 E=-▽φ  第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 1.15 求下列标量场的梯度： （1） u=xyz+x2（2） u=4x2y+y2z-4xz（3） u=5yz+x31.16 求下列矢量场在给定点的散度：  （1） A=axx3+ayy3+az(3z-x)在点P(1, 0, -1)；  （2） A=axx2y+ayyz+az3z2在点P(1, 1, 0) 1.17 求下列矢量场的旋度：  （1） A=axx2+ayy2+az3z2 （2） A=axyz+ayxz+azxy第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论      1.18 现有三个矢量场A、 B 和C， 已知:      A=ar sinθcosφ+aθcosθcosφ-aφsinφ      B=aρz2 sinφ+aφz2 cosφ+az2ρz sinφ      C=ax(3y2-2x)+ay3x2+az2z           （1） 试问: 哪些矢量场为无旋场?哪些矢量场为无散场？            （2） 试问： 哪些矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示？哪些矢量场可以用一个矢量函数的旋度来表示？            （3） 求出它们的源分布。

 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             1.19 已知直角坐标系中的点P(x, y, z)和点   Q(x′, y′, z′)， 求:          （1） P点的位置矢量r和Q点的位置矢量r′；          （2） 从P点到Q点的距离矢量R；           （3） ▽×r和▽·r;          （4） ▽                 1.20 证明矢量场           A=ax(y2+2xz2)+ay(2xy-z)+az(2x2z-y+2z) 为有势场 第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论              1.21 在直角坐标中， 证明                    ▽·(ψA)=ψ▽·A+A·▽ψ            1.22 在直角坐标中， 证明                     ▽×(ψA)=ψ▽×A+(▽ψ)×A            1.23 求函数φ=3x2y-y2在点P(2, 3)处沿曲线y=x2-1朝x增大方向的方向 导数  第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论             1.24 若矢量场                      A=ax(5+2z)+ay(3x-2)+az(4x-1)            试在由半球面x2+y2+z2=4 和平面z=0组成的闭合曲面上验证斯托克斯定理。

             1.25 在直角坐标中， 证明：           （1）  一个矢量场的旋度的散度恒等于零，  即▽·(▽×A)≡0；           （2） 一个标量场的梯度的旋度恒等于零， 即 ▽×(▽ψ)≡ 0 。