概率第一章到第三章知识点总结.doc

第一讲 随机事件及其概率1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.主要内容与典型例题一 随机试验与随机事件1.随机试验 随机试验满足以下三个特点：⑴试验的所有可能结果（不止一个）是确定的；⑵每次试验会发生什么结果是无法事先预知的； ⑶试验可以在相同的条件下重复进行但也有不少的随机试验不满足这个条件.2.样本点与样本空间 试验的每一个可能结果称为样本点,用表示所有样本点组成的集合就是样本空间，用表示3.随机事件，基本事件，必然事件，不可能事件: 样本空间的子集称为随机事件，简称事件，用A，B，C等记之由单个样本点构成的随机事件成为基本事件，样本空间为必然事件，不含任何样本点的事件称为不可能事件二 事件的关系与运算1.包含关系:事件A发生必导致事件B发生,记为2.相等关系: 若且3.并事件: ， 。

4.差事件: 5.交事件: ，6.互斥事件: A和B不同时发生7.对立事件: ，.8.事件的运算律: 交换律:,；结合律:, ；分配律:，；对偶律: ,；三 事件的概率及其性质1.定义:设随机试验的样本空间为，若对每个事件A，有且只有一个实数 与之对应，并满足以下公理： ⑴（非负性）； ⑵（规范性）；⑶（可列可加性）对任意一列两两互斥事件，有；则称为事件A的概率2.性质: ⑴； ⑵；⑶若互斥，则；⑷；； ⑸若，则，且； 推广：四 条件概率与事件的独立性1.条件概率: 设有两个事件和，，称已知发生的条件下发生的概率为的条件概率，记为，且有2.独立性: 若两事件A和B满足或，则称A和B相互独立类似的还有两两独立和相互独立的定义3.简单性质: 在和，和，和，和这四对事件中，只要其中有一对独立，则其余三对也独立五 重要的概率模型1.古典概型: 古典概型的特点为：⑴试验的可能结果只有有限个；⑵各个可能结果是等可能的；设试验一共有个可能结果，而所考察的事件含有其中的个，则事件的概率为 注 古典概率的计算难点在于A包含的样本点数的计算。

在计算样本点数的时候，常用到以下排列组合公式：⑴从个不同元素取的排列数为：；⑵从个元素中有返回地取个的排列数：；⑶从个不同元素取的组合数为：；2.几何概型：向某个可度量的有界区域D内随机地投掷一点，如果落在D内任何两个测度相等的子区域的可能性相等，则随机点落在D的子区域A内的概率为 注 ⑴如果D和A是数轴上区间（平面区域或立体区域），则测度就是区间长度（面积或体积）； ⑵几何概率的计算关键是找出事件A所对应的子区域，并计算其测度3.贝努利概型：在重贝努利试验中，事件{恰好发生次} 的概率为：六 重要公式1.乘法公式：2.全概率公式：设事件两两互斥，且事件满足 则有3.贝叶斯公式：设事件两两互斥，且，,事件满足 则有第二讲 随机变量及其分布　　1.理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.　　2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布 、泊松(Poisson)分布及其应用.　　3..理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布及其应用.　　4.会求随机变量函数的分布.主要内容与典型例题一 随机变量及其分布函数、分布律与密度函数1.随机变量 对于给定的随机试验,是其样本空间,若对,有且只有一个实数与之对应,则称此定义在上的实值函数为随机变量。

2.分布函数 设是一个随机变量，称函数 为随机变量的分布函数 性质 ⑴（）；⑵对任意两点，当时，有；⑶；；⑷（）；⑸ 注记 满足上述性质⑵、⑶和⑷的函数必为某随机变量的分布函数 … …P … …3.分布律 性质 ，4.密度函数 设随机变量的分布函数为,若非负函数,对任意的，使得 则称为连续型随机变量, 为的概率密度函数,并称的分布是连续型分布 性质 ⑴； ⑵；（满足上述两个性质的函数必为某随机变量的密度函数）⑶⑷是连续函数,且在的连续点处有；⑸对，有；⑹对任意的，有二 重要的一维分布1.（0-1）分布 分布律为，2.二项分布 在重贝努利试验中，事件发生的次数的分布为 记作当时，二项分布即为（0-1）分布3.泊松分布 分布律为，记为4.均匀分布 密度函数和分布函数分别为 和 记作.5.指数分布 密度函数和分布函数分别为 和 记为6.正态分布 密度函数为 记作当时，密度函数为 称服从标准正态分布，记为 性质 ① 标准正态分布的密度函数为偶函数，所以有，其中是的分布函数② 若，则有 ，继而有三 随机变量函数的分布1.离散情形 设离散型随机变量的分布律为 … … … …则的分布律为 … … … …其中、、…、、…具有各不相同的值。

若的值中有相同的，则应把那些相同的值分别合并，同时把对应的概率相加2.连续情形 设的密度函数为,求的密度函数的步骤为 ⑴先求的分布函数：⑵再求的密度函数： 第三讲 多维随机变量及其分布1.理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.　　2.理解随机变量的独立性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.　　3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.　　4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.主要内容与典型例题一 二维随机变量及其分布函数1.定义 设试验的样本空间为，对于每一个样本点，都有确定的两个实数与之对应，称有序数对为二维随机变量（或二维随机向量），简记为并称和是二维随机变量的两个分量2.分布函数 设是二维随机变量，称二元函数，为二维随机变量的联合分布函数性质⑴ ；且；；对任一固定的，；对任一固定的，；⑵ 关于和是单调不减的⑶ 关于和均为右连续函数3.关于的边缘分布函数：关于的边缘分布函数：4.独立性的判定 与独立。

二 二维离散型随机变量1.定义 如果二维随机变量所有可能取值只有有限多对或无穷可列多对，则称为二维离散型随机变量2.联合分布律 设二维离散型随机变量的所有可能取值为，，且取各可能值得概率为，， ⑴或写成表格形式： ⑵⑵ 则称⑴或⑵为的联合分布律性质 ① ，； ② 3.的边缘分布律： ，的边缘分布律： 4.独立性判定 与相互独立的充要条件是对一切都有.三 二维连续型随机变量1.定义 设为二维随机变量的联合分布函数，若存在一个非负可积的二元函数，使得对于任意的实数、，有则称为二维连续型随机变量，称为的联合密度函数性质 ⑴ ；⑵ ；⑶ 设是平面上的区域，则落入区域内的概率为⑷ 在的连续点，有2.关于的边缘密度函数：，关于的边缘密度函数：， 3.独立性判定 与相互独立的充要条件是在、、的一切公共连续点上都成立。

四 常见的二维分布1.二维均匀分布 联合密度函数为，其中是平面上的某个区域，则称服从区域上的均匀分布 注 在区域上服从均匀分布的二维随机变量，其取值可看作向平面内随机地投掷一点，而此点落入内任何子区域内的概率与子区域的面积成正比，而与子区域的位置无关2.二维正态分布 联合密度为 ，其中均为常数，且，，则称服从二维正态分布，记作3.关于正态分布的结论⑴设,则；且和相互独立；但若仅仅有，，则由不能推得和相互独立；⑵设，则，；⑶设和相互独立，且，，为常数，则特别地，，五 两个随机变量函数的分布1.离散情形2.连续情形设的联合密度为，求的密度函数的步骤：⑴ 首先求出的分布函数：⑵ 对分布函数求导，可得到密度函数，即3. 设，，…，为个相互独立的随机变量，的分布函数为，则及的分布函数分别为 和 特别地，当，，…，相互独立且具有相同的分布函数时，有 ， 。