(完整版)高中数学完整讲义——复数.doc

高中数学讲义复数典例分析题型一：复数的概念【例1】 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A． B． C．或 D．【例2】 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）A． B． C． D．或【例3】 已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【例4】 若复数是纯虚数，则实数 ．【例5】 设是复数，（其中表示的共轭复数），已知的实部是，则的虚部为 ．【例6】 复数（ ）A． B． C． D．【例7】 计算： （表示虚数单位）【例8】 设，，则下列命题中一定正确的是（　　）A．的对应点在第一象限 B．的对应点在第四象限C．不是纯虚数 D．是虚数【例9】 在下列命题中，正确命题的个数为（　　）①两个复数不能比较大小；②若是纯虚数，则实数；③是虚数的一个充要条件是；④若是两个相等的实数，则是纯虚数；⑤的一个充要条件是．⑥的充要条件是．A．1 B．2 C．3 D．4题型二：复数的几何意义【例10】 复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例11】 复数，，则复数在复平面内对应的点位于（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例12】 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例13】 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例14】 在复平面内，复数 对应的点与原点的距离是（ ）A． B． C． D． 【例15】 若复数满足，且复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D．【例16】 已知复数z＝3＋4i所对应的向量为，把依逆时针旋转θ得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是（　　）A．3i　 B．4i 　 C．5i 　 D．－5i【例17】 复数（，为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例18】 若，复数在复平面内所对应的点在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例19】 设为锐角三角形的两个内角，则复数对应的点位于复平 面的（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例20】 如果复数满足，那么的最小值是（ ）A．1 B． C．2 D．【例21】 满足及的复数的集合是（ ）A． B．C． D．【例22】 已知复数的模为，则的最大值为_______．【例23】 复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（　　）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【例24】 复数，满足，，证明：．【例25】 已知复数，满足，，且，求与的值．【例26】 已知复数满足，且，求证：．【例27】 已知，，，求．【例28】 已知复数满足，求的最大值与最小值．题型三：复数的四则运算【例29】 复数等于（ ）A． B． C． D．【例30】 设，且为正实数，则（ ）A． B． C． D．【例31】 已知复数，则（ ）A． B． C． D．【例32】 设的共轭复数是，若，，则等于（ ）A． B． C． D．【例33】 已知集合，则（ ）A． B． C． D．【例34】 已知复数，则（ ）A． 49 B．7 C． 25 D． 5【例35】 若将复数表示为（，，是虚数单位）的形式，则 ．【例36】 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（　　）A． B．4 C． D．6【例37】 i是虚数单位，若，则乘积的值是（ ） A． B． C．3 D．15 【例38】 设且，若复数是实数，则（ ）A． 　B． C． D．【例39】 若为实数，，则等于（ ）A． B．－ C．2 D．－2【例40】 若复数z= （）是纯虚数，则= 【例41】 定义运算，则符合条件的复数的所对应的点在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例42】 定义运算，则符合条件的复数对应的点在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【例43】 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则复数为实数的概率为（ ）A． B． C． D．【例44】 已知复数满足，则复数＝_____________【例45】 已知，若，则等于（　　）A． B． C． D．4【例46】 复数等于（ ）A． B． C． D．【例47】 计算：．【例48】 已知复数，，则的最大值为（　　）A． B． C． D．3【例49】 若复数，求实数使．（其中为的共轭复数）【例50】 设、为实数，且，则=________．【例51】 对任意一个非零复数，定义集合．⑴设是方程的一个根，试用列举法表示集合．若在中任取两个数，求其和为零的概率；⑵若集合中只有个元素，试写出满足条件的一个值，并说明理由．【例52】 解关于的方程．【例53】 已知，，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围．【例54】 关于的方程有实根，求实数的取值范围．【例55】 设方程的根分别为，，且，求实数的值．【例56】 用数学归纳法证明：．并证明，从而．【例57】 若是方程（）的解，求证：．【例58】 已知是纯虚数，求在复平面内对应点的轨迹．【例59】 设复数，满足，其中，求的值．【例60】 设复数满足，求的最值．【例61】 若，，试求．【例62】 已知虚数为的一个立方根， 即满足，且对应的点在第二象限，证明，并求与的值．【例63】 若（），求证：【例64】 设是虚数，是实数，且．⑴求的值及的实部的取值范围；⑵设，求证：为纯虚数；⑶求的最小值．【例65】 对任意一个非零复数，定义集合．⑴ 设是方程的一个根，试用列举法表示集合；⑵设复数，求证：．【例66】 已知复数，和，其中均为实数，为虚数单 位，且对于任意复数，有，．⑴ 试求的值，并分别写出和用表示的关系式； ⑵将作为点的坐标，作为点的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点 的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点． 当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程； ⑶是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求 出所有这些直线；若不存在，则说明理由．7思维的发掘 能力的飞跃。