几何变换的相关内容介绍.docx

总结对该思想的教学经验，反思教学过程，做到在几何变换思想教学上的突破2 几何变换的相关内容介绍最早在欧几里得《几何原本》的第一卷中就已经提出了“移动”和“重合”，但并不是从运动的角度来解析的1872年,德国的数学家F·克莱因发表题为《关于近代几何研究的比较考察》的论文在文章中他提出：“每种几何都是由变换群所构成的，每种几何其实就是在这个变换群下考虑它的不变量；并且这种几何的子几何依旧是在原来变换群的子群下的一个不变量，在这个定义下，相应于给定变换群的几何的所有定理仍然是子群几何中的定理这是第一次有人提出运用几何变换思想来理解欧氏几何，这种观点后被熟知为“爱尔朗根纲领”运用几何变换思想来解释欧氏几何，既保留了其论证上的优点，又改变了其本来缺乏运动变换的概念在中国周代，周武王姬发和周文王姬昌将八卦发展成了六十四卦，以及在《周髀算经》中提到的“环矩可以为圆”，这些都具有变换的影子近现代，众多数学家的研究目标都指向了几何变换；同时，几何变换思想也是他们进行数学研究的重要工具，例 如:仿射变换、射影变换、正交变换、相似变换、欧拉变换、拉普拉斯变换等，几何变换思想正随着时代的进步，受到越来越多的数学学者的关注。

新中国成立以来，1954年、1963年、1978年、1986年、2000年的初中数学教学大纲中，平面几何部分：在三角形的学习中，涉及了轴对称的几何图形；在四边形部分：矩形、菱形和正方形的学习中，运用了对称轴，在平行四边形的学习中提到了中心对称在2001年、2011年以及2013年的教学大纲中，对于几何变换思想的教学要求越来越高，同时也越来越注重细节，这也表明了几何变换思想在初中数学课程的学习中有着不可替代的地位在2001年和2011年的《全日制义务教育数学课程标准》中关于几何变换的要求大体一致：要了解对称、旋转平移以及图形相似的概念，掌握它们的性质，通过变换教学让学生掌握轴对称图形、中心对称图形，能认识并欣赏轴对称、中心对称图形，学会将其应用到题目中去解决问题还要了解相似、位似的定理及应用，特别是相似三角形的判定定理与性质定理在2013年《全日制义务教育数学课程标准》中提出了“如何培养学生的几何证明能力”“如何加强几何变换内容教学”“如何在几何教学中体现数形结合思想”可见在初中数学的学习过程中，对几何变换思想的掌握要求越来越高了现在学生从七年级下学期（华师大版）开始接触平面几何，主要是关于轴对称、平移、旋转、中心对称的概念学习以及对概念的巩固练习，并没有涉及到轴对称、平移、旋转等几何变换思想的应用。

在七年级初中数学教科书第10章（华师大版）中的相关习题关于平移变换是：画出平移变换后的图形，判断两个图形通过怎样的平移变换的过程而形成的；关于轴对称变换是：判断所给图形中的轴对称图形，对给定图形做轴对称变换；关于旋转变换是：寻找旋转中心、旋转角；以及关于中心对称变换是：以某点为对称中心画中心对称图形或是寻找成中心对称的两个图形的对称中心可见在七年级的学习中多重视对几何变换概念的巩固加深，没有真正运用到几何变换思想去解决深层次的图形运动问题但在八年级、九年级的学习中，逐渐出现了较多需要运用几何变换思想解题的证明题、综合题，学习难度可以说是激增，这样就使得学生一时接受不了，对几何的学习产生恐惧心理，加大了对几何变换思想的学习难度所以，在初中阶段进行有关几何变换思想的教学时，要注重方式方法，循序渐进，慢慢突破，除了对各种几何变换的概念巩固，还要有目的有计划的对学生的空间思维以及数形结合的思想进行培养3 初中几何变换教学策略初中几何学习是平面几何的学习，它是利用图形作为中间渠道，借助对变换的概念、性质等方面的教学，增强学生的逻辑思维和空间概念，促进形成系统又全面的思维方式所以，在进行几何变换思想有关课程的教学时，不能只讲概念、忽略本质，应当循序渐进，一层接着一层的逐级教学，让学生先理解后掌握最终可以轻松运用几何变换的思维方式解决问题。

