2023年山东省自学考试线性代数经管类.doc

线性代数（经管类)综合试题一（课程代码 ４184)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目规定的，请将其代码填写在题后的括号内错选、多选或未选均无分1．设D＝=M≠０,则Ｄ1=＝ ( B 　）．A.-2Ｍ 　 Ｂ.２M 　 C．-６M　　 　 D．6M2．设 Ａ、B、Ｃ为同阶方阵,若由AＢ　= AC必能推出 B　= C，则A应满足　 　 　 　 　 　 　　 　 　 （ D　 ).A. A≠ O 　　 Ｂ. Ａ = Ｏ　 C.｜A|= 0　　 　 D.　｜Ａ|≠0３．设A,B均为n阶方阵,则 　　　 　 　 　( A ）．A.|Ａ＋AB|=０，则|Ａ|=0或|E+B|=0　 Ｂ.(A+B)2＝Ａ2+2ＡB＋B2C.当ＡB＝Ｏ时,有A=O或B=O D.(AB)-1=Ｂ-１A-14.二阶矩阵A,|A|＝１,则A-1= 　 　（　Ｂ　　)． 　 Ａ. 　B.　 C.　 D.5．设两个向量组与，则下列说法对的的是( B 　).A.若两向量组等价,则s = ｔ　．B.若两向量组等价，则r()＝ r() C．若s = t，则两向量组等价.D.若r()=　r(）,则两向量组等价．6.向量组线性相关的充足必要条件是 　 (　C 　).A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量相应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表达D. 可由线性表达７.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是（ C　)． 　 A． r与ｓ未必相等　 　　　 Ｂ. r +　s = ｍC. r　= s 　　　 　 　 D. ｒ +　s > m８.对方程组Ax =　ｂ与其导出组Ａx =　o，下列命题对的的是(　D　 )．A. Ax　＝ o有解时,Ax ＝ b必有解.B． Ax = ｏ有无穷多解时,Ax = b有无穷多解.C.　Ax　= ｂ无解时，Ax =　o也无解.D. Ax　= b有惟一解时,Ａｘ =　o只有零解．9.设方程组有非零解，则k = ( Ｄ ).A.　2 　 　 B. ３ C. -1 　　　　　　D． 1１０．ｎ阶对称矩阵A正定的充足必要条件是( D　 ).A. ｜A|>０　 　 　　 　 B．存在n阶方阵Ｃ使A=CTCＣ.负惯性指标为零 D．各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题,每小题2分,共2０分)请在每小题的空格中填上对的答案。

错填、不填均无分11．四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，０,1，它们的余子式的值依次为5,3，-７,4，则Ｄ　=　 -１5 .12．若方阵A满足A２　= A,且Ａ≠E,则|A｜=　 0 　 　．13．若A为３阶方阵，且 ,则|２A|= 　 4 　　.1４.设矩阵的秩为2,则t = -３ 　　　 ．15.设向量=(6，8,０),=(４,–3,５),则(,)＝ 　0 　 ．16.设ｎ元齐次线性方程组Aｘ = o，r（A)= ｒ　< n，则基础解系具有解向量的个数为 　n－ｒ 　 个．17.设＝(１,1，0），＝(０，1,1),=(0,0,1)是Ｒ3的基,则=(1，２,3)在此基下的坐标为　　(1,１,2) .18.设A为三阶方阵，其特性值为1，-１,２，则A2的特性值为 1,1,4 .19.二次型的矩阵A＝ 　 　　　 ．20．若矩阵A与B=相似，则A的特性值为　 １,2,3 　 .三、计算题(本大题共6小题,每小题９分，共５4分）2１.求行列式的值.解：=． 22.解矩阵方程:. 解:令Ｂ=.由于.由23.求向量组=(　1,　１,　２，　３ )，＝(-1,-1,　1, 1 ),=(1, 3,　3， 5　),=(４,－2,　５,　６ )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表达．　 　 所以， 　　 24. ａ取何值时，方程组有解？并求其通解(规定用它的一个特解和导出组的基础解系表达）.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：.若方程组有解,则，故ａ=5.当ａ=5时,继续施以初等行变换得：，原方程组的同解方程组为:，令,得原方程组的一个特解：与导出组同解的方程组为：令得到导出组的基础解系:,所以,方程组的所有解为:25.已知，求A的特性值及特性向量,并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵Ｐ，使P　–1AP　=Λ（对角形矩阵）.解：矩阵A的特性多项式为:,所以,A的特性值为：对于,求齐次线性方程组，得基础解系:,从而矩阵Ａ的相应于特性值的所有特性向量为:对于，求齐次线性方程组的基础解系,得基础解系:，从而矩阵Ａ的相应于特性值的所有特性向量为：由于三阶矩阵A有三个线性无关的特性向量所以，A相似于对角矩阵,且 　　2６.用配方法将下列二次型化为标准形:　解： 　 = 　 　＝ 　＝令得二次型的标准形为：四、证明题(本大题共6分)2７.设向量，证明向量组是R3空间中的一个基. 证：由于所以所以向量组 　 　 　 线性代数(经管类）综合试题二（课程代码　41８４)一、单项选择题（本大题共10小题,每小题２分，共2０分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目规定的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分1.若三阶行列式=０, 则k　=　　　 　　 　 (C ）.A．1　 　 B.０ 　 C．-1 　 D．-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是 ( D ).A.A可逆 　B.Ｂ可逆 C．｜Ａ|＝|Ｂ| D.AB=BA3.设A是n阶可逆矩阵, A*是A的随着矩阵, 则 　　 （ Ａ )．A. B．Ｃ.　 　 　 　 D．4.矩阵的秩为２,则λ　= 　　 　 　 　　 ( B ).A.2 Ｂ.1 　 　　　C．0 　　 　　　D．5.设3×4矩阵A的秩r(Ａ)=1,是齐次线性方程组Ax＝ｏ的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为 　 　　 　　(D )．A．　　 　 B． 　 C． Ｄ．6.向量线性相关，则( C ).A.k　=-４ 　 B.ｋ　＝ 4 　 　　　Ｃ.ｋ　＝-3 　 　D．k = 3　 7.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，　若是其导出组Aｘ＝ｏ的解,　则有 　 　　 　　　 　 　 　(　B 　)．A．ｃ1+c２ =１　 Ｂ.c1=　ｃ2 　 C．c1+ c2 ＝　０ D.c1=　2ｃ2 8.设Ａ为n(n≥2)阶方阵,且A２=E,则必有 　 　　 　 　 　 　(　B )．A.Ａ的行列式等于1 B.A的秩等于ｎC.A的逆矩阵等于Ｅ D.Ａ的特性值均为19.设三阶矩阵A的特性值为２， 1, 1, 则A-1的特性值为 　 　( D ).Ａ.1, 2 　 B.２， 1, 1 　 C., １　 D.,　1,　110.二次型是 　 　　 　　 (　Ａ　 ).A.正定的 　　　　Ｂ.半正定的 C．负定的 Ｄ．不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上对的答案。

