《二次函数与一元二次方程》重点题型探究.doc

《二次函数与一元二次方程》重点题型探究类型一、二次函数图象与坐标轴交点例1．（1）判断下列二次函数的图象与x轴是否有公共点，若有求出公共点坐标，若没有，说明理由.①y=-x2-x+1； ②； ③ y=x2+3x+4.思路点拨：二次函数y=ax2+bx+c与x轴公共点横坐标即方程ax2+bx+c=0的实根.解：①有两个公共点对于方程 -x2-x+1=0，∴方程有两个不等实根两根为 ∴两个公共点坐标为；②只有一个公共点对于方程 ∴方程有两个相等实根，∴公共点坐标为(-2，0)；③没有公共点，理由如下：对于方程 x2+3x+4=0∵△=32-4×1×4=-7<0，方程没有实数根∴二次函数 y=x2+3x+4与x轴无公共点.（2）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A. 　　　B.　　　 C.且 　　　D.且思路点拨：只要当y=0时，⊿≥0即可，k-3=0时也可以，故选B.答案：B总结升华：(1)当，则方程有两个不相等实根，这时二次函数的图象与x轴有两个交点；(2)当，则方程有两个相等实根，这时二次函数的图象与x轴有且只有一个交点；(3)当，则方程没有实根，这时二次函数的图象与x轴没有交点.举一反三：【变式 1】已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1，其中m为常数，且满足-10，抛物线与y轴的交点在x轴上方.Δ=4m2-4(m-2)(m+1)=4m2-4(m2-m-2)=4m+8=4(m+1)+4>0.∴抛物线与x轴有两个不同的交点.总结升华：此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与 x轴有两个不同交点(用抛物线与y轴的交点C在x轴上方，开口向下，必与x轴有两个不同交点).【变式2】二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，求m的取值范围.思路点拨：抛物线总在x轴上方表明(1)开口向上；(2)与x轴没有公共点.解：由题意类型二、利用图象法求一元二次方程的解例2.（1）阅读材料回答问题：有如下一道题：画图求方程 的解.两位同学的解法如下：甲：将方程 化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解.乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解.你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流.答案：上面甲、乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线 的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，两线交点的横坐标即为方程的解.所以建议同学们以后尽量用乙的方法.（2）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．①求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；②若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．解：①当x=0时，．所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）②第一种情况：当时，函数的图象与轴只有一个交点；第二种情况：当时，若函数的图象与轴只有一个交点则方程有两个相等的实数根，所以，．综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．举一反三：【变式 1】利用函数的图象，求方程的解：解：先把方程化成x2=-2x+3.如图：在同一直角坐标系中分别画出函数和的图象，得到它们的交点 (-3，9)和(1，1)， 则方程的解为x=-3或x=1.总结升华：一般地，求一元二次方程 的近似解时，通常先把方程化成的形式，然后在同一直角坐标系中分别画出y=x2和两个函数的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解.【变式2】利用函数的图象，求方程组的解：思路点拨：可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解.解：在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图，得到它们的交点坐标 (-2，0)，(3，15)， 则方程组的解为.总结升华：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤来解，关键是根据图象来理解方程和函数的内在关系.类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用例3．已知抛物线的顶点P(3，-2)且在x轴上所截得的线段AB的长为4.(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.思路点拨：已知抛物线的顶点坐标及与x轴公共点间的距离时，可利用抛物线的对称性求抛物线与x轴两个公共点坐标，并采用顶点式(待定系数)，可以大大减少计算量.解：(1)∵由已知，可得抛物线的顶点为(3，-2) ∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)2-2且对称轴为x=3，由抛物线的对称性可知，当抛物线在 x轴上截得的线段长为4时，则点A、点B到直线x=3的距离均为2∴A(1，0)，B(5，0)∴a(1-3)2-2=0，解得.(2)假定存在点Q(m，n)，使S△QAB=12， 又∴当n=6时，，解得m1=-1，m2=7当n=-6时，，无实根 ∴ Q(-1，6)或(7，6)为所求.例4．已知二次函数y=-x2+(2m+2)x-(m2+4m-3)(其中m为非负整数)，其图象交x轴于点A、点B，且点A在原点左侧，点B在原点右侧.(1)求此二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C且S△ABC=10，求一次函数的解析式.解：(1)抛物线开口向下，与x轴有两个公共点且分别在原点两侧，表示x=0时y>0∴m=0∴y=-x2+2x+3为所求.(2)令y=0，-x2+2x+3=0解得x1=-1，x2=3∴A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4设C(p，q)∴q=-p2+2p+3∵S△ABC=10，当q=5时，-p2+2p+3=5，无实根，当 q=-5时，-p2+2p+3=-5，∴p1=-2，p2=4∴C1(-2，-5)，C2(4，-5)若y=kx+b过A(-1，0)，C(-2，-5)若y=kx+b过A(-1，0)，C(4，-5)∴y=5x+5或y=-x-1为所求.【变式1】已知：关于x的方程（1）当a取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；（2）求证：a取任何实数时，方程总有实数根.解：(1)∵二次函数的对称轴是x=-2 ∴ 解得a=-1 经检验a=-1是原分式方程的解.所以a=-1时，二次函数的对称轴是x=-2；(2)①当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1； ②当a≠0时，原方程为一元二次方程，，当方程总有实数根， ∴ 整理得， ∵a≠0时 所以a取任何实数时，方程总有实数根.更多资源下载地址：。