要巧妙的设置练习，通过形象的图形或是具体的事物，让学生在脑中先有具体的“图形”，再让图形“动”起来，最后在脑中形成“变换”，从而解决问题要经常利用多媒体技术直观的展示例题、演示图形变换的过程，或者是让学生在新知识的探究中有参与感，例如：动手做几何模型等，通过这些新颖的教学方式不仅能让学生对几何变换的学习充满兴趣，还可以让教师事半功倍的达到想要达到的教学效果3.1 概念教学学生刚开始学习平移、轴对称、旋转、相似和位似的概念，如果仅从定义的表面意义理解的话，对于初学者来说不但不能理解其具体含义，而且容易对几何变换的后续学习失去兴趣，因此，教师在进行概念的解释时，可以借助简单的线段、角、圆等学生容易理解并且熟知的图形作为例子，加上多媒体技术的支持，更为生动、易懂的进行概念教学例如，教师运用PPT展示图3-1，提出问题：观察线段a、线段b还有线段c之间存在什么样关系？经过学生的讨论后，最后再运用PPT的动画展示:线段a通过平移后得到的线段b（用红色标出）以及旋转后得到的线段c（用黄色标出）这样就很容易让学生理解了平移和旋转的概念图3-1同理，运用课件展示图3-2：两个相似的圆，不仅可以理解相似的概念，进一步还可以说明：所有圆形都相似的定理。

图3-2通过动手折纸、印墨迹等，简单、易学，每个学生都可以参与的小实验，也可以让学生直观并且深刻的理解轴对称变换的概念3.2 命题教学3.2.1 轴对称定理定义：把某个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，即为轴对称图形，这条直线即为这个图形的对称轴在进行轴对称命题的教学时，一般由生活中的常见事物开始，如图3-3向学生展示生活中具体的轴对称图像：交通标识、水中倒影和传统的京剧脸谱，可以迅速在学生脑中形成具体形象，为后续的学习奠定基础图3-33.2.2 平移定理定义：平面图形在它所在的平面上的平行移动，简称为平移在平移命题的教学过程中，同样也可以联系实际生活：家中电梯的上下、“和谐号”动车在轨道上直行或者是滑冰运动员在冰面上前后滑行等先让学生在脑中形成具体的概念后，接着再让学生动手实践，如图3-4在方格纸中对给定的做平移变换：先向下平移三个单位，再向右平移三个单位学生通过自己作图，就更容易理解平移变换的概念图3-43.2.3 旋转定理定义：把某一图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角对于旋转命题的巩固，可以直接使用模象直观，如：教室中的电风扇转动时，叶片的运动变换，或者是教室中的时钟，时针、分针、秒针的运动变换等。

3.3 证明教学3.3.1 轴对称定理对于轴对称定理的巩固可以联系到具体的已经学过的图形——等腰三角形例1 ：如图3-5，是等腰三角形，是底边上的高，问：①与存在什么样关系；②是不是轴对称图形？如果是，对称轴是哪一条？图3-5①问通过及易得②问，因为，所以可以推理出两个三角形折叠后会完全重合，且易知是对称轴这样通过运用等腰三角形、全等三角形等已经学习过的内容来证明新学的知识定理，就让学生参与了对新定理的探索，而不是教师单纯的灌输知识，更容易让学生掌握轴对称定理让学生通过习题的具体练习，也可以加深学生的记忆层次同时，在新知识点的学习中加入已学的知识，不但巩固了旧知识，而且让整个数学知识网络有了联系，有助于学生形成属于自己的数学知识脉络，为以后在更深层次的数学学习中打下夯实的基础3.3.2 平移定理对于平移定理的巩固，可以简单的给定两条已知线段，让学生运用尺规作图，自己动手做出平行四边形如图3-6，为已知线段，通过平移就可以得到点，因为所画的四边形是平行四边形通过已经学过的平行四边形的性质：两组对边分别平行且相等这样就可以借助具体的例子来解释通过平移变换后的线段对应相等图3-63.3.3 旋转定理对于旋转定理的巩固，可以使用实物直观——风车，如图3-7。

