传递矩阵法.ppt

传递矩阵法：线性振动的近似计算方法传递矩阵法适用于计算链状结构的固有频率和主振型多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动系统特点：将链状结构划分为一系列单元，每对相邻单元之间的传递矩阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵法对全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后加以综合，从而大大减少计算工作量1）轴盘扭转振动系统（2）梁的横向弯曲振动系统（1）轴盘扭转振动系统(1)(2)(3)(n-2)(n-1)123n-1n 多盘扭振系统（n-1个盘）(i-1)(i)ili ki 第 i 个单元一个典型的单元包括一个无质量的轴段和一个作为刚体考虑的圆盘：第 i 个圆盘的转动惯量li：第 i 个单元轴段的长度 ki：第 i 个单元轴段的扭转刚度第i个轴段左右两端状态变量的传递关系：将任意截面上的转角和扭矩排成列向量即状态向量：场传递矩阵第i个圆盘左右两侧状态向量的传递关系：(i-1)(i)ili ki由于不计轴段的转动惯量，两边扭矩相等轴段两边的转角有如下关系由课本图5-7（c）可知圆盘两边的转角相等，即圆盘的运动微分方程为：(i-1)(i)ili ki第i个圆盘左右两侧状态向量的传递关系：定义状态变量：盘转角：盘侧面扭矩点传递矩阵当圆盘以频率 作简谐振动时，有：代入圆盘运动微分方程即：第i个轴段左右两端状态向量的传递关系：点传递矩阵场传递矩阵第i个圆盘左右两侧状态向量的传递关系：第i-1个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系：单元传递矩阵n 个圆盘的轴系，最左端和最右端状态变量传递关系：H：第1至第n单元通路中所有单元传递矩阵的连乘积最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态（ 的函数）通过各个单元的传递矩阵，最终可以建立链状结构最左端与最右端的状态向量之间的传递关系 有些轴盘扭振系统是带分支的链状结构，这时需要选择其中一部分链状结构作为主系统，其他分支作为分支系统； 在主系统中推导分支点两侧状态向量的传递关系时，需要考虑分支系统对分支点的关系。

以课本图5-9为例：以圆盘 所在的轴为主系统， 所在的轴为分支系统，主系统上相邻的状态向量之间的传递关系为： 这时需要考虑分支系统对齿轮A的影响，重新推导 假定齿轮A、B的转动惯量可以忽略不计，其传动比为n，由于是外啮合，则其转角关系为： 扭矩关系为： 分支系统的传递关系为： 将上式两边左乘 ，并注意到分支系统的边界条件为： 可得由上式中 的关系及 的关系得知：(5.117) 知道齿轮A两侧的扭矩有如下关系：将（5.117）代入上式，并将其中的 用（5.116）表示，得出上式与 可以合写为下列矩阵形式：其中 此式即A两侧状态向量之间的点传递矩阵，它体现或吸收了分支系统经过齿轮A对主系统的影响，所以又称为吸收传递矩阵例：三圆盘扭振系统用传递矩阵法求固有频率和模态解：如右图所示：相邻状态向量间的传递关系为若记总传递矩阵为：系统的边界条件为（a）先考虑左边的边界条件：令得到：1、若频率是固有频率，则还要满足则由（d）式得频率方程：2、若频率不是固有频率，则可以剩余矩阵实际计算时，设最左端的状态向量为：（d）假定一系列的试算频率，依次算出 ，并画出最右端状态向量随频率的关系曲线；由图可知，使剩余扭矩 为零的固有频率 为：将式（a）具体写成为相应的各主振型由 中的 值确定，分别为 %振动力学5.8节例5.10程序for n=1:250w=(n-1);I1=4.9;I2=9.8;I3=19.6;k2=98000;k3=196000;Z1l=1;0;Z1r=1 0;-w2*I1 1*Z1l;Z2r=1 1/k2;-w2*I2 1-(w2*I2)/k2*Z1r;Z3r=1 1/k3;-w2*I3 1-(w2*I3)/k3*Z2r;Z0=0 -1;Z4=Z0*Z3r;disp(Z4);plot(w,Z4);hold on;axis(0,250,-2600000,2600000);end（2）梁的横向弯曲振动系统传递矩阵法可用于分析梁的横向弯曲振动一个典型单元包括一个无质量梁段和一个集中质量。

状态变量构成：分别为集中质量处截面的挠度、截面转角、弯矩和剪力第 i 个梁段长 li，抗弯刚度 EiIi，集中质量为mi第 i 个单元平衡条件：第 i 个梁段受力分析梁段两端位移和转角分析设第i个梁段距离左端x远的截面的弯矩、转角和挠度分别为：求场传递矩阵求场传递矩阵第 i 个单元对于转角，由材料力学有：对于挠度：对于弯矩，有：令中 x=li：第 i 个梁段左端与第i-1梁段右端状态变量的传递关系：场传递矩阵或写成：， 是场传递矩阵第 i 个质量两侧满足：第 i 个质量受力分析当系统以频率 作简谐振动时：第 i 个质量左右两侧的传递关系：点传递矩阵求点传递矩阵求点传递矩阵第 i 个质量左右两侧的传递关系：第 i 个梁段左右两端状态变量的传递关系：第 i -1 个质量右侧至第 i个质量右侧的状态变量传递关系：第i单元的传递矩阵第 i 个单元求单元传递矩阵求单元传递矩阵单元传递矩阵：代入，得单元传递矩阵：对于带 n 个集中质量得梁，总能利用各单元传递矩阵的连乘积导出梁的最左端和最右端状态变量传递关系：传递矩阵的应用传递矩阵的应用状态变量：两端边界已知条件：各状态变量之间得传递关系：最左端状态和最右端状态之间的传递关系：记总传递矩阵为H：H=H4H3H2H1由边界条件，得：（1）（2）因 及 不全为零，所以有非零解的条件为：上式即为频率方程。

对实际问题，通常不是由频率方程解出固有频率，而是先假定一个试算频率，令 由上面（2）式解出代入方程（1），得： 称为剩余弯矩，使剩余弯矩为零的试算频率就是固有频率实际计算时，对所选试算频率发作两次进行矩阵传递，记Z0I、Z0II分别是第一次和第二次矩阵传递时Z0的状态向量，分别取为由Z0I得到最右端的 ，相应由Z0II得到 ，最右端状态向量 由 与 叠加得出为使 中的剪力为零，令：于是有：对于一系列试算频率，画出剩余弯矩 与频率的关系曲线图便可找出固有频率求出固有频率后，即可用M0表示Q0，于是Z0 和 、 、 、 都可以用M0表示，各状态向量的第一个元素即组成了相应于该固有频率的挠度主振型。