《提优教程》教案第25讲反三角函数与三角方程.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -第 25 讲反三角函数与三角方程本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是假如限定在某个单调区间内就可以争论三角函数的反函数了．一．反正弦函数1 ．定义 ：函数 y ＝ sin x 〔x ∈ [- 2 ， 2]〕 的反函数就是反正弦函数，记为 y ＝arcsin x 〔x ∈ [－ 1 ， 1]〕这个式子表示：在区间 [- 2 ，2] 内，正弦函数值为 x 的角就是 arcsin x，即 sin〔arcsin x 〕＝ x ， x∈ [－ 1 ， 1]2 ．反正弦函数的性质：⑴ 定义域为 [－ 1 ，1] ；值域为 [- 2， 2 ]．⑵ 在定义域上单调增；⑶ 是[ － 1， 1] 上的奇函数，即arcsin〔 － x 〕＝－ arcsin x， x ∈ [－ 1， 1]⑷ y ＝arcsin x 的图象：与 y＝ sin x〔x∈ [- 2 ，2 ]〕 的图象关于 y＝x 对称．⑸ arcsin〔sin x〕的值及 y＝ arcsin〔sin x 〕的图象：arcsin〔sin x 〕＝ x， x ∈[- 2 ，2]二．反余弦函数 仿反正弦函数的情形可以得到：1 ．定义： 函数 y ＝ cos x〔x∈ [0， ]〕 的反函数就是反余弦函数，记为 y＝ arccos x 〔x∈ [－1 ， 1]〕这个式子表示：在区间 [0， ]内，余弦函数值为 x 的角就是 arccos x ，即 cos〔arccos x〕＝ x ， x ∈ [－ 1， 1]2 ．反余弦函数的性质：⑴ 定义域为 [－ 1 ，1] ；值域为 [ 0， ]．⑵ 在定义域上单调减；⑶ 是[ － 1， 1] 上的非奇非偶函数，即arccos〔 － x 〕＝ － arccos x， x∈ [－ 1 ，1]⑷ y ＝arccos x 的图象：与 y ＝ cos x〔x∈ [0， ]〕的图象关于 y＝ x 对称．⑸ arccos〔cos x 〕的值及 y＝ arccos〔cos x 〕的图象： arccos〔cos x 〕＝ x ， x∈ [0， ]三．反正切函数1 ．定义： 函数 y＝ tan x 〔x ∈〔 - 2 ， 2〕〕的反函数就是反正切函数，记为 y＝ arctan x 〔x ∈ R〕．这个式子表示：在区间 〔- 2 ，2〕内，正切函数值为 x 的角就是 arctan x ，即 tan〔arctan x 〕＝ x ， x∈ R 2 ．反正切函数的性质：⑴ 定义域为 R；值域为 〔- 2 ， 2 〕．⑵ 在定义域上单调增；⑶ 是 R 上的奇函数，即arctan〔 －x 〕＝－ arctan x， x∈ R 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -⑷ y ＝arctan x 的图象：与 y＝ tan x 〔x ∈ 〔- 2， 2〕〕 的图象关于 y＝ x 对称．⑸ arctan〔tan x〕的值及 y＝arctan〔tan x 〕的图象：arctan〔tan x〕＝ x， x∈ 〔- 2， 2 〕四．反余切函数 请依据上面的内容自己写出．A 类例题例 1 证明：⑴ cos〔arcsin x〕＝ 1－ x 2； sin〔arccos x〕＝ 1－ x2 ；tan〔arccot x〕＝ 1 ．并作它们的图象． x⑵ sin 〔arctan x 〕＝ x1 ＋ x 2； tan〔arcsin x 〕＝ x ；1 －x 2cos〔arctan x〕＝11＋x 2； tan〔arccos x 〕＝1 － x2x ．证明：⑴设 arcsin x＝ ，就 ∈ [－ 2，2 ]，且 sin ＝ x ，于是， cos ＝ 1 － x2 ，即 cos〔arcsin x〕＝ 1－ x2 ；同理可证其余．⑵设 arctan x ＝ ，就 ∈ 〔- 2 ，〕 ， tan ＝ x ．于是， sec ＝ 1 ＋ x2 ， 2所以， sin ＝ tan ·cos ＝x 1＋ x2，就是 sin〔arctan x 〕＝x1 ＋x2；同理可证其余．说明 此题给出了反三角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范畴 〔该反三角函数的主值区间 〕内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算．