风车中不动的一点——风车的中心，就是旋转中心，风车的每一片叶的大小形状都相同，旋转后只是改变了每一叶的位置，并不会改变每一片叶的大小和样式为了巩固记忆，也可以让学生动手用身边的材料做一个实际的风车，亲身体验过可以让学生对旋转变换性质的理解更加透彻图3-73.4 数学史拓展在初中阶段对于勾股定理的教学也是十分重要的其实在我国古代《周髀算经注》中，赵爽对于勾股定理的证明就运用了旋转、对称变换如图3-8图3-8希腊数学家泰勒斯在数学研究过程中发现了许多定理，其中很多个定理都涉及到了几何变换：①任何圆周都要被其直径平分换句话说就是在教科书中常见的：圆的任何一条直径所在直线都是它的对称轴，显然体现了轴对称思想②等腰三角形两底角相等同样也是体现了轴对称原理③两直线相交时，对顶角相等在这个命题中体现了旋转变换、中心对称变换以及轴对称变换思想通过对数学史中几何变换思想内容的拓展，既可以增加学习的趣味性，帮助学生加深记忆，又可以拓展学生的知识面，了解伟大的数学家的研究过程教师还可以利用数学家们的奋斗故事来激励学生在数学学习中要有坚忍不拔的品质，遇到难题要冥思苦想，不能半途而废，也能让学生意识到学习数学不仅只有定理公式，也有丰富的历史内涵和深刻的人生道理。

4 几何变换思想在初中教学中的应用几何变换的应用是一种非常重要的解题思路，如果能在平时的练习或者是各类的考试中运用该思想，就可以化难为易，化繁为简所以在初中数学的教学中，一定要以各种各样的习题作为基础来训练学生运用几何变换思想来解题的习惯，注意理论与实际的结合，在几何问题的教学中，教师要对解决方法进行分析，与学生共同研究解答问题的具体过程，而不是直接对学生讲解形式化的解题过程，把正确的答案转述给学生在问题解决之后要组织学生一起总结，让学生对于相关的类型题掌握得更加系统全面4.1 平移变换平移变换最重要的知识点就是：经过平移变换后的两个图形，图形的形状与大小都不变并且对应角相等、对应线段平行且相等4.1.1 平移变换应用平移变换通常运用在简单图形的平移或者是函数图像的平移，最经典和常见的是作等腰梯形、正方形、矩形等已知图形的平行辅助线例2:如图4-1梯形是等腰梯形，其中，，对角线和相交于点已知，且，求梯形的腰长图4-1分析:如果直接根据题给条件显然是做不出解答的，因此我们可以考虑运用平移变换的思想来做辅助线，使等腰梯形的两条对角线在同一个三角形中，这样就可以利用已学过的三角形知识解决问题。

具体解题过程：解：过点作交的延长线于点，又过点做等腰梯形的高 是等边三角形 平行且等于 四边形是平行四边形 这道题是典型的运用平移变换来解题的例题平移到的变换过程中，线段的长度保持不变即，角度的大小不变即，通过平移变换做出关键的辅助线，将看似无关的条件集中到等边中，从而可以整合利用题给条件顺利的解题4.2 轴对称变换轴对称变换思想的运用最重要的是判断题给图形是不是轴对称图形，若是，再找出对称轴；若不是，就要自己添加对称轴，构造轴对称图形也要牢记轴对称变换的概念：经过轴对称变换后的两个图形能够完全重合，且对应线段、对应角都相等4.2.1 轴对称变换应用例3：如图4-2，在中，是边上的高，若，求证:图4-2分析：该题中给出了十分明显的辅助线，通过对于题中问题和图形的整体的特征观察，可以利用轴对称变换，将线段转移到中，就容易解决问题具体解题过程：证明：如图4-3，以为对称轴，翻折到的位置图4-3点在上，，，又在解决有关轴对称的几何证明题时，先要仔细观察已知图形是否为轴对称图形，当是轴对称图形时，在仔细观察找出对称轴、对应边和对应角，运用轴对称变换的性质来找出关系式，从而解题；如果不是轴。