错填、不填均无分１1.=____5_＿__＿_．１2.设A为三阶方阵,且｜A|=４,则|2Ａ｜=___32_＿____＿．１3.设Ａ=， B =,　则ATＢ =＿_＿_______.14.设A　=，则A-1=__＿＿＿＿＿__＿．1５.向量表达为向量组的线性组合式为____＿_＿＿_＿.16．假如方程组有非零解, 则k ＝___-1_＿__＿＿_．17.设向量与正交,则a　=＿_２______＿_.１8.已知实对称矩阵A=,写出矩阵Ａ相应的二次型_.19.已知矩阵A与对角矩阵Λ=相似，则Ａ2=_＿E＿___＿_．2０.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵,且二次型的正惯性指数为3，则其规范形为____＿___＿_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．计算行列式的值.原式==22.设矩阵Ａ＝，B＝，求矩阵A-1Ｂ . 所以, 23.设矩阵，求k的值,使Ａ的秩ｒ(A）分别等于１,２，3.解：对矩阵A施行初等变换:当时，矩阵的秩当当 24.求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表达.解:将所给列向量构成矩阵A，然后实行初等行变换：所以,向量组的秩，向量组的一个极大无关组为:且有25. 求线性方程组的基础解系,并用基础解系表达其通解.解:对方程组的系数矩阵(或增广矩阵)作初等行变换:与原方程组同解的方程组为：令方程组的通解为: 26. 已知矩阵，求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使Ｐ-１AP=Λ.解:矩阵A的特性多项式为:得矩阵A的所有特性值为:对于求方程组的基础解系.，得基础解系为将此线性无关的特性向量正交化,得:.由于将其单位化，得:　则P是正交矩阵，且 四、证明题（本大题共6分)27．设向量组线性无关，证明:向量组也线性无关.证:令整理得:由于线性无关，所以故　.　 　 　　　 线性代数(经管类）综合试题三（课程代码 4184)一、单项选择题（本大题共10小题,每小题2分,共2０分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目规定的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分1．当( D 　)成立时,阶行列式的值为零.A．行列式主对角线上的元素全为零Ｂ.行列式中有个元素等于零C．行列式至少有一个阶子式为零D．行列式所有阶子式全为零２．已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵,且满足ＡＢC=E,则下列结论必然成立的是 　 　　 　 　 　 (　 B ).A. ＡCB=E 　 B. BCA=Ｅ 　 C． CBＡ=E 　D. BAＣ=E 3.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 ( D ).A. (AB)-1=A-1Ｂ-1 　　 　　 　 B. (A+B）－1=A-1＋B-1 　 　C.　(AＢ）Ｔ＝ATBT 　　 　 　 Ｄ. 　 ４.下列矩阵不是初等矩阵的是 　 　 　 （ Ｂ ). 　Ａ. B. C. 　 D.5.设是4维向量组,则 　 (。