香农采样定理.docx

所谓采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E.T.Whittaker（1915年 发表的统计理论），克劳德•香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡 献另外,V.A.Kotelnikov也对这个定理做了重要贡献采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序 列（即时间或空间上的离散函数）采样定理指出，如果信号是带限的， 并且采样频率高于信号带宽的两倍，那么，原来的连续信号可以从采样样 本中完全重建出来带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离 散时刻采样表现信号细节的能力是有限的采样定理是指，如果信号带宽 不到采样频率的一半（即奈奎斯特频率），那么此时这些离散的采样点能 够完全表示原信号高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现 象大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分 量的相对强度有关［编辑］采样简介从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样， 这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一 过程离散信号还原成连续信号连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在 时间（或空间）上，以T为单位间隔来测量连续信号的值。

T称为采样间 隔在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间隔都很小，一 般在毫秒、微秒的量级采样过程产生一系列的数字，称为样本样本代 表了原来地信号每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采 样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs,其单位为样本/秒，即赫兹（hertz）信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x［n］中， 用数学的方法确定连续信号x（t）从采样定理中，我们可以得出以下结论：如果已知信号的最高频率fH,采样定理给出了保证完全重建信号的最低 采样频率这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特采样率，通常表示 为 fN相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最 高信号频率以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给 定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些 频率成分的影响可忽略不计在第一种情况下，被采样信号的频率成分已 知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中，频率超过5 kHz 的成分通 常非常小，因此以10 kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了在第 二种情况下，我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略 不计。

这通常是用一个低通滤波器来实现的［编辑］混叠如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采 样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号这种频谱的 重叠导致的失真称为混叠，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因 为这两个信号有同样的样本值一个频率正好是采样频率一半的弦波信号，通常会混叠成另一相同频 率的波弦信号，但它的相位和幅度改变了以下两种措施可避免混叠的发生：1. 提高采样频率，使之达到最高信号频率的两倍以上；2. 引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数；该低通滤波器通常称为抗 混叠滤波器抗混叠滤波器可限制信号的带宽，使之满足采样定理的条件从理论 上来说，这是可行的，但是在实际情况中是不可能做到的因为滤波器不 可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号，所以，采样定理要求的带宽之外 总有一些“小的”能量不过抗混叠滤波器可使这些能量足够小，以至可 忽略不计［编辑］减采样当一个信号被减采样时，必须满足采样定理以避免混叠为了满足采 样定理的要求，信号在进行减采样操作前，必须通过一个具有适当截止频 率的低通滤波器这个用于避免混叠的低通滤波器，称为抗混叠滤波器采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。

采样定理说明采样 频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据采样定理是 1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特 采样定理 1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这 一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理 1948 年信息论 的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因 此在许多文献中又称为香农采样定理采样定理有许多表述形式，但最基 本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理采样定理在数字式遥测系 统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广 泛的应用时域采样定理 频带为F的连续信号f( t)可用一系列离散的采样值f( tl ),f( tl±A t),f( tl ±2A t),…来表示，只要这些采样点的时间 间隔△ tW1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)时域采样定理的另一种表述方式是：当时间信号函数f(t)的最高频 率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于l/2fM的采样值 来确定，即米样点的重复频率f ±2fM图为模拟信号和米样样本的示意 图时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论 的基础。

频域采样定理 对于时间上受限制的连续信号f(t)(即当|t|>T 时,f( t)=0,这里T=T2-T1是信号的持续时间)，若其频谱为F(3 )，则 可在频域上用一系列离散的采样值来表示,只要这些采样点的频率间隔。