例 2 证明：⑴ arcsin x＋arccos x＝2 ， x ∈ [－ 1 ，1]⑵ arctan x＋ arccot x ＝2 ， x∈ R证明：令 arcsin x ＝ ，arccos x ＝ ，就 ∈ [- 2， 2]， ∈[0 ， ]， 2－ ∈ [ - 2 ， 2 ]而 sin ＝ x， sin〔 2 － 〕＝ cos ＝ x，即 sin ＝sin〔 2－ 〕，但 与 都在区间 [ - 2 ， 2 ]内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而 ＝2 － ．就是 ar csin x ＋ arccos x＝ 2 ．同法可证⑵．说明 这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式．例 3 运算：⑴ sin〔arcsin x ＋arcsin y 〕；x ， y ∈ [－ 1 ，1]⑵ cos〔arccos x ＋ arccos y 〕． x ， y∈ [－ 1 ， 1]解：⑴ sin〔arcsin x＋ arcsin y〕＝ x 1 －y 2＋ y 1－ x2．⑵ cos〔arccos x ＋ arccos y 〕＝ xy － 1－ x2· 1－y 2．情形再现x 2．1 ．如 arctan x ＋ arctan y ＋ arctan z＝ ，证明： x＋ y＋ z＝ xyz ； ⑵ 证明： cot[arctan x＋ arctan〔1 － x〕]＝ 1 － x ＋2．设 f〔x 〕＝ x2 －πx,α＝ arcsin 1 ， β＝arctan 5 ,γ＝ arccos〔 － 1〕, ＝ arccot〔 － 5 〕,就3 4 3 4 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -A． f〔α〕＞ f〔β〕＞ f〔 〕＞ f〔 γ〕 B ． f〔α〕 ＞f〔 〕＞ f〔β〕＞ f〔γ〕C． f 〔 〕＞ f〔α〕＞ f〔β〕＞ f〔γ〕 D ． f〔 〕＞ f〔α〕＞ f〔γ〕＞ f 〔β〕13 ．函数 y＝ arccos〔 2 - x2 〕的值域是6 3A． [- 2 ， 6 ] B． [- 2， 3] C ． [ ， π] D． [ ， π]B 类例题例 4 求 10cot〔arccot3 ＋arc cot7 ＋ arccot13 ＋ arccot21〕 的值．解：设 arccot3 ＝ ， arccot7 ＝ ， arccot13 ＝ ， arccot21 ＝ ，就 0< < < < <4 ．1 1 1 1∴ tan ＝ 3 ， tan ＝ 7 ，tan ＝ 13， tan ＝ 21，tan ＋ tan1 17＋3 10 1∴ tan〔 ＋ 〕＝ 1－ tan tan ＝11 －13＋ 11 ＝20＝2 ．7tan ＋ tan tan〔 ＋ 〕＝ 1 － tan tan13＝ 11－ 1321 1＝1 8 ．211 132 ＋ 8 2tan〔 ＋ ＋ ＋ 〕＝1 1 ＝ ．1－ 2 8∴ 10cot〔arccot3 ＋ arccot7 ＋arccot13 ＋ arccot21〕 ＝ 10 32＝ 15 ．例 5 求常数 c，使得 f〔x〕＝ arctan 2－ 2 x＋ c 在区间 〔- 1， 1〕内是奇函数．1＋ 4 x 4 4解：如 f 〔x〕 是〔- 1 ， 1〕内的奇函数，就必要条件是 f〔0〕 ＝ 0，即 c ＝－ arctan2 ．4 42－ 2 x2－ 2 x－ 21＋4 x2－ 2 x －2－ 8x当 c ＝－ arctan2 时， tan〔arcta1＋ 4 x－ arctan2〕 ＝＝2 － 2x1 ＋1 ＋ 4x ·21＋ 4 x ＋ 4－ 4x＝－ 2 x．即 f〔x〕＝ arctan〔 － 2 x〕； f〔－ x 〕＝ arctan〔 －〔－ 2 x 〕〕＝ arctan2 x＝－ f〔x〕 ．故 f〔x 〕是〔 - 1， 1 〕内的奇函数．4 4说明例 6[ x]表示不超过 x 的最大整数， {x} 表示 x 的小数部分（即 {x}＝ x- [x ]〕 ，就方程 cot[ x] ·cot{ x}＝ 1 的解集为；解：由于 0 ≤ {x}<1 ，故 cot{ x }＞cot1 ＞ 0，即 cot{ x} 0 ．1∴ cot[ x ]＝ cot{ x }＝tan{ x }＝ cot〔 2 － {x}〕 ，∴ [x]＝ k ＋ 2 － {x }．即 [x}＋ {x }＝ k ＋ 2〔k∈ Z 〕，就是 x ＝ k ＋ 2 〔k ∈ Z〕．说明 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -情形再现14．函数 f〔 x〕＝ arctan x＋ 2arcsin x 的值域是A ．〔- π， π〕B． [－3 34 ， 4 ] C ． 〔-3 34 ， 4 〕 D ．[ - 2， 2 ]5、设 - 1< a <0 ， θ＝ arcsin a ,那么不等式